广西高考数学一轮复习第六章数列63等比数列及其前n项和课件文

考点2
考点3
考点4
63
7
(3)设该等比数列的公比为 q,则 S6-S3= 4 − 4=14,
即 a4+a5+a6=14.①
7
7
∵S3=4,∴a1+a2+a3=4.
由①得(a1+a2+a3)q =14,∴q =
3
7
3
1
14
7
4
=8,即 q=2.
∴a1+2a1+4a1=4,a1=4,
1
7
∴a8=a1·
q = ×27=32.
进行分类求和.
1
n
(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把q 或 1- 当成整
体进行求解.
-15-
考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练1(1)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和
Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=(
)
A.1
31
B.5
C.
48
11
D.
16
关闭
S3=a1+a2+a3=3a
1 = 9,
1 或
1 (舍去).
∴
=
=2
1 (1- 5 )
∴S5=
1-
=
4
1
1- 5
2
1
12
3
=
31
4
.
(2)设{an}的公比为 q,则由题意,
1 = 1,
1 (1 + ) = -1,
3
得
解得
故
a
4=a1q =-8.
= -2,
1 (1- 2 ) = -3,
-13-
考点1
4
-14-
考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法
(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三
求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.
(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的
分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1
2
1
21 -12来自=-1 2
,
.
− 1-
1 -1
2
=
1 -1
2
1
1
2
2
又 b1=a1= 代入上式也符合,∴bn=
−
1
2
=
1
2
.
.
-21-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 3 等比数列性质的应用(多考向)
考向一 等比数列项的性质的应用
例3(1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则
解得 a1=192.
所以
a4+a5=192×
C
1 3
2
+192×
1 4
2
=378,
关闭
=24+12=36(里).
解析
答案
-8知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
3.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是
{an}的前n项和,则S12的值为(
)
关闭
由 a5 是 a3 与 a11 的等比中项,得52 =a3·
7
63
S3=4,S6= 4 ,则 a8=
.
思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?
答案: (1)B
(2)-8
(3)32
-12-
考点1
考点2
考点3
考点4
解析:(1)由题意可知公比q≠1.
3

·


= 1,
1
1
2 4 = 1,
∵
∴ 1 (1- 3 )
3 = 7,
= 7.
1-
1 = 4,
考点4
考点 1 等比数列的基本运算
例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知
a2a4=1,S3=7,则S5等于(
)
A.
15
2
B.
31
4
C.
33
4
17
2
D.
(2)(2017全国Ⅲ,理14)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则
a4=
.
(3)等比数列{an}的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn.已知
考点2
考点3
考点4
解析: (1)∵由正数组成的等比数列{an}中,a3a4a5=3π,
∴43 =3π,即
π
a4=33 .
∴sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)
=sin[log3(a1·
a2·
…·
a7)]=sin(log347 )
7π
π
=sin(7log3a4)=sin 3 =sin3
(2)由(1)得 Sn=1- -1 .
由
即
31
S5= 得
32
5
-1
=
1-
5
-1
1
.解得
32
=
31
,
32
λ=-1.
-18-
考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得1.判断数列{an}为等比数列的方法:
+1
(1)定义法:若

=q(q 为非零常数,n∈N*)或

-1
=q(q 为非零常数,
(1)∵
3,
(2)在等比数列{a
n}中,a3-3a2=2,且5a4为12a3和2a5的等差中项,则
2=0,
1+q-2q
,化简可得
=2a
+a
a
∴
3
2
1
{an}的公比q等于( 1 )
解得
或 q=1(舍去)或 q=- ,
2
1 5
1- 2
1
1+
2
由等比数列的前 n 项和公式得 S5=
11
= 16,故选 D.
6.3
等比数列及其前n项和
-2知识梳理
1 2
双基自测
1.等比数列
(1)等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的
比等于 同一个常数 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫
做等比数列的 公比 ,公比通常用字母 q(q≠0)
表示.数学

语言表达式: =q(n≥2),q 为常数,q≠0.
考点2
考点3
考点4
考点 2 等比数列的判定与证明
例2已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
31
32
(2)若 S5= ,求 λ.
思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?
-17-
考点1
考点2
考点3
考点4
解 (1)由题意得 a1=S1=1+λa1,故 λ≠1,a1=
a3=
.
关闭
由已知条件,得 a1(q4-1)=15,a1q(q2-1)=6,两式相除得 2q2-5q+2=0,解
1
得 q=2 = 舍去 .
2
将 q=2 代入 a1q(q2-1)=6,得 a1=1,故 a3=a1q2=4.
4
关闭
解析
答案
-11知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
考点1
考点2
考点3
1
又 a1+a1=1,∴a1= ,
2
1
1
∵首项 c1=a1-1,∴c1=-2,公比 q=2.
1
1
又 cn=an-1,∴{cn}是以-2为首项,以2为公比的等比数列.
-20-
考点1
考点2
考点3
考点4
1
(2)解:由(1)可知 cn= - 2 ·
1
∴an=cn+1=1∴当 n≥2 时,
bn=an-an-1=1-
1
,a1≠0.
1-
由 Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1 得 an+1=λan+1-λan,即 an+1(λ-1)=λan.
+1

由 a1≠0,λ≠0 得 an≠0,所以
=

.
-1
1

因此{an}是首项为 ,公比为 的等比数列,于是
1-
-1
1
-1
an=
.
1- -1

例4设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=(
)
关闭
(方法1)∵S2=3,S4=15,
思考本题应用什么性质求解比较简便?
∴由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∴(S4S2)2=S2(S6-S4),
a11,
即(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+10d).
又 d=1,解得 a1=-1,所以
D
1
S12=-12+2×12×11=54
关闭
解析
答案
-9知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
4.(2018四川凉山一诊)在各项均为正数的等比数列{an}
中,a2a3=16,则数列{log2an}的前4项和等于
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
(1)证明:∵an+Sn=n,①∴an+1+Sn+1=n+1.②
②-①得an+1-an+an+1=1,
∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,
+1 -1
∴
-1
1
= 2,∴{an-1}是等比数列.
=
√3
2
.故选 B.
(2)设数列{an}的公比为 q,
由 a1a2a3=23 =4 与 a4a5a6=53 =12,两式相除得 q9=3,
又 an-1anan+1=3 =324,
3
∴ 3=q3n-6=34=q36,∴n=14.
2
-23-
考点1
考点2
考点3
考点4
考向二 等比数列前n项和的性质的应用
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列. (
(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(
)
(3)等比数列中不存在数值为0的项.(
)
(4)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数
列.(
)
(5)若数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.(
)
(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为
(1- )
Sn=
.(
1-
)
)
关闭
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×
答案
-7知识梳理
1 2 3 4 5
双基自测
2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十
八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次
日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了378里路,第一
天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走
了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了(
)
关闭
1
里里
由题意可知此人每天走的里数构成以
为公比的等比数列.
2
里里
设第一天走的路程为
a1,
1 6
2
1
12
1 1-
由题意和等比数列的求和公式可得
1 < 0,
②满足
或
时,{an}是
0<<1
>1
1 ≠ 0,
常 数列;
③当
时,{an}为
=1
递增
数列;
递减
数列;
④当q<0时,{an}为摆动数列.
(5)当q≠-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其
n
q
公比为
.
-6知识梳理
1 2 3 4 5
双基自测
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(2)∵在等比数列{an}中,a3-3a2=2,且 5a4 为 12a3 和 2a5 的等差中项,
1 2 -31 = 2,
1 = -1,
解得
∴
= 2.
2(51 3 ) = 121 2 + 21 4 ,
(1)D
(2)C q 等于 2.
{an}的公比
∴
-16-
解析
关闭
答案
考点1
sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为(
)
1
A.2
√3
B. 2
C.1
√3
D.- 2
(2)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an.
1anan+1=324,则n=
思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?
关闭
(1)B (2)14
-22-
答案
考点1
-1
-3知识梳理
双基自测
1 2
(2)等比中项
如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的
G2=ab
等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒
.
(3)等比数列的通项公式
amqn-m
a1qn-1
an=
;可推广为an=
.
(4)等比数列的前n项和公式
当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1
且 n≥2,n∈N*),则数列{an}是等比数列.
2
(2)等比中项法:在数列{an}中,若 an≠0,且+1
=an·
an+2(n∈N*),则数
列{an}是等比数列.
2.解答选择题、填空题时也可用如下方法:
(1)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·
qn(c,q均是不为0的
常数,n∈N*),则数列{an}是等比数列.
1 (1- )
时,Sn=
1-
=
1 -
.
1-
-4知识梳理
1 2
双基自测
2.等比数列及其前n项和的性质
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=
am·an=2 .
am·an
;若m+n=2k,则
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…
m
q
仍是等比数列,公比为
.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则
1

{λan}(λ≠0), ,{2 },{an·bn}, 仍是等比数列.