中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第二节三角形的基本概念及全等

第二节三角形的根本概念及全等三角形
,贵阳五年中考命题规律)
年份题型题号考察点考察内
容
分值总分
2021
解答18(1)全等三
角形的
判定
以正方
形为背
景考察
全等三
角形的
判定
5
解答24全等三角形
性质的应用利用全
等三角
形的性
质探索
线段之
间的数
量关系
1217
2021 选择8三角形
全等的
判定
添加条
件判断
三角形
全等
33
2021未考2021未考
2021选择4三角形
全等的
判定
添加条
件判断
三角形
全等
33
命题
规律纵观贵阳市5年中
全等的
判定仍
是考察
内容，
重点训
练及等
腰三角
形、直
角三角
形相结
合的内
容.
,贵阳五年中考真题及模拟)三角形全等的判定(4次)
1．(2021贵阳4题3分)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( B )
A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E
C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF
(第1题图)
(第2题图)
2．(2021 贵阳8题3分)如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( B )
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B
C．AD∥BC D．DF∥BE
3．(2021 贵阳适应性考试)在边长为1的正方形网格中标有A，B，C，D，E，F六个格点，根据图中标示的各点位置，及△ABC全等的是( C )
A．△ACF B．△ACE
C．△ABD D．△CEF
4．(2021贵阳模拟卷)如图，：在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.求证：
(1)△AEH≌△CGF；
(2)四边形EFGH是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△AEH及△CGF 中，AH＝CF，
∠A＝∠C，∴△AEH≌△CGF(SAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.又∵AE＝CG，AH＝CF，∴BE＝DG，BF＝DH，△BEF及△DGH中，BF＝DH，
∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴EF＝GH，又由(1)知，△AEH≌△CGF，∴EH＝GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∴HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG.∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠HEG＝∠HGE，∴HE＝HG，∴四边形EFGH是菱形．
,中考考点清单)
三角形分类及三边关系
1．三角形分类
(1)按角分类
锐角三角形直角三角形钝角三角形
(2)按边分类
两条边相等的三角形三边相等的三角形三边互不相等的三
角形
__等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之与__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．
三角形内角与定理及内外角关系
3．内角与定理：三角形的内角与等于__180°__．
4．内外角关系：三角形的一个外角__等于__及它不相邻的两个内角之与．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
三角形中的四条重要线段
5.
四线定义性质图形
中线连接一个顶点及它对边中
点的线段
BD＝DC
高线从三角形一个顶点到它对
边所在直线的垂线段
AD⊥
BC，
即∠ADB＝∠ADC＝
90°
角平
分线一个内角的平分线及这个
角的对边相交，顶点及交
点之间的线段
∠1＝∠2
中位
线连接三角形两边中点的线
段
DE∥BC
且
DE＝21BC
全等三角形及其性质
6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．
(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．
全等三角形的判定(高频考点)
8．三角形全等的判定
类型图形条件是否
全等形成结论
一般
三角
形的
判定
A1B1＝
A2B2，
B1C1＝
B2C2，
A1C1＝A2C2是__SSS__
∠B1＝∠
B2，
B1C1＝
B2C2，
∠C1＝∠C2是ASA
∠B1＝∠
B2，
∠C1＝∠
C2，
A1C1＝A2C2是AAS
A1B1＝
A2B2，
∠B1＝∠
B2，
B1C1＝
是__SAS__
B2C2
直角
三角
形的
判定A1B1＝A2B2，
A1C1＝
是__HL__
A2C2，
找任一边→AAS
,中考重难点突破)三角形三边关系
【例1】(2021贵阳考试说明)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．假设调整木条的夹角时不破坏此木框，那么任意两个螺丝间距离的最大值为( )
A．5 B．6 C．7 D．10
【解析】4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，那么三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；
②选3＋4、6、2作为三角形，那么三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选4＋6、2、3作为三角形，那么三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6＋2、3、4作为三角形，那么三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．
综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7.
【学生解答】C
1．(2021岳阳中考)以下长度的三根小木棒能构成三角形的是( D )
A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cm
C．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4 cm
2．(2021长沙中考)假设一个三角形的两边长分别为3与7，那么第三边长可能是( A )
A．6 B．3 C．2 D．11
3．(2021 玉林中考)在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 m，那么AB边的取值范围是( B )
A．1 cm<AB<4 cm B．5 cm<AB<10 cm
C．4 cm<AB<8 cm D．4 cm<AB<10 cm
三角形的内角与外角关系
【例2】(2021原创)如图，CD是△ABC外角∠ACE的平分线，AB∥CD，∠A＝50°，那么∠B的大小是( )
A．50°B．60°
C．40°D．30°
【解析】∵AB∥CD，∴∠A＝∠ACD＝50°，又∵CD是△ABC外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD＝∠DCE＝50°，∴∠ACE＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B＋∠A＝∠ACE，∴∠B＝∠ACE－∠A＝100°－50°＝50°.
【学生解答】A
4．(2021乐山中考)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，假设∠B＝35°，∠ACE＝60°，那么∠A＝( C )
A．35°B．95°C．85°D．75°
,(第4题图)) ,(第5题图))
5．(2021丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝53°，直线MN∥BC，且分别及AB，AC相交于点D，E，假设∠AEN＝133°，那么∠B的度数为__80°__．全等三角形的判定及性质
【例3】(2021课本改编)如图，AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是________．(只需写一个，不添加辅助线)
【解析】条件开放性问题给出了问题的结论，要求探索使该结论成立所需具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一．一般地，依据三角形全等的判定方法及性质，由条件结合图形通过逆向思维找出适宜的条件．
【学生解答】∠ABD＝∠CBD或AD＝CD
6．(2021金华中考)如图，∠ABC＝∠BAD，添加以下条件还不能判定△ABC ≌△BAD的是( A )
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA
C．∠C＝∠D D．BC＝AD
7．(2021宜宾中考)如图，∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.
证明：∵∠DBA＝∠CAB，∠CBD＝∠DAC，∴∠DBA＋∠CBD＝∠CAB＋∠DAC，即：∠CBA＝∠∵BA＝AB，∠CAB＝∠DBA，∴△CBA≌△DAB，∴BC＝AD.
8．(2021武汉中考)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE.
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF，在△ABC与△DEF AC＝DF，∴△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE.
中，BC＝EF，
9．(2021孝感中考)如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ADB与△AEC AD＝AE，∴△ADB≌△AEC，∴AB＝AC.又AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，中，∠A＝∠A，
即BE＝CD.
10．(2021呼与浩特中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)假设EF∥CD，求∠BDC的度数．
解：(1)∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△
∠BCD＝∠FCE，∴△BCD≌△FCE(SAS)；(2)由(1)可知△BCD≌△BCD与△FCE中，CD＝CE，
FCE，∴∠BDC＝∠E，∵EF∥CD，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.
11．(2021贵阳中考)
(1)阅读理解：
如图①，在△ABC中，假设AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是__2＜AD＜8__；
(2)问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
解：(1)2<AD<8；
(2)延长FD至点M，使DM＝DF，连接EM，BM，在△BMD与△CFD 中．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.∵∠BDM＝∠∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，BE＋GM>EM，∴BE＋CF>EF；
(3)BE＋DF＝EF.理由：延长AB至点N，使BN＝DF，在△NBC与△FDC 中，CB＝CD，BN＝DF.∵∠NBC＝∠ABC＝180°，∠D＋∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D，∴△NBC≌△FDC，∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE＋∠FCD＝70°，∴∠NCE＝70°，在△NCE与△FCE中，CN＝CF，∠ECF＝∠NCE＝70°，CE＝CE，∴△NCE≌△FCE，∴EN＝EF.∵BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF.。