两道几何题的补形解法

两道几何题的补形解法
泰州市朱庄中学 曹开清
“司公限有品”，看到这个词组，真有些不知所云．这不，下面出场的老者也被这个词组难住了．老者姓万名能，尤其精通古汉语．一日，一青年向万老先生请教“司公限有品”是什么意义，万老先生思索良久，不能作答．为顾及脸面，只得胡乱敷衍：司公，乃古代的一种官职，类似于司马；限，限制；有品，有品德．青年对万老先生的解释不甚满意，万老先生便要求青年拿出原题，以带回去继续研究．这时青年拿出原题，只见上面写着：“司公限有品食××××××”（从右向左读）．
这个故事固然有些夸张，但它给我们的启示是：解几何题时，不应该孤立地而应该全面地看一个问题，以“识”问题的“庐山真面貌”．今举二例说明之．
例 1 已知△ABC 中，AB ＝29，BC ＝37，AC ＝24，求△ABC 的面积．
分析：常规方法是作高，用勾股定理来求，但是由于涉及到多个二次根式运算，计算相当繁复．从全局考虑，将△ABC 置于网格中，可得解题真谛．
解：如图，考虑格点△ABC ，根据勾股定理，得
AB ＝2252+＝29，
BC ＝2216+＝37，
AC ＝2244+＝24．
∴Ｓ△ABC 442
11621522156⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=＝14．
例2 如图，AD 是△ABC 的高，∠BAC ＝45°，BD ＝3，DC ＝2，求△ABC 的面积．
分析：本题的关键是求出△ABC 的高AD ．由于AD 将45°的角分成两部分，已知条件不能充分运用，直接求解是“山重水复已无路”．若联想到曾经做过的这样一个题目：“如右上图，B 、C 分别为正方形AEGF 的边EG 、FG 上的点，且∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，求证：AD ＝AE ．”这时可就“柳暗花明又一村”了．
解：将△ABD 翻折到△ABE 的位置，将△ACD 翻折到△ACF 的位置，分别延长EB 、FC 交于点G ，由已知条件，易知四边形AEGF 是正方形．
设AD ＝x ，则正方形AEGF 的边长也为x ．
在Rt △BGC 中，
BG ＝EG ―BE ＝x ―3，CG ＝FG ―CF ＝x ―2，BC ＝3＋2＝5，
根据勾股定理，得
(x ―3) 2＋( x ―2) 2＝52，
解得x ＝6（―1不合题意，舍去），即AD ＝6．
∴Ｓ△ABC 6521⨯⨯=
＝15．。