2025届内蒙古一机集团第一中学高考数学全真模拟密押卷含解析

2025届内蒙古一机集团第一中学高考数学全真模拟密押卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线l 过抛物线2
4y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
2．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）
A ．16216π+
B ．1628π+
C ．8216π+
D ．828π+ 3．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关
系是（ ） A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
4．当0a >时，函数()()
2
x
f x x ax e =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．函数()3
2
f x x x x =-+的图象在点()()
1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
6．函数1
()f x ax x
=+
在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ B ．1
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．[1,)+∞
D ．1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
7．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线22221
2
x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）
A ．33
y x =±
B ．3y x =
C ．22
y x =±
D ．2y x =
8．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A ．22n n -
B ．212n -
C ．2
12n (-)
D ．22
n
9．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a = ）
A ．{}a A ⊆
B ．a A ⊆
C ．{}a A ∈
D ．a A ∉
10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()
3
2222x y x y +=.给出下
列四个结论：
①曲线C 有四条对称轴；
②曲线C 上的点到原点的最大距离为
14
； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为
18
； ④四叶草面积小于
4
π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①③④
D ．①②④
11．过抛物线()2
20y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则
AF BF
=（ ）
A ．
5
4
B ．
43 C ．
32
D ．2
12．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2
f x x x
=-，则()}{
21x f x +>=（ ） A ．{
3x x <-或}0x > B ．{
0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >
D ．{
2x x <或}4x >
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a =（4，﹣n ），b =（S n ，n +3）.若a ⊥b ，则数列{
1
n
na }前2020项和为_____ 14．函数()f x 的定义域为[
)1,1-，其图象如图所示．函数()g x 是定义域为R 的奇函数，满足()()20g x g x -+=，且当()0,1x ∈时，()()g x f x =．给出下列三个结论：
①()00g =；
②函数()g x 在()1,5-内有且仅有3个零点； ③不等式()0f x -<的解集为{}
10x x -<<． 其中，正确结论的序号是________． 15
2cos
4
π
2cos
8
π
=
2cos
16
π
，…请从中归纳出第n 个等式：
2
2n +⋯++=
个______.
16．已知函数2()x
f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线
l
的参数方程为2x t
y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求l 的普通方程和1C 的直角坐标方程；
（2）把曲线1C 向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线2C （纵坐标不变），设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.
18．（12分）在平面直角坐标系
xOy 中，已知点(P
，曲线C ：2sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以原点为极点，x
轴正半轴建立极坐标系，直线
l 的极坐标方程为cos 62
πρθ⎛
⎫
-= ⎪
⎝
⎭. （Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB
+的值. 19．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）. （1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？
附：K
2()()()()
2
()
n ad bc a b c d a c b d -=
++++.
20．（12分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知3a
b ，且
()(sin sin sin )sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.
（1）求cos C 的值；
（2）若ABC 的面积是ABC 的周长. 21．（12分）已知函数ln (),x
x ax
f x a R e
+=
∈ （1）若函数()y f x =在()00ln 2ln3x x x =<<处取得极值1，证明：1123ln 2ln 3
a -<<- （2）若1
()x f x x e
-
恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（10分）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31
sin ,tan 53
A A
B =-=，角
C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得1121AF BF p
+==；再由基本不等式可求得4AF BF +的最小值． 【详解】
由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l 过抛物线2
4y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知
112
1AF BF p
+== 所以4AF BF +
()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭ 441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝
⎭ 因为AF BF 、
为线段长度，都大于0，由基本不等式可知
4415BF AF AF BF ⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭
522≥+⨯
9≥，此时2BF AF =
所以选B 【点睛】
本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题． 2、D 【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为
2111
42268222
πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ． 3、B
【解析】 化简圆到直线的距离
，
又
两圆相交. 选B
4、B 【解析】
由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，
0,a >∴函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，
则()()()()
2
2
,'1x
x
f x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()
2
'10x
f x x x e =+->，解得15x -+>
或15
x --<由()()
2
'10x
f x x e =-<，解得：1515
x ---+<<
即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
5、A 【解析】
求出函数在1x =处的导数后可得曲线在()()
1,1f 处的切线方程，从而可求切线的纵截距. 【详解】
()2321f x x x '=-+，故()12f '=，
所以曲线()y f x =在()()
1,1f 处的切线方程为：()()21121y x f x =-+=-. 令0x =，则1y =-，故切线的纵截距为1-. 故选：A. 【点睛】
本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y 轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题. 6、B 【解析】
对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】
当0a ≤时，函数1
()f x ax x
=+
在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1
()f x ax x =+
的递增区间是⎫+∞⎪⎭
，
所以2≥，即1
4
a ≥. 故选:B. 【点睛】
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 7、A 【解析】
由题意可得222222a b a b -=+，即223a b ，代入双曲线的渐近线方程可得答案.
【详解】
依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221
(a 0,b 0)2
x y a b -=>>即22
221(a 0,b 022
)x y a b -=>>的焦点相同，可
得：22
22
1122
a b a b -=
+， 即2
2
3a b
，∴b a =
=
双曲线的渐近线方程为：x y x
==, 故选：A ． 【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 8、B
【解析】
直接代入检验，排除其中三个即可． 【详解】
由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ． 【点睛】
本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 9、D 【解析】
由题意{|A x N x =∈==∅，分析即得解
【详解】
由题意{|A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆
故选：D 【点睛】
本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 10、C 【解析】
①利用,x y 之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y 的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y 满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于4
π. 【详解】
①：当x 变为x -时， ()
3
22
22x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；
当y 变为y -时，()3
2222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称； 当y 变为x 时，()
3
22
22x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；
当y 变为x -时，()
3
22
22x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；
综上可知：有四条对称轴，故正确；
②：因为(
)
3
2222x y x y +=，所以()
2
223
2222
2x y x y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭
，
所以2
2
14
x y +≤
12≤，取等号时22
18x y ==，
所以最大距离为1
2
，故错误；
③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ， 因为(
)
3
2
22
2
x y
x y +=，所以()()3
3
2
2
2
22x y x y
xy =+≥，所以1
8xy ≤，
取等号时4
x y ==
，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确；
④：由②可知2
2
14
x y +≤
，所以四叶草包含在圆22
14x y +=的内部，
因为圆的面积为：144S π
π=⋅=，所以四叶草的面积小于4
π，故正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明. 11、C 【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得AFH 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()
cos 2p
BF πα=
-，
()
tan sin 2p AF α
πα=
-，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()
()
cos 2cos 2MF p
BF παπα=
=
--，
()
()
()
tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF αα
παπαπα=
=
=
---，
所以
()2tan tan tan 13tan 2tan 222AF
BF αααπαα
-====--.
故选：C 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题 12、C 【解析】
简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算21
x x
x ⎧
-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 【详解】
由()()11f x f x -=+， 可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2
f x x x
=-， 可知()2
f x x x
=-
在[)1,+∞单调递增 则21
20
x x x
x ⎧
-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，
所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{
21x f x +>={
2x x <-或}0x > 故选：C 【点睛】
本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，
()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
4040
2021
【解析】
由已知可得a •b =4S n ﹣n （n +3）＝0，可得S n ()34
n n +=
，n ＝1时，a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1.可得：
()121n na n n ==+2（111
n n -+）.利用裂项求和方法即可得出. 【详解】
∵a ⊥b ，∴a •b =4S n ﹣n （n +3）＝0， ∴S n ()34
n n +=
，n ＝1时，a 1＝S 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1()()()31214
4
2
n n n n n +-++=
-
=.
1n =，满足上式，1
2
n n a +∴=
. ∴
()121n na n n ==+2（111
n n -+）. ∴数列{
1
n
na }前2020项和为 2（111111223
20202021-+-++
-）＝2（112021-）4040
2021
=. 故答案为：
4040
2021
. 【点睛】
本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 14、①③ 【解析】
利用奇函数和()()20g x g x -+=，得出函数()y g x =的周期为2，由图可直接判断①；利用赋值法求得()10g =，
结合()00g =，进而可判断函数()y g x =在()1,5-内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③的正误.综合可得出结论. 【详解】
因为函数()y g x =是奇函数，所以()()g x g x =--，
又()()20g x g x -+=，所以()()2g x g x -=-，即()()2g x g x +=， 所以，函数()y g x =的周期为2.
对于①，由于函数()y g x =是R 上的奇函数，所以，()00f =，故①正确； 对于②，
()()20g x g x -+=，令1x =，可得()210g =，得()10g =，
所以，函数()y g x =在区间[]1,1-上的零点为0和1.
因为函数()y g x =的周期为2，所以函数()y g x =在()1,5-内有5个零点，分别是0、1、2、3、4，故②错误； 对于③，令t x =-，则需求()0f t <的解集，由图象可知，01t <<，所以10x -<<，故③正确. 故答案为：①③. 【点睛】
本题考查函数的图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题． 15、1
2cos 2n π
+
【解析】
通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第n 个等式即可． 【详解】
2cos
4
π
=
2cos
8
π
2cos
16
π
=，
等式的右边系数是2，且角是等比数列，公比为
1
2，则角满足：第n 个等式中的角12
n π+， 12
22cos 2
n n π
++⋯++=个；
故答案为：1
2cos 2n π
+．
【点睛】
本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题． 16、2 -0e x y = 【解析】 设切点坐标为(
)2,t
t e
，利用导数求出曲线()y f x =在切点()2,t
t e 的切线方程，将原点代入切线方程，求出t 的值，
于此可得出所求的切线方程． 【详解】 设切点坐标为(
)2,t
t e
，()2x f x e =，()22x f x e '∴=，()22t f t e '=，
则曲线()y f x =在点(
)2,t
t e
处的切线方程为()222t
t y e
e x t -=-，
由于该直线过原点，则222t t e te -=-，得12
t =
， 因此，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为2y ex =，故答案为20ex y -=． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是： （1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；
（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标； （3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1
）:20l x y +-=，()2
2:11C x y +-=；（2
. 【解析】
（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ得
22sin ρρθ=，进而可化简得出曲线1C 的直角坐标方程；
（2）根据变换得出2C 的普通方程为2
214
x y +=，可设点P 的坐标为()2cos ,sin θθ，利用点到直线的距离公式结合
正弦函数的有界性可得出结果. 【详解】
（1
）由2x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）
2=-
，化简得20x y +-=，
故直线l
的普通方程为20x y +-=.
由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，又222
x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=.
所以1C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=；
（2）由（1）得曲线1C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=，向下平移1个单位得到22
1x y +=，
纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线2C 的方程为2
214
x y +=，
所以曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）.
故点P 到直线l
的距离为d ==
当4
π
θ=
时，d
. 【点睛】
本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算能力，属于中等题.
18、（Ⅰ）点P 在直线l
上；见解析（Ⅱ）
11PA PB
+= 【解析】
（Ⅰ）直线l
：2cos 6πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
cos sin θρθ+=l
y +=
0+=，所以点P 在直线l 上； （Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得. 【详解】
（Ⅰ）直线l
：2cos 6πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
cos sin θρθ+= 所以直线l
y +=
0+=， 所以点P 在直线l 上；
（Ⅱ）直线l
的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
曲线C 的普通方程为22
124
x y +
=， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得251240t t +-=， 设两根为1t ，2t ，所以12125t t +=-，114
05
t t ⋅=-<， 故1t 与2t 异号，
所以
12t t A P P B =-=
=
+， 121245
PA PB t t t t ⋅=⋅=-=
，
所以
11
PA PB PA PB PA PB
++==⋅【点睛】
本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题.
19、（1）男生人数为45人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关. 【解析】
（1）求出男女比例，按比例分配即可；
（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合2K 公式计算，利用表格数据对比判断即可 【详解】
（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11， 所以男生人数为
9
1004520
⨯=人，女生人数100﹣45＝55人， （2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，
每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人， 联表如下：
因为2
2
100(1838737)45552575
K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.892＞3.841，
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关. 【点睛】
本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.
20、（1）cos C =；（2）2+ 【解析】
（1）由正弦定理可得,2
()()2a b c a b c c ab -+--=-,化简并结合3a b ,可求得,,a b c 三者间的关系,代入余弦定理
可求得cos C ;
（2）由（1）可求得sin C ,再结合三角形的面积公式,可求出,,a b c ,从而可求出答案. 【详解】
（1）因为()(sin sin sin )sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-, 所以2
()()2a b c a b c c ab -+--=-,整理得:2222a b c +=.
因为3a
b ,所以22
42b c =,所以c =
.
由余弦定理可得222222
cos 2a b c C ab +-===
（2）由（1）知cos C =
,则sin C ==
因为ABC 的面积是所以1
sin 2
ab C =
即
212=解得2b =,则a c ==
故ABC 的周长为:2+【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积公式的应用,属于基础题. 21、（1）证明见详解；（2）(,1]-∞ 【解析】
（1）求出函数()y f x =的导函数()f x '
，由()f x 在0x x =处取得极值1，可得0()0f x '=且0()1f x =.解出
001x a e x =-
，构造函数1()(0)x
r x e x x
=->，分析其单调性，结合0ln 2ln 3x <<，即可得到a 的范围，命题得证；
（2）由1()x
f x x e -
分离参数，得到ln 1x x a e x x --恒成立，构造函数ln 1()x
x g x e x x
=--，求导函数22
ln ()x x e x g x x
'+=，再构造函数2()ln x
h x x e x =+，进行二次求导()
21()2x h x x x e x '=++.由0x >知()0h x '>，则()h x 在(0,)+∞上单调递增.根据零点存在定理可知()h x 有唯一零点1x ，且
11
12
x <<.由此判断出()10,x x ∈时，()g x 单调递减，()1,x x ∈+∞时，()g x 单调递增，则()min 1()g x g x =，即1111
ln 1
x
x a e x x -
-.由()10h x =得1111ln x x x e x =-
，再次构造函数()(0)x k x xe x =>，求导分析单调性，从而得11ln x x =-，即11
1x e x =，最终求得()11g x =，则1a .
【详解】
解：（1）由题知，1
(ln )
()x
a x ax x
f x e '
+-+= ∵函数()y f x =在0x x =，处取得极值1，
()()000001
ln 0x a x ax x f x e +-+'∴==，且()00
00
ln 1x ax f x e
+==， 0000
1
ln x a x ax e x ∴
+=+=， 00
1x a e x ∴=-
， 令1()(0)x
r x e x x =-
>，则21
()0x r x e x
'=+> ()r x ∴为增函数，
00ln 2ln 3x <<< (ln 2)(ln3)r a r ∴<<，即1123ln 2ln 3
a -
<<-成立. （2）不等式1
()x f x x e
≤-
恒成立， 即不等式ln 1x xe x ax --≥恒成立，即ln 1
x
x a e x x
-
-恒成立， 令ln 1()x
x g x e x x =--，则2222
1ln 1ln ()x x
x x e x g x e x x x '-+=-+= 令2()ln x
h x x e x =+，则(
)
2
1()2x
h x x x e x
'=++
, 0x
，()0h x '∴>，
()h x ∴在
(0,)+∞上单调递增，且1(1)0,ln 202h e h ⎛⎫=>=-< ⎪
⎝⎭
， ()h x ∴有唯一零点1x ，且
11
12
x <<， 当()10,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增.
()min 1()g x g x ∴=，
1111
ln 1
x x a e x x ∴-
- 由()10h x =整理得1
11
1
ln x
x x e x =-
11
12
x <<，1ln 0x -> 令()(0)x
k x xe x =>，则方程1
11
1
ln x x x e x =-
等价于()()11ln k x k x =- 而()(1)x
k x x e '=+在(0,)+∞上恒大于零， ()k x ∴在(0,)+∞上单调递增，
()()11ln k x k x =-.
11ln x x ∴=-
11
1x e x ∴=
()()111111111
ln 111
1x x x g x e x x x x x -∴=--=--=， 1a ∴
∴实数a 的取值范围为(,1]-∞. 【点睛】
本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题. 22、（1
）sin 10
B =（2）13c = 【解析】
（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；
（2）利用正弦定理sin sin a A b B
=
得到 a =13c =． 【详解】
(1)因为角C 为钝角，3sin 5A =
，所以4cos 5
A == ， 又()1tan 3A
B -= ，所以02
A B π
<-< ， 且(
)(
)sin A B A B -=
-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦
3455=-=. (2)
因为
sin sin 5
a A
b B ==
，且5b =
，所以a =， 又(
)cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，
则222
2cos 952525169c a b ab C ⎛
=+-=+-⨯= ⎝ ，
所以 13c = .。