高一数学备课余弦定理、正弦定理

1. 提出问题 师：我们初中学过解直角三角形，你能说出解题的依据
吗？ 生：勾股定理、两锐角互余、正弦、余弦······
教师板书：
（1） 边的关系：
； （2） 角的关系：A+B=90○
（3） 边与角的关系： , , , .[2]
师：除了直角三角形，我们还学过锐角三角形和钝角三角形，统称为斜三角形，你会解斜三角形吗？
生：沉默片刻，有人回答“作高啊！”
师：对，把斜三角形转化成直角三角形，这正是我们平时强调的“转化思想”，同学们回答得非常好。

生：被老师肯定，感到很喜悦。

师：但是，如果不作高，仅仅依赖于三角形的边和角能不能直接解斜三角形呢？ 生：再次陷入沉默。

师：为什么我们没办法解斜三角形？斜三角形的边和角都有什么关系？
生：（1）边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（2）角的关系：内角和180度；
（3）边与角的关系：大边对大角；
师：对比直角三角形的边角关系和斜三角形的边角关系，你发现了什么？
生：要解斜三角形必须找到边和角的等量关系！
2. 探求问题
师：非常好，我们今天要探求的正是三角形的边角关系，但是我们必须借助一样工具把边和角联系起来，什么工具能担此重任呢？
生：向量！
（因为必修四学过向量，并且当时也反复强调了向量的工具性，所以学生在此想到向量并不困难）
师：对，我们前面已经认识到向量是既有大小又有方向的量，它是沟通代数和几何的桥梁，今天我们以向量为工具，看一看向量在数学中是如何体现其工具性的。

师：观察黑板上的三角形，我们能想到向量的那些知识？
生：向量的三角形法则、向量的加法、向量的减法······
师：好，大家看到三角形联想到向量的
三角形法则，
不妨用向量的加法来表示。

生：AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r
师：如何根据向量关系推出三角形的边角关系呢？二者有什么联系？
生：三角形的边可以用向量的模表示。

A B C a A B
C b c
师：如何能出现三角形夹角呢？
生：只要出现两个向量的点乘！
师：对！怎样构造向量的点乘？
生：平方，两边同时平方！
（之前求向量的模时接触过通过平方出现向量点乘）
师：非常好，那么，除了平方还有其他方法可以出现点乘吗？
生：那就再乘一个向量。

（声音很微弱）
师：对，我们还可以在等式两边同时乘以一个向量！接下来，我们分别就两种方案进行探究。

方案一：两边同时平方
22()AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r ，易得
2222cos c a b ab C =+-，同理得
2222cos a b c bc A =+-，
2222cos b a c ac B =+-
方案二：两边同时乘以一个向量
师：我们可以在等式两边同时乘以一个向量，但是，乘以哪个向量呢？（这是本节课的难点） 生：被难住。

师：能不能是任意一个向量呢？（在三角形边上任意画一个向量）
生：不行！（意识到构造点乘的目的之一是要出现三角形的夹角）
师：那就是要一个特殊的向量，什么样的向量比较特殊？
生：零向量，单位向量，平行向量，垂直向量······
师：好，大家再仔细思考刚才的几个特殊向量，看看用哪个好？
零向量很容易排出，大部分同学意识到可以用垂直向量。

生：可以用垂直向量。

师：那么图中有没有与已知向量垂直的向量呢？
生：没有。

师：如何构造一个？
生：只需做三角形的高。

（因为有了新课引入时通过作高将斜三角形转化为直角三角形的铺垫）
师：好，我们来做三角形BC 边上的高试试。

等式AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r 两边同时乘以刚构
造出的向量DA u u u r ，得
()AB DA AC CB DA =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，进而得
cos(90)cos(90)AB DA B AC DA C +=+o o u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，即
sin sin c B b C =g g ，即
A B C D。