河南省许昌市2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题

加油！有志者事竟成
答卷时应注意事项
１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；
３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；
４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；
５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；
６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；
７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！
1
XCS2022—2023学年第一学期期末教学质量检测
高二文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线过，且
，则直线的斜率为（ ）
1l
()()
2,3,4,0A B -12l l ⊥2l A.
B. C.
D. 23
23
-
12
12
-
【答案】B 【解析】
【分析】利用，求出直线斜率，利用可得斜率乘积为，即可求解. 3(2,)A -(4,0)B 1l 12l l ⊥1-【详解】设直线斜率为，直线斜率为， 1l 1k 2l 2k 因为直线过，， 1l 3(2,)A -(4,0)B 所以斜率为， 1l 1303
242
k --=
=-因为，所以， 12l l ⊥121k k ×=-所以，即直线的斜率为.
223
k =-2l 23-故选：B.
2. 抛物线上一点M 到焦点的距离为，则M 到y 轴距离为 24(0)=>y px p a A. B.
C. D.
a p -a p +2
p
a -
2a p +【答案】A 【解析】
【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知，则
MF a =
M 到准线的距离也为，即点M 的横坐标，进而求出x ． a x p a +=【详解】∵抛物线，抛物线的准线方程为， 24y px =x p =-设，由抛物线定义可知， ， (,)M x y MF x p a =+=∴. x a p =-故选：A.
3. 如图，在正三棱柱中，若则与所成角的大小为（ ）
111ABC A B C -1AB =
1AC 1B C
A. B. C. D.
135 105 90 60 【答案】C 【解析】
【分析】分别取的中点，连接，把异面直线与所成的角转111,,CC B C AC ,,D E F ,,DE DF EF 1AC 1B C 化为直线与所成的角，在中，结合余弦定理，即可求解. DE DF DEF 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 111,,CC B C AC ,,D E F ,,DE DF EF 可得且，
1//DE B C 1//DF AC 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设， 1AC 1B C DE DF EDF θ∠=
因为三棱柱为正三棱柱，且，
111ABC A B C -1AB =
不妨设 14,AB BB ==
在直角中，可得 CDF DF ===
在直角中，可得，
1C DE △DE =
==再取的中点，连接，可得， BC M ,EM FM 1//EM BB 因为底面，所以底面，
1BB ⊥ABC EM ⊥ABC
在直角中，可得，
EFM △EF ===
所以，所以， 222cos 02DE DF EF DE DF θ+-=
==⋅90θ= 所以异面直线与所成的角为. 1AC 1B C 90 故选：C.
4. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
()f x ()f x '
A. 为函数的零点 1x =()f x
B. 是函数的最小值 ()3f -()f x
C. 函数在上单调递减 ()f x ()1,3
D. 为函数的极大值点 3x =()f x 【答案】C 【解析】
【分析】根据的图象，得到函数的单调区间，结合函数的单调性，极值点和极值，以及零点()f x '()f x 的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】由的图象，可得：
()f x '当时，，单调递减；
(,3)x ∈-∞-()0f x '<()f x
当时，，单调递增； (3,1)x ∈-()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； (1,3)x ∈()0f x '<()f x 当时，，单调递增，
(3,)x ∈+∞()0f x ¢>()f x A 中，是函数的一个极大值点，不一定是函数的零点，所以A 不正确； 1x =()f x B 中，是函数一个极小值，不一定是函数的最小值，所以B 错误； ()3f -()f x ()f x C 中，函数在上单调递减，所以C 正确； ()f x ()1,3D 中，为函数的极小值点，所以D 错误. 3x =()f x 故选：C.
5. 以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ） ()3,4A y A. 22(3)(4)16x y ++-=B. 22(3)(4)16x y -++=C. 22(3)(4)9x y -+-=D. 22(3)(4)9x y -++=【答案】C 【解析】
【分析】根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为， (3,4)A y 3故圆的标准方程是. ()()2
2
349x y -+-=故选：C. 6. 已知下列命题
①已知向量，则；
,,a b c
()
+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c ②已知向量，则；
,a b 0a b a b ⊥⇔⋅= ③已知向量共线，则与共线；
,a b 3a b + a ④已知是平面内的两条相交直线.若，则. ,m n α,l m l n ⊥⊥l α⊥其中正确的命题的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D 【解析】
【分析】根据向量的运算性质判断①；根据数量积的性质判断②；根据向量共线的定理判断③；根据线面垂直的判定定理判断④.
【详解】根据向量的运算性质可知，，故①正确；
()
+⋅=⋅+⋅
a b c a c b c 根据数量积的性质，，故②正确；
0a b a b ⊥⇔⋅=
若向量共线，则，从而，故与共线，故③正确；
,a b b a λ= ()333a b a a a λλ+=+=+ 3a b + a 根据线面垂直的判定定理，若是平面内的两条相交直线，，则，故④正确. ,m n α,l m l n ⊥⊥l α⊥故选：D.
7. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A ，B 两点，若，则
12,F F 22
1916x y +=1F 2210F A F B +=（ ）
||AB =A. 8 B. 6
C. 4
D. 2
【答案】B 【解析】
【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.
【详解】由，即，可得，
221916x y +=22
1169
y x +=4a =根据椭圆的定义， 1212416F A F A F B F B a +++==所以. 116AB F A F B =+=故选：B.
8. 已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等{}n a 11a =1n n a ra r +=+*n ∈N r R ∈0r ≠1r ={}n a 差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.
【详解】当时，，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成1r =111n n n n a ra r a a ++=+⇒=+{}n a 立；
，所以若数列为等差数列，则21123,12,2n n a ra r a a r a r r +=+=∴==+ {}n a 2412,1
r r r r =++∴=或，即必要性不成立， 1
2
r =
综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件， 1r ={}n a 故选A
【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题. 9. 已知动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ） 2
112
y x ==3y -A. B.
C.
D.
()0,3()0,2()0,3-()0,6【答案】A 【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据抛物线的性质和圆的性质得出圆的半径为圆心到直线
A 的距离，对于圆心到抛物线的焦点的距离，故抛物线的焦点在圆上．
30y +=A 【详解】解：抛物线的标准方程为，
212x y =抛物线的准线方程为，焦点为．
∴:3l y =-(0,3)F 设动圆圆心为，则到的距离．
A A l ||AF =动圆与直线相切，
A 30y +=到直线的距离为动圆半径，即动圆半径为，即为圆上的点．
A ∴l ||AF F 此圆恒过定点．
∴(0,3)F
故选：A ．
10. 在平面直角坐标系Oxy 中，A 为直线l ：上在第一象限内的点，，以AB 为径的圆C 与2y x =(5,0)B 直线交于另一点.若，则A 点的横坐标为（ ） D 0AB CD ⋅=
A. B. 3
C. 3或
D. 2
1-1-【答案】B 【解析】
【分析】由已知得，求得的方程，进而得，设，则，从而根据
BD l ⊥BD (1,2)D (,2)A a a 5,2a C a +⎛⎫
⎪⎝⎭
平面向量的数量积求出结果.
【详解】如图，由已知得，则，所以的方程为．
BD l ⊥12
BD k =-
BD 1
(
5)2y x =--
由解得． 2,
1
(5),2y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩
(1,2)D 设，则，从而． (,2),0A a a a >5,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭3(5,2),,22a AB a a CD a --⎛⎫
=--=- ⎪⎝⎭
所以，解得或． 3(5)2(2)02
a
AB CD a a a --⋅=-⋅--= 3a =1a =-又，所以，即点A 的横坐标为3． 0a >3a =故选：B ．
11. 如图，作一个边长为的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了个正方1n 形，设这个正方形的面积之和为，则（ ）
n n S 8S =
A.
B.
C.
D.
127
64
127
128
255
128
255
256
【答案】C 【解析】
可确定各正方形面积构成等比数列，利用等比数列求和公式可求得结果.
【详解】由题意知：从第
， 2则从第个正方形开始，每个正方形面积都是相邻的前一个的，
21
2将各正方形面积依次排成一列，可得等比数列，其首项，公比， {}n a 11a =12
q =
. 88711112552221212812812
S -
∴==-=-=-故选：C.
12. 双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线
经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的
22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>12,F F 2F 光线经过图中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且，则E 的离心
5cos ,013
BAC AB BD ∠=-⋅
=
率为（ ）
A .
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理可得
的关12,BF BF ,a c 系，从而可求出结果.
【详解】由题意知延长则必过点,如图：
,CA DB 1F
由双曲线的定义知，
121
222AF AF a
BF BF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩又因为，所以， 5cos 13BAC ∠=-
15
cos 13
F AB ∠=因为，所以，
0AB BD ⋅=
AB BD ⊥设，则，因此， 113,0AF m m =>1
5,12AB m BF m ==22
132122AF m a
BF m a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩从而由得，所以， 22AF BF AB +=1321225m a m a m -+-=5a m =则，，， 1125BF a =
22
5
BF a =12
2FF c =又因为，所以，
2
2
2
1212
BF BF F F +=()22
2122255a a
c ⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即，即， 223725a c =e =故选：B.
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 经过两点的直线的方向向量为，则__________. ()()3,2,1,0A B -()1,k k =【答案】##0.5
1
2
【解析】
【分析】根据直线的方向向量的定义，结合斜率的计算公式求解出的值. k 【详解】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率， ()1,k k 又直线经过两点，所以. ()()3,2,1,0A B -021
132
k -==--故答案为：.
1
214. 抛物线x 2=-y 上的点到直线4x +3y -8=0的距离的最小值为_____. 【答案】 43
【解析】 【分析】
先求得与直线4x +3y -8=0平行，且与抛物线相切的直线，然后再利用平行线间的距离求解. 【详解】设直线4x +3y +c =0与抛物线相切，
由，得3x 2-4x -c =0， 2430-x y c x y
++=⎧⎨=⎩由Δ=16+12c =0，得c =-
， 43
. 43
故答案为：
43
15. 在数列中，已知，则该数列前2023项的和__________.
{}n a 1211012,1n n n n a a a a a +++-=-=2023S =【答案】2023 【解析】
【分析】由题目条件分析可知数列为等差数列，然后利用等差数列的前项和公式、结合等差数列的{}n a n 性质求解.
2023S 【详解】由可知，数列为等差数列， 121n n n n a a a a +++-=-{}n a 所以，
12023101222a a a +==
所以.
()12023202320232202320232
2
a a S +⨯⨯=
==故答案为：2023.
16. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是__________.
()3
3f x x x =-()m,2m 【答案】 [)2,1-【解析】
【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解. 3()3f x x x =-【详解】，令得，
2()33f x x '=-()0f x '=1x =±时，时，，
(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞()0f x '>(1,1)x ∈-()0f x '<所以在和上单调递增，在上单调递减， ()f x (,1)-∞-(1,)+∞(1,1)-若函数在上有最小值，则其最小值必为， 3()3f x x x =-()m,2(1)f 则必有且， (),21m ∈3()3(1)2f m m m f =-≥=-即且，
1m <()
()2
1210m m m ---≥则且，解得，
1m <()
()2
120m m -+≥21m -≤<故答案为：.
[)2,1-三､解答题（第17题10分，第19-22题12分，共70分）
17. （1）已知直线经过，斜率为，求该直线的一般式方程； 4(6,)A -3
2
-
（2）已知顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率，求该双曲线的标准方程.
5
4
e =【答案】（1）；（2） 32100x y +-=22
1169x y -
=【解析】
【分析】（1）先求出直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）由题意列出关于的方程，求出，即可得解. ,a c ,,a b c 【详解】（1）已知直线经过，斜率为， 4(6,)A -3
2
-则该直线的方程为， 3
4(6)2
y x +=-
-即该直线的一般式方程为；
32100x y +-=
（2）因为两顶点间的距离是8，离心率， 54
e =则且
，解得，从而， 28a =5
4
c a =4,5a c ==2229b c a =-=已知顶点在x 轴上，即焦点在x 轴上，
则该双曲线的标准方程为. 22
1169
x y -
=18. 在棱长为1的正方体中，E ，F ，G 分别是的中点
1111ABCD A B C D -11,,DD BD BB
（1）求AE 的长；
（2）求EF 与CG 所成角的余弦值.
【答案】（1
（2【解析】
【分析】（1）在直角中，利用勾股定理，即可求解；
ADE V （2）连接，证得，把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，11,EA A F 1//EA CG EF CG 1EA EF 在中，利用余弦定理，即可求解. 1A EF 【小问1详解】
解：在正方体中，可得， 1111ABCD A B C D -DE AD ⊥因为正方体的棱长为， 1111ABCD A B C D -1
在直角中，可得ADE V AE ===
【小问2详解】
解：取的中点，连接，可得，
1AA M DM //CG DM 再连接，因为为棱的中点，可得，所以，
11,EA A F E 1DD 1//EA NM 1//EA CG
所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，设， EF CG 1EA EF 1A EF θ∠=因为正方体的棱长为， 1111ABCD A B C D -1在直角中，可得
DEF
EF =
==
在直角中，可得，
1A AF △1
A
F =
=
=在直角中，可得 11A D E 1
A E =
==
在，
222111cos 2
A E
EF A F A E EF θ+-==⨯所以异面直线与EF CG
19. 已知为等差数列，前项和为，是首项为3且公比大于0的等比数列，
{}n a n n S (
)*
n ∈N
{}n
b q ，，.
3229b b -=343b a =9211S b =（1）求和的通项公式； {}n a {}n b （2）求数列的前项和.
{}n n a b n n T (
)*
n ∈N
【答案】（1），；
21n a n =+3n
n b =（2）.
1
3n n T n +=⋅【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式及其性质和求q 和公式，即可解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式；
1a d {}n a {}n b （2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和． {}n n a b ×n n T 【小问1详解】
由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则． {}n a d {}n b q 0q >则由可得，，解得或（舍去）， 3229b b -=2369q q -=3q =1q =-所以，则，.
1
11333n n n n b b q
--==⨯=29b =327b =由可得，由可得，， 343b a =49a =9211S b =999S =又，所以. ()
1995992
a a S a +=
=511a =所以，，所以， 542d a a =-=411369a a d a =+=+=13a =所以. ()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+【小问2详解】
由（1）知，，，
21n a n =+3n
n b =所以.
()321n
n n a b n ⋅=⋅+所以，，
211223353(21)3n n n n T a b a b a b n =++⋯+=⨯+⨯+⋯++⋅，
21333353(21)3n n T n +=⨯+⨯+⋯++⋅两式作差得，2
1
3
3(21233232)3
32n n
n T n +-=⨯+⨯+⨯++⋅+⨯-L ，
()111121(223191)3(21)39392313
3n n n n n n n n +++-+=+
-=+--=+-⋅--⋅⨯⨯+⋅所以，.
1
3
n n T n +=⋅20. 已知的两个顶点A ，B 的坐标分别是且直线PA ，PB 的斜率之积是，设点P 的PAB (0,3),(0,3),-3-轨迹为曲线H .
（1）求曲线H 的方程；
（2）经过点且斜率为k 的直线与曲线H 交于不同的两点E ，F （均异于A ，B ），证明：直线BE 与(1,3)BF 的斜率之和为定值.
【答案】（1）
()221039
x y x +=≠（2）证明见解析 【解析】
【分析】（1）利用斜率公式即可化简求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，即可结合斜率公式求解. 【小问1详解】
设，则由直线PA ，PB 的斜率之积是可得
，
()(,)0P x y x ≠3-33
3y y x x
-+=-化简可得
()22
1039
x y x +=≠【小问2详解】
设直线方程为：， 3y kx k =-+则与椭圆方程联立可得：，
(
)()2
2
232360k x
k k x k k ++-+-=则，故或，
()
()()
()2
2
22434362430k
k k k k k k ∆=--+-=+>3k <-0k >设，则，. ()()1122,,,E x y F x y ()122
233k k x x k -+=
+2122
63k k
x x k
-=+故 ()()1221
121212
3663BE BF k k x k k x x y y x x k k x x x -++-++=
+=++. ()()
121212
26kx x k x x x x +-+=
()()22222
22
23626636
336663k k k k
k k k k k k k k k k k --⋅+-⋅-++===--+ .
21. 双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于
22
2:1(0)3
x y C a a -=>12,F F 2F x C 两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.
,A B 1F AB 2:2(0)E y px p =>C
（1）求抛物线的方程； E （2）如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接(),02p P t t ⎛⎫
-
≠ ⎪⎝⎭
E P y M 并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.
PO N MN 【答案】（1）
24y x =（2）证明见解析 【解析】
【分析】（1）设，令，代入的方程得，结合三角形的面积求出，即可得出
()2,0(0)F c c >x c =C A y a ，从而得解；
p （2）由（1）知，可得的坐标，直线的方程为，代入抛物线的方程可得
()()1,0P t t -≠M PO y tx =-E 的坐标，进而得的方程，求解即可.
N MN 【小问1详解】
设，则，
()2,0(0)F c c >c =
令，代入的方程，得. x c =C 3
A y a
=
所以，所以， 1
122122F AB
A S c y =⨯⨯== 1a =
故
，即. 12
p
a ==2p =所以抛物线的方程为. E 24y x =【小问2详解】
由（1）知，则.
()()1,0P t t -≠2,4t M t ⎛⎫
⎪⎝⎭
直线的方程为，代入抛物线的方程有.
PO y tx =-E 244,N t
t ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，， 24t ≠222
4
4444MN
t t
t k t t t +
==--所以直线的方程为，即. MN 22444t t y t x t ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭()2
414
t
y x t =--所以此时直线过定点.
MN ()1,0当时，直线的方程为，此时仍过点， 24t =MN 1x =()1,0综上，直线过定点. MN ()1,022. 已知函数. ()lne ,R a
f x x a x
=+
∈（1）若，求在处的切线方程；
2e a =()f x e x =（2）当时，函数在上的最小值为3，求实数的值. 2](,e a ∈-∞()f x 2[1,e ]a 【答案】（1）；
e 5e 0x y +-=（2）. e a =【解析】
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. 2e a =()f x （2）根据给定条件，求出函数的导数，分类讨论求解最小值即可作答. ()f x 【小问1详解】
当时，，求导得，则，而， 2e a =2e ()1ln f x x x =++212e ()f x x x '=-1
(e)e
f '=-(4e)f =所以函数在点处切线方程为，即.
()f x (e,4)1
4(e)e
y x -=--e 5e 0x y +-=【小问2详解】
函数，求导得，，
()lne ,R a
f x x a x
=+
∈221()a x a f x x x x -'=-=2[1,e ]x ∈当时，，函数在上单调递增，，解得，矛盾， 1a ≤()0f x '≥()f x 2[1,e ]min ()(1)13f x f a ==+=2a =当时，由，得，函数递减，由，得，函数递21e a <<()0f x '<1x a <≤()f x ()0f x '>2e a x <≤()f x 增，
因此，解得，从而，
min ()()1ln 13f x f a a ==++=e a =e a =当时，，函数在上单调递减，，解2e a =()0f x '≤()f x 2[1,e ]23
min 22()(e )ln e 33e e
a a f x f ==+
=+=得，矛盾， 0a =所以.
e a =。