2021学年山东省威海市某校高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)

2021学年山东省威海市某校高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项是正确的）
1. 若集合M={x|x−3<0, x∈N}，则下列四个命题中，正确的命题是( )
A.0∉M
B.{0}∈M
C.{1}⊆M
D.1⊆M
2. 设集合U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则∁U(A∩B)=( )
A.{2, 3}
B.{1, 4, 5}
C.{4, 5}
D.{1, 5}
3. 下列各图中，不能表示函数y=f(x)的图象的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列各组函数f(x)与g(x)的图象相同的是( )
A.f(x)=x,g(x)=(√x)2
B.f(x)=x2，g(x)=(x+1)2
C.f(x)=1，g(x)=x0
D.f(x)=|x|,g(x)={x,
−x,(x≥0), (x<0)
5. 若点(x, y)在映射f下的象为点(2x, x−y)，则(−1, 2)在映射f下的原象为( )
A.(−2, −3)
B.(−2, 1)
C.(1
2, 5
2
) D.(−1
2
, −5
2
)
6. 若不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|−1
2<x<1
3
}，则a+b的值为( )
A.−10
B.−14
C.10
D.14
7. 已知f(x)={x2−1，x≤0，
f(x−2),x>0，
则f[f(1)]的值为()
A.−1
B.0
C.1
D.2
8. 若函数f(x)的定义域为[0, 1]，则函数f(x+2)的定义域为( )
A.[0, 1]
B.[−2, −1]
C.[2, 3]
D.无法确定
9. 函数y=−1
x+1
的大致图象是( )
A. B. C. D.
10. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2−1，值域为{1, 7}的“孪生函数”共有()
A.10个
B.9个
C.8个
D.4个
二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
满足φ⊊A⊆{1, 2, 3}的集合A的个数是________．
函数y=√x−1+1
2−x
的定义域为________．
函数f(x)=−x2+2(a−1)x+3在区间(−∞, 2]上单调递增，则a的取值范围是
________．
已知函数g(x)=1−2x，f[g(x)]=1−x2
x2，则f(1
2
)等于________．
有以下的五种说法：
①函数f(x)=1
x
的单调减区间是(−∞, 0)∪(0, +∞)；
②若A∪B=A∩B，则A=B=⌀；
③已知f(x)是定义在R上的减函数，若两实数a，b满足a+b>0，则必有f(a)+ f(b)<f(−a)+f(−b)；
④已知f(x)=√ax2−ax+2的定义域为R，则a的取值范围是[0, 8).
以上说法中正确的有________（写出所有正确说法选项的序号）
三．解答题：（本大题共6小题，共75分）
设U=R，A={x|x≥1}，B={x|0<x<5}，
(1)求A∪∁U B；
(2)若C={x|2−a<x<2a+3}，且C⊆B，求a的取值范围．
求下列函数的值域：
(1)y=2x+4√1−x；
(2)y=6−√−x2−6x−5；
(x<0或2<x<5)．
(3)y=4
x−1
已知函数f(x)=x|x−2|.
(1)在给出的坐标系中作出y=f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间；
(2)若集合{x|f(x)=a}恰有三个元素，求实数a的取值范围．
求：
(1)已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)−f(x)=2x，求f(x)；
(2)若f(x)满足关系式f(x)+2f(1
)=3x，求f(x)的解析式；
x
(3)f(x+1)=x2+4x+1，求f(x)的解析式．
设f(x)是定义在(0, +∞)上的减函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=−1．(1)求f(1)，f(9)的值；
(2)若f(x)+f(x−8)≥−2，求x的取值范围．
，且f(1)=2.
已知函数f(x)=x2+a
x
(1)判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在(1, +∞)上是增函数；
(3)求函数f(x)在区间[2, 5]上的最大值与最小值．
参考答案与试题解析
2021学年山东省威海市某校高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项是正确的）
1.
【答案】
C
【考点】
集合的包含关系判断及应用
元素与集合关系的判断
【解析】
先求得集合M={0, 1, 2}，根据元素与集合的关系的表示，集合与集合关系的表示，子集的定义即可找出正确选项．
【解答】
解：M={0, 1, 2}；
A错误，0∈M；
B错误，“∈“是表示元素与集合关系的符号；
C正确，可由子集的定义得到；
D错误，“⊆“是表示集合之间关系的符号．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
求出集合A∩B，然后求出它的补集即可．
【解答】
解：集合U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，
所以A∩B={1, 2, 3}∩{2, 3, 4}={2, 3}，
∁U(A∩B)={1, 4, 5}.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
函数的概念
【解析】
根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应，紧扣概念，分析图象即可得到结论．
【解答】
解：根据函数的定义可知，只有C不能表示函数关系．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
要使数f(x)与g(x)的图象相同，函数f(x)与g(x)必须是相同的函数，注意分析各个选项中的2个函数
是否为相同的函数．
【解答】
解：f(x)=x 与 g(x)=(√x)2的定义域不同，故不是同一函数，∴ 图象不相同； f(x)=x 2与g(x)=(x +1)2的对应关系不同，故不是同一函数，∴ 图象不相同； f(x)=1与g(x)=x 0的定义域不同，故不是同一函数，∴ 图象不相同；
f(x)=|x|与g(x)={x
,(x ≥0)，−x ,(x <0)，
具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一函数，∴ 图象相同．
故选D ．
5.
【答案】
D
【考点】
映射
【解析】
根据元素定义列方程即可．
【解答】
解：根据元素的定义，得方程{2x =−1,x −y =2,
解得{x =−12,y =−52,
则(−1, 2)在映射f 下的原象为(−12, −52). 故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
根与系数的关系
一元二次不等式的解法
【解析】
将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a ，b ，从而求出所求．
【解答】
解：∵ 不等式ax 2+bx +2>0的解集为(−12, 13)，
∴ −12，13为方程ax 2+bx +2=0的两个根，
∴ 根据韦达定理：
−12
+13=−b a ①， −12×13=2a ②，
由①②解得：
{a =−12，b =−2， ∴ a +b =−14.
故选B ．
7.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
【解析】
由题意先求f(1)的值，然后再求f[f(1)]的值即可（注意看清要代入哪一段的解析式，避免出错）．
【解答】
解：∵ f(x)={x 2−1，x ≤0，
f(x −2),x >0， ∴ f(1)=f(1−2)=f(−1)=(−1)2−1=0，
∴ f[f(1)]=f(0)=−1．
故选A ．
8.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
原函数的定义域，即为x +2的范围，解不等式组即可得解．
【解答】
解：∵ 原函数的定义域为[0, 1]，
∴ 0≤x +2≤1，解得−2≤x ≤−1，
∴ 函数fx +2)的定义域为[−2, −1]．
故选B ．
9.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
利用函数图象的平移解题，
函数y =−1x+1可以看成是把函数y =−1x 中x 换成x +1，图象是向左平移了1个单位．
【解答】
解：函数y =−
1x+1图象是由函数y =−1x 的图象向左平移1个单位得到， 而函数y =−1x 的图象在第二、第四象限且是单调递增的两支图象，
考查所给的四个图象只有B 符合.
故选B ．
10.
【答案】
B
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
根据已知中若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，再由函数解析式为y =2x 2−1，值域为{1, 7}，由y =1时，x =±1，y =7时，x =±2，我们用列举法，可以得到函数解析式为y =2x 2−1，值域为{1, 7}的所有“孪生函数”，进而得到答案．
【解答】
解：由已知中“孪生函数”的定义：
一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，
当函数解析式为y =2x 2−1，值域为{1, 7}时，
函数的定义域可能为：{−2, −1}，{−2, 1}，{2, −1}，
{2, 1}，{−2, −1, 1}，{−2, −1, 2}，{−1, 1, 2}，
{−2, 1, 2}，{−2, −1, 1, 2}，共9个.
故选B .
二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
【答案】
7
【考点】
子集与真子集的个数问题
子集与真子集
【解析】
分析知，集合A 是集合{1, 2, 3}的非空子集，从而得出集合A 的个数．
【解答】
解：∵ 满足φ⊊A ⊆{1, 2, 3}的集合A ，
∴ A 是集合{1, 2, 3}的子集，且A 非空．
显然这样的集合A 有23−1=7个.
故答案为：7．
【答案】
{x|x ≥1且x ≠2}
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x 的不等式组，解不等式组，可得函数的定义域．
【解答】
解：要使函数的解析式有意义，自变量x 须满足：
{x −1≥0，2−x ≠0，
解得：x ≥1且x ≠2，
故函数y =√x −1+12−x 的定义域为：{x|x ≥1且x ≠2}.
故答案为：{x|x ≥1且x ≠2}.
【答案】
[3, +∞)
【考点】
二次函数的性质
【解析】
由二次函数的图象的对称轴方程为x =a −1，根据函数在区间(−∞, 2]上单调递增，可得a −1≥2，由此求得a 的范围．
【解答】
解：由于函数f(x)=−x 2+2(a −1)x +3的对称轴方程为x =a −1，函数在区间(−∞, 2]上单调递增，
故有a −1≥2，求得a ≥3.
故答案为：[3, +∞)．
【答案】
15
【考点】
函数的求值
【解析】
由由g(x)=1−2x =12，得x =14，从而得到f(12)=f[g(14)]=1−(14)2(14)2=15．
【解答】
解：∵ g(x)=1−2x ，
∴ 由g(x)=1−2x =12，得x =14.
∵ f[g(x)]=
1−x 2x 2， ∴ f(12)=f[g(14)]=
1−(14)2(14)2=15．
故答案为：15．
【答案】
③ 【考点】
函数单调性的性质
函数单调性的判断与证明
函数的定义域及其求法
集合的包含关系判断及应用
【解析】
由函数单调区间的写法判断①；利用交集和并集的运算判断②；由函数单调性的运算判断③；
把f(x)=√ax 2−ax +2的定义域为R 转化为则ax 2−ax +2≥0对任意实数x 都成立，
求解a 的范围判断④．
【解答】
解：①函数f(x)=1x 的单调减区间是(−∞, 0)，(0, +∞)中间不能取并，命题①错误； ②当A =B 时，A ∪B =A ∩B ，A ，B 不一定是⌀，命题②错误；
③已知f(x)是定义在R 上的减函数，若两实数a ，b 满足a +b >0，则a >−b ，b >−a ， ∴ f(a)<f(−b)，f(b)<f(−a)，
∴ f(a)+f(b)<f(−a)+f(−b)，命题③正确；
④∵ f(x)=√ax 2−ax +2的定义域为R ，则ax 2−ax +2≥0对任意实数x 都成立， 当a =0时显然满足，当a ≠0时，有{a >0，
(−a)2−8a ≤0，解得0<a ≤8．
综上，a 的取值范围是[0, 8]，命题④错误.
∴ 正确的说法是③.
故答案为：③．
三．解答题：（本大题共6小题，共75分）
【答案】
解：(1)∁U B ={x|x ≤0或x ≥5}，
∴ A ∩∁U B ={x|x ≥5}.
(2)∵ C ⊆B ，
∴ C 有以下两种情况.
①C =⌀时，有2−a ≥2a +3，
解得a ≤−13；
②C ≠⌀时，
有{2−a <2a +3，
2−a ≥0，
2a +3≤5，⇒{ a >−13，a ≤2，a ≤1，⇒−13<a ≤1， 综合①②知a 的取值范围是(−∞, 1].
【考点】
交、并、补集的混合运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
（1）根据并集、并集的概念进行求解；
（2）因为C ⊆B ，C 是B 的子集，分情况讨论．
【解答】
解：(1)∁U B ={x|x ≤0或x ≥5}，
∴ A ∩∁U B ={x|x ≥5}.
(2)∵ C ⊆B ，
∴ C 有一下两种情况.
①C =⌀时，有2−a ≥2a +3，
解得a ≤−13；
②C ≠⌀时，
有{2−a <2a +3，
2−a ≥0，
2a +3≤5，⇒{ a >−13，a ≤2，a ≤1，⇒−13<a ≤1， 综合①②知a 的取值范围是(−∞, 1].
【答案】
解：(1)令√1−x =t 则x =1−t 2，
∴ y =2−2t 2+4t =−2(t −1)2+4(t ≥0)，
∴ y max =f(1)=4，
∴ 函数的值域为(−∞, 4].
(2)令u =−x 2−6x −5=−(x +3)2+4≤4，
∴ 0≤u ≤4，
∴ 4≤y ≤6，
∴ 函数的值域为[4, 6].
(3)由x <0或2<x <5，
若令u =x −1则u <−1或1<u <4，
∴ −4<y <0或1<y <4，
∴ 函数的值域为(−4, 0)∪(1, 4).
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
根据换元法来求出函数的值域，要注意换元后的自变量的范围．
【解答】
解：(1)令√1−x =t 则x =1−t 2，
∴ y =2−2t 2+4t =−2(t −1)2+4(t ≥0)，
∴ y max =f(1)=4，
∴ 函数的值域为(−∞, 4].
(2)令u =−x 2−6x −5=−(x +3)2+4≤4，
∴ 0≤u ≤4，
∴ 4≤y ≤6，
∴ 函数的值域为[4, 6].
(3)由x <0或2<x <5，
若令u =x −1则u <−1或1<u <4，
∴ −4<y <0或1<y <4，
∴ 函数的值域为(−4, 0)∪(1, 4).
【答案】
解：(1)根据函数f(x)=x|x −2|={
x(x −2),x ≥2，x(2−x),x <2，
可得f(x)的图象如图所示：
由图象可得，函数的单调增区间为(−∞, 1]及(2, +∞)，单调减区间为(1, 2]．
(2)集合{x|f(x)=a}恰有三个元素，即y=f(x)的图象和直线y=a有3个交点，
由图象观察知a的取值范围是0<a<1．
【考点】
分段函数的应用
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）根据函数f(x)的解析式，作出f(x)的图象如图所示：由图象可得，函数的单调区间．
（2）由题意可得y=f(x)的图象和直线y=a有3个交点，由图象观察知a的取值范围．【解答】
解：(1)根据函数f(x)=x|x−2|={x(x−2),x≥2，x(2−x),x<2，
可得f(x)的图象如图所示：
由图象可得，函数的单调增区间为(−∞, 1]及(2, +∞)，单调减区间为(1, 2]．(2)集合{x|f(x)=a}恰有三个元素，即y=f(x)的图象和直线y=a有3个交点，由图象观察知a的取值范围是0<a<1．
【答案】
解：(1)设y=f(x)=ax2+bx+c，
∵f(0)=1，f(x+1)−f(x)=2x，
∴c=1，a(x+1)2+b(x+1)+c−(ax2+bx+c)=2x，
∴2a=2，a+b=0，
解得a=1，b=−1，
函数f(x)的表达式为f(x)=x2−x+1.
(2)f(x)+2f(1
x
)=3x①，
令x=1
x
，则
f(1
x )+2f(x)=31
x
②，
由①②构成方程组解得，
函数f(x)的表达式为f(x)=2
x
−x.
(3)解：令t=x+1，
则x=t−1，
∵f(x+1)=x2+4x+1，
∴f(t)=(t−1)2+4(t−1)+1=t2+2t−2，
∴f(x)=x2+2x−2．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（1）据二次函数的形式设出f(x)的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得
（2）由f(x)+2f(1
x )=3x①，得到f(1
x
)+2f(x)=31
x
②，由①②构成方程组解得
即可．
（3）令t=x+1，则x=t−1，利用换元法，可得函数解析式．
【解答】
解：(1)设y=f(x)=ax2+bx+c，
∵f(0)=1，f(x+1)−f(x)=2x，
∴c=1，a(x+1)2+b(x+1)+c−(ax2+bx+c)=2x，
∴2a=2，a+b=0，
解得a=1，b=−1，
函数f(x)的表达式为f(x)=x2−x+1.
(2)f(x)+2f(1
x
)=3x①，
令x=1
x
，则
f(1
x )+2f(x)=31
x
②，
由①②构成方程组解得，
函数f(x)的表达式为f(x)=2
x
−x.
(3)解：令t=x+1，
则x=t−1，
∵f(x+1)=x2+4x+1，
∴f(t)=(t−1)2+4(t−1)+1=t2+2t−2，∴f(x)=x2+2x−2．
【答案】
解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，
∴令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0，
再令x=y=3，
∴f(9)=f(3)+f(3)=−1−1=−2.
(2)∵f(x)+f(x−8)≥−2，
∴f(x)+f(x−8)≥f(9)，
∴f[x(x−8)]≥f(9)，
∴{
x>0,
x−8>0, x(x−8)≤9,
解得8<x≤9，
∴x的取值范围是(8, 9].
【考点】
抽象函数及其应用
函数单调性的性质
【解析】
（1）令x=y=1易得f(1)=0；令x=y=3，可得f(3)+f(3)=f(9)，求得f(9)的值；
（2）由f(x)+f(x−8)>−2，知f(x)+f(x−8)=f[x(x−8)]≥f(9)，再由函数f(x)在定义域(0, +∞)上为减函数，能求出原不等式的解集．
【解答】
解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，
∴令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，
∴f(1)=0，
再令x=y=3，
∴f(9)=f(3)+f(3)=−1−1=−2.
(2)∵f(x)+f(x−8)≥−2，
∴f(x)+f(x−8)≥f(9)，
∴f[x(x−8)]≥f(9)，
∴{
x>0,
x−8>0, x(x−8)≤9,
解得8<x≤9，
∴x的取值范围是(8, 9].
【答案】
(1)解：∵f(1)=2，∴1+a=2，
∴a=1，
∴f(−x)=x2+1
−x =−x2+1
x
=−f(x)，
定义域为{x|x∈R且x≠0}，关于原点对称，∴为奇函数．
(2)证明：由(1)知f(x)=x2+1
x =x+1
x
，
任取x 2>x 1>1，
则f(x 1)−f(x 2)=x 1+
1x 1−x 2−1x 2 =x 1−x 2+x 2−x 1
x 1x 2=(x 1−x 2)(1−1x 1x 2)，1<x 1<x 2<+∞，
∴ x 1x 2>1，
∴ 0<1x 1x 2<1即1−1x 1x 2>0且x 1−x 2<0，
∴ f(x 1)−f(x 2)<0，
∴ f(x)在(1, +∞)上是增函数．
(3)解：由(2)知函数f(x)在[2, 5]上递增，
所以f(x)max =f(5)=515，f(x)min =f(2)=52.
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的最值及其几何意义
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）先将f(1)=2代入，求出a 的值代入后再判断函数的奇偶性，并用定义证明；
（2）利用定义法求函数的单调性；
（3）结合第（2）问单调性的结果，判断该函数在[2, 5]上的单调性，再求最值．
【解答】
(1)解：∵ f(1)=2，
∴ 1+a =2，
∴ a =1，
∴ f(−x)=x 2+1−x =−x 2+1x =−f(x)，
定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，关于原点对称，
∴ 为奇函数．
(2)证明：由(1)知f(x)=
x 2+1x =x +1x ， 任取x 2>x 1>1，
则f(x 1)−f(x 2)=x 1+1x 1−x 2−1
x 2 =x 1−x 2+x 2−x 1
x 1x 2=(x 1−x 2)(1−1x 1x 2)，1<x 1<x 2<+∞，
∴ x 1x 2>1，
∴ 0<1x 1x 2<1即1−1x 1x 2>0且x 1−x 2<0，
∴ f(x 1)−f(x 2)<0，
∴ f(x)在(1, +∞)上是增函数．
(3)解：由(2)知函数f(x)在[2, 5]上递增，
所以f(x)max =f(5)=515，f(x)min =f(2)=52.。