重庆市綦江区三江中学八年级数学下册《勾股定理》学案(无答案) 人教新课标版

重庆市綦江区三江中学八年级数学下册《勾股定理》学案 人教新课标版
学习要点
1、 了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程,激发学习热情。

2、 通过勾股定理的探索过程，培养推理能力，体会数形结合思想。

3、 通过拼图活动，培养形象思维，合作精神。

自主学习与思考
1、看书第63页填空并画图理解：在直角三角形中，短的直角边叫 ，长的直角边叫 ，
叫弦。

2、观察第63页图片，了解第24届国际数学家大会会徽的意义：“赵爽弦图”。

3、勾股定理的内容： 。

师生互动，交流与点拨
（一）观察图形，发现问题 1、（1）看书第64页并猜想毕达哥拉斯大数学家 在朋友家作客时在砖铺地面上的发现是什么？
（图1） （2）观察图1中你发现了什么？说说自己的想法。

（3）交流讨论：图1中可以用什么方法得出：等腰三角形两直角边的平方和与斜边的的平方之间的数量关系： 2、探究
（1）观察右图填空(11s )图中A S = B S = C S = ， 则A S 、B S 、C S 之间的关系是 。

（2）观察右图填空：图中'A S = ，'B S = ，'C S = ， 则'A S 、'B s 、'C S 之间的关系是： 。

（3）由观察两图的计算你得到什么结论？
结论： 。

（二）勾股定理的证法 1、赵爽弦图法
（1）剪4个全等的直角三角形，照书第65页拼图如右图。

（2）观察交流:4个直角三角形的面积、小正方形的面积、大正方形的面积之间有
什么联系？
（3）讨论小直角三角形的三边之间有何数量关系？ 2、小结
①勾股定理的证法很多很多，目前大约有四五百种。

②本节课证明勾股定理的方法：面积法
③“赵爽弦图”表明了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。

④勾股定理有广泛的应用，希望同学们用心学好。

范例学习：
例1. 在Rt △ABC ，∠C=90°
⑴已知a= 5, b=12求c 。

⑵ 已知a=6,c=10, 求
b
例2已知一个直角三角形的两边分别是3和4，求第三边
课堂练习
1、根据图形填空
图1-3
观察图形和填空可得到的定理是 。

课后巩固练习
1.在Rt △ABC ，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c 。

⑵已知a=1,c=2, 求b
2.求出下列三角形中未知的边的长度。

3. 直角三角形两直角边长分别为6和8，（1）求这个三角形的面积 （2）求斜边的长（3）求斜边上的高的长度
4.已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。

⑴求等边△ABC 的高。

⑵求S △ABC
知识拓展运用
5. 如图，∠C=0
90，探究图中有阴影的三个半圆的面积的关系。

第2课时 勾股定理（2）
学习要点
1、 运用勾股定理进行简单计算
2、 运用勾股定理解释生活中的实际问题
3、 通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想 复习引入
1.勾股定理的内容是什么？它适用的对象是什么图形？
2、求下图中字母所代表的数值直角三角形的斜边x 长为 ， 正方形A 面积为 3..计算填表:在t R △ABC 中，∠C= 0
90，
4.思考：在解决直角三角形问题时，需要几个条件？ 师生互动，交流与点拨 （一）合作探究
P66页 探究1师生共同完成探究1的逻辑推理书写。

（二）讨论与交流：P67页探究2
想想：怎样将实际生活问题转化为数学建模问题？ （三）范例学习
例1. 一旗杆离地面
6m 处折断，旗杆顶部在离旗杆底部8m
处，旗杆折断之前有多高？
课内小结： （四）课堂练习
1. 如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，
树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.
2. 有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆盖的直径至少多长（结果保留整数）？
课后巩固练习
1、如图，为了求出湖两岸的A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角
形.通过测量，得到AC 长160米，BC 长128米.问从点A 穿过湖到点B 有多远？
2、如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm,则正
方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2。

3. 一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m ，旗杆在断裂之前高多少m ？
4. 学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了
步路（假设
2步为1米）， 却踩伤了花草．
知识拓展训练
5.如图t R △ABC 的面积为1202
cm ，在AB 的同侧，分别以AB ，BC ，AC 为直径作三个半圆，求阴影部份的面积。

第3课时 勾股定理（3）
学习要点
1、了解勾股数组及勾股数
2
3、勾股定理的实际应用. 知识了解：
1、 勾股数组：勾股定理222z y x =+本身是一个关于z y x ,,的不定方程，
显然它有无数组解，满足该方程的正整数解z y x ,,通常叫做勾股数组。

2、勾股数：世界上第一次给出勾股数组通解公式的是《九章算术》，其勾股数组公式为： a=
221()2m n -,b=mn,c=221
()2
m n +其中m ,n(m ＞n)是互质且一奇一偶的任意正 整数,则a 、b 、C 为勾股数。

如 (1)3,4,5; (2)9,12,15 (3)8,15,17 师生互动与交流
（一）
P68页 （三）范例学习
1.判断下列哪组是勾股数？
（1）5，6，7 （2）6，8，10 （3）3K ，4K ，5K （4）7，15，17 2
的点
3．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。

（精确到1米）
（四）课堂练习
1. 在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为( ). A ．4cm B ．4cm 或cm 34 C ．cm 34 D ．不存在
2. 直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为102
cm ，242
cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2
cm ．
A
C B D
E
F
3. 在数轴上作出表示10的点．
课后巩固练习
1. 在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 2
22AC BC ++的值是（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
2. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
3.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行 千米?
4. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm 求CD 的长.
5.三角形的两边长分别是3和5，要使这个 三角形是直角三角形，求第三边长。

6.某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
7.如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设 筷子露在杯子外面的长度为hcm ，求h 的取值范围。

知识拓展训练
8.如图，已知长方形ABCD 沿着BD 折叠，使点C 落在'
c 处，B '
c 交AD 于E ，AD=8，AB=4，求DE 的长。

9. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
第4课时 勾股定理的复习
知识梳理
1、直角三角形→三边关系→勾股定理→实际应用
2、数学思想方法:数形结合思想、方程思想、勾股定理与函授 范例学习
1、如图，在t R △ABC 中，∠ABC=0
90，∠A 、∠B 、∠C 所对的边为a 、b 、c ， （1）若a=6,b=8,求c 的长及斜边上的高
（2）若a=40,c=41,求b (3)若a:b=3:4,c=15,求b.
2、如图，有一块直角三角形纸板ABC ，两 直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边沿直 线AD 折叠，使它落在AB 上，且点C 落在 点E 处，求CD 的长。

3.如图，A 、B 两村在河岸CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的工种费每千米需3000元，请你在河岸CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出水管的总费用W 元。

课堂练习：
1. 已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长； ②ΔABC 的面积．
2. 把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是92
cm ，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好.
3.如图，在一棵树的10m 高的B 处，有两只猴子，
一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另一只猴子爬到
树顶D 处后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子经过 的距离相等，试问这棵树有多高？
课后巩固练习
1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为____________
2. 已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3.在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3， 求AB 的长.
4．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重
合，则EB 的长是（ ）．A ．3 B ．4 C
．5
5.已知点A （4，m ）、B （-1，n ）在反比例函数y=8x
的图象上，直线AB 与x
轴交于C 点，如果点D 在y 轴上，且DA=DC ，A 在第一象限，B 在第三象限，求点D 的坐标。

6. 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 知识拓展训练
7.观察下列勾股数：
第一组：3=2×1＋1， 4=2×1×（1+1）， 5=2×1×（1+1）+1； 第二组：5=2×2＋1， 12=2×2×（2+1）， 13=2×2×（2+1）+1； 第三组：7=2×3＋1， 24=2×3×（3+1）， 25=2×3×（3+1）+1； 第四组：9=2×4＋1， 40=2×4×（4+1）， 41=2×4×（4+1）+1；…… 观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的c b a ,,各应是多少吗？第n 组呢？
A
A D E
B C
图18.2-2
第5课时 勾股定理的逆定理（1）
学习要点
1、了解勾股定理的定理
2、掌握勾股定理的定理的证明方法，体会数形结合方法
3、运用勾股定理的定理判定一个三角形是直角三角形 复习引入
2．勾股定理的题设和结论各是什么？
题设： 结论： 引入新课
1、分组实践：
（1）自学课本第73页，学生分组实验：每组准备一根打了13个结的绳子，按课本说明摆放成一个三角形，观察并讨论三角形的形状是什么？ ，这个实验说明了一个三角形三边满足怎样的关系它就成为直角三角形？
（2）分别以2.5cm 、6cm 、6.5cm 和4cm 、7.5cm 、8.5cm 为三边画两个三角形，观察说出此三角形的形状。

2、新课引入：勾股定理的逆定理
（1）思考：如果三角形三边长为a 、b 、c 满足2a +2b =2
c ，那么三角形是 。

（2）写出勾股定理的逆定理的题设和结论
题设： 结论： （3） 分析勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别 师生互动与交流
勾股定理的逆定理的证明
1、看书第74页，完成探究活动
2.总结判断一个三角形是直角三角形的方法 （1） （2） （3） 。

范例学习
例1判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1） a=15，b=8，c=17 （2）a=13，b=14，c=15;
例2、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．(填序号)
①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24
例3、由四根木棒，长度分别为3，4，5，12，13 若取其中三根木棒组成三角形，有( )种取法，其中，能构成直角三角形的有（ ）种取法。

课堂练习
1.在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是 （ ） A 、a=9 、b=41 、c=40 B 、a=b=5 、c=25
C
B
A
C 、a ∶b ∶c=3∶4∶5
D a=11 、b=12 、c=15 2. 在△ABC 中，2:1:1:: c b a ，那么△ABC 是（ ）．
A ．等腰三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形 课后巩固练习
1．△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB 与最小边BC 的关系是_________． 2．若一个三角形的周长是123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形是______________________．
3. 下列命题中是假命题的是( )．
A ．△ABC 中,若∠
B =∠
C －∠A ,则△ABC 是直角三角形.
B ．△AB
C 中,若a 2
=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形.
C ．△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形.
D ．△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形.
4. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 A ．90° B．60° C ．45° D ．30°
4题图 5题图
5.如图，正方形小方格边长为1,则网格中的△ABC 的形状是 ？它的面积是 ？
6. 矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），求着色部分的面积
知识拓展运用
7.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中 点，F 为CD 上一点，且CF=
1
4
CD ．求证：△AEF 是直角三角形
8.在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．
l 3
2
1
S 4
S 3
S 2
S 1
A
B
C
第6题图
北 南
A 东
第6课时 勾股定理的逆定理（2）
学习要点
1、运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形
2、运用勾股定理的逆定理解决方位角等实际问题。

复习引入
1、判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是直角三角形的有
（1）a=7,b=24,c=25,(2)a=1.5,b=2,c=2.5 (3)a=40,b=50,c=60 2、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向
航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，
离开港口2小时后，则两船相距 海里，并由题意用字母
表示两轮船的位置
师生互动与交流：P74页例 2 1、怎样将实际问题转化成数学问题？即根据题意画出几何图形请自己画出几何图形：
2、分组探讨解决此题的思路，并由学生说出解法。

3、学生板书解题过程，教师巡视
4、教师点评
范例学习
例1. △ABC 中，AB=13cm,BC=10cm,BC 边上的中线AD=12cm ，求AC
例2. 有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．
课堂练习
1. 如图∠B=90º，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm,CD=29cm
求四边形ABCD 的面积．
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足
为E ，BD=4cm ．求AC 的长．
课后巩固练习
1. 试判断下列长度的各组线段中，是勾股数的有 （填序号）
（1）5，12，13
（2）7，24，25 （3）6，7，8 （4）3,545，1 （5）222n n +，2n+1,2221n n ++(n ＞0)
2.三角形两边的长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边的长是 。

3.命题“a b =”，则“22
a b =”的逆命题是 。

4.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足222244
a c
b
c a b
-=-，试判断△ABC的形状
解：∵222244
a c
b
c a b
-=-①∴2222222
()()()
c a b a b a b
-=+-②∴222
c a b
=+③∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从步开始出现错误？
（2）错误的原因是：。

（3）本题正确的结论为：。

5.已知△ABC的三边a、b、c满足：22
(5)12261690
a b c c
-+-+-+=，试判断
△ABC的形状
6.小东为了测量海面上的两艘船的距离，选择了一个合适的地点A，
测得甲船在东北方向离A点8千米，乙船在西北方向离A点15千米。

那么甲、乙两船相距多少千米？
7.已知圆柱的底面半径为6cm，高为10cm,蚂蚁从A点爬到B点的
最短路程是多少厘米？（提示：线段AB的长可以转化在怎样的三角形中）
知识拓展运用
1.如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.
第7课时勾股定理的逆定理的复习
知识梳理：
1、勾股定理的逆定理：，如果△ABC的三边a、b、c满足，那么△ABC是
直角三角形。

2、勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形的步骤是：（1）确定最长边（2）算出最长边的平方与另两边的平方和（3）比较最长边的平方与另两边的平方和，如果相等，则此三角形为直角三角形。

直角三角形的判定方法还有：⑴直角三角形定义（2）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、命题与逆命题，定理与逆定理
（1）任何命题都有逆命题（2）任何定理却不一定都有逆定理。

4、勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
范例学习
例1. 在以下线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的（ ）
（A ）
a=9,b=41,c=40 (B)a=b=5,c=例2. 如图1所示，一个梯子AB 长5米，
顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 间的
距离为3米，梯子滑动后停在DE 的位置上，
如图2，测得DB 的长为1米，则梯子顶端下落了多少米？
课堂练习
1.若△ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长是（ ）
（A ）14 （B ）4 （C ）14或4 （D ）以上都对。

2. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会徽取材于我国古代数学家赵爽的
“勾股圆方图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个
大正方形，如图所示。

如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角
形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2()a b +的值为（ ）（A ）13 （B ）
19 （C ）25 （D ）169
3. 四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠ABC=090，
求四边形ABCD 的面积。

4. 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2，∠3=∠4． （1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求EF 的长．
课后巩固练习
1.在t R △ABC 中，∠C=090。

（1）已知c=25,b=15,求a (2) 已知
∠A=060求b,c
2.
已知直角三角形的周长是2+
斜边长2，求它的面积。

3. 如图所示，在平面直角坐标系中。

直线33y x =+与
x 轴交于B ，与y 轴交于A ，直线
133
y x =-+与x 轴交于点C ，同时也过点A ， 请判断两直线有怎样的位置关系，并说明理由。

4. 小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？
5.P 是等边△ABC 内的一点，连接PA 、PB 、PC ，以BP 为边作∠PBQ=060，且BQ=BP ，连接CQ 。

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论：
（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由。