信息分析与处理8

p 2N 0 .1 A ( ) 10 1 c1 c1
N
s
k 1 N
k

k 1
sk ( s sk )
(8.2.6)
N阶 归 一 化 c 1) Butterworth滤 波 器 传 递 函 数 表 示 为 ( ：
1 H a ( s) N N s a1 s N 1 a N 1 s a N ( s sk )
§ .2 Butterworth 低通滤波器的设计 8
1. 模平方函数 1 | H a ( j ) | 2N 1 ( ) c
2
(8.2.1)
N 滤波器的阶数； 其 中 ： c 期 望 的 截 止 频 率 ； 频率变量。 2. 确 定N 和 c (1) 滤 波 器 阶 数 与 给 定 设 计 参 数 p , s , A p , As }有 关 。 N { ( 2) 将 p、 s 分 别 代 入 8.2.1)式 ， 对 数 乘 ， A p 和As， ( 取 10 为 即 衰 减 函 数 ( )是 对 模 平 方 函 数 取 对 数 10的 结 果 。 A 乘
模拟滤波器的设计是构 电子电路的过程， 路 造 该电 应满足给定的技术指标 。 设计包括四个步骤：函 逼近、电路实现、缺 分 数 陷 析和产品实现。 数 字 滤 波 器 的 输 入 输 出 是 数 字 序 列通 常 是 连 续 都 ， 时间信号的抽样结果， 模拟滤波器的设计 论对 因此 理 设 计IIR数 字 滤 波 器 也 是 适 用 的 。 由于高通、带通、带阻 波器可由低通滤波器 简 滤 经 单的变换而得到，因此 章只讨论低通滤波器 设计 本 的 和将低通滤波器转换为 他滤波器的方法。 其
第八章 IIR数字滤波器的设计方法
§ .1 概 述 8 从含有噪声的信号中获 有效信号、制噪声的处理 取 抑 过 程 称 为 滤 波 实 现 滤 波 功 能 的 系 统 件/软 件)称 为 滤 。 (硬 波器。当有效信号与噪能从频域中完全分离， 用 声 时 可 频率选择滤波器进行滤。 有效信号与噪声不能频 波 当 从 域 中 完 全 分 离 时若 仍 用 频 率 选 择 滤 波 器 波 ， 会 伤 及 ， 滤 到与噪声同频率的信号 。
1 s 1 j c
2N 2N
有 2 N个极点
s 即 1 j c
2N
s 0 j c
1 s （ 1 2 N 1 ） j c
1 s （ 1 2 N ） j c
3. 说明
图中的阴影部分是根据 信号的 实际情况给定的设计指 标。 (1)要使通带波纹 ripple width) ( 变窄， 就必须使 pass接近1 ；
Ap
(2)要使阻带幅度变小， 必须增 加滤波器的阶数； (3)要使过渡带变窄， 即截止特
p s
As
性变陡， 会使通带和阻带波 纹增大。
A pass / Astop 通 带 最 大/ 阻 带 最 小 衰 减 attenuatio )， ( n 单位分贝 ； dB f c 0.5 f pass f stop） 期 望 的 理 想 滤 波 器 的 截 频 率 ， （ 止 c 2 f c 数 字 频 率 c cT； T — 抽样周期或抽样间隔。
内的极点构成，其一般式为： 形 H a (s) A
(s s
k 1 N
N
， 其 中s k c e j ( 2 k N 1) / 2 N
k)
对 于 低 通 滤 波 器为 了 保 证 0处 的 幅 频 特 性 为， ， 1 即 | H a ( 0) | s 0 1 可 取 ， A ( 1) N 因此得 H a ( s ) ( 1)
设 | H (e j 0 ) | 1 A p 和As的 定 义 分 别 为 ： ， A p 20 lg As 20 lg | H (e j 0 ) | | H (e
j p
20 lg | H (e
j p
)|
) 20 lg( pass ) 1
| H (e j 0 ) | | H ( e j s ) |

j
s j（ 1 ） c

2
1 2N
( 1) e j ( 2 k 1)， j e
j ( 2 k 1 ) 2N j

2
sk c e
e
ce
j ( 2 k N 1 ) 2N
， 1,2, ,2 N k
( 8 . 2. 5 )
由(8.2.5)式可以看出： 极点分布在以 c 为半径的圆周上， 且 对称于j 轴，而且虚轴上无极点 。 (1)当N为奇数时， 实轴上有极点； ( 2)当N为偶数时， 实轴上无极点。 由s平面与z平面的映射关系可知， s左半平面内的极 只有 点， 才能映射到 平面的单位圆， z 而全部极点在单位圆内 的 系统， 才是稳定的系统。因此 的系统函数由 左半平面 AF s
A p / 10
10
1 (
p c
) N 10
A p / 10
1
(8.2.2)
s 2N 同 理 ， 10 lg[ ( ) ] As 去 掉 对 数 化 简 为 ： 由 1 c s 2N s N As / 10 ( ) 10 1 ( ) 10 As / 10 1 c c (8.2.3)
k 1 N /2
(8.2.9)
其系数表如下：
Butterworth低通滤波器的极点和单 位脉冲响应
例 8.2.1 设计一个满足以下条件
p 100krad / s, Ap 3dB st 400krad / s, Ast 35dB
Butterwort h模拟低通滤波器。 解： )确定N和 c (1
0 .1 A p 1 10 1 1.9952623 1 0.25, k 0.1 A st 4 10 1 3162.2777 1
p st
0.9952623 k 3.14729 10 4 3161.2777 lg k lg 3.14729 10 4 3.5 N 2.9 3 2 lg 2 lg 0.25 1.2
p 10 1 p 10 Ap / 10 1 10 As / 10 1 s 10 As / 10 1 s p 10 Ap / 10 1 lg k 令 ，k As / 10 ,则 N (8.2.4) s 2 lg 10 1 当N求 出 以 后 ， N代 入(8.2.2)和(8.2.3)式 ， 算 出 两 个 将 可 c (一 般 不 相 等)分 别 为 c1和 c 2， 取 它 们 平 均 值 作 则
为期望的截止频率， c ( c 1 c 2 ) / 2。 即 3. 求极点 | H a ( j ) | H ( j ) H ( j )
2
1 j 1 j c
2N
令
s j 代入上式得
2
| H a ( s) | H ( s) H ( s)
N
当传递函数分子为常数 ， 时 则是全极点滤波器 (all pole filter)。 4. 常用的模拟滤波器 (1) Butterworth 通 / 阻带单调衰减， 不产生波纹； ( 2)Chebyshev 通 / 阻带有一带有波纹， 截止特性比1)好 ； ( ( 3) Ellipse 通 / 阻带都允许有波纹， 截止特性比 2)好 。 ( 由于时间有限， 我们只讨论由 Butterworth模拟滤波器 求IIR数字滤波器的方法。
M
20 lg | H (e j s ) 20 lg stop
IIR数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数(设M N )：
H ( z)

1
bk z k A ak z k
k 0 N

k 1 k 1 N
M
(1 ck z 1 ) ， (ck 为 零 点 d k 为 极 点) ; (1 d k z 1 )
2. 设 计 方 法 给 定 技 术 指 标 { p , s , A p , As }或{ p , s , A p , As } : (1)用AF的 理 论 来 设 计 ， 即 求 的 系 统 函 数 a ( s )； AF H ( 2)将AF的 系 统 函 数 a ( s )转 换 成 的 系 统 函 数 ( z ) H DF H ①脉 冲 响 应 不 变 法 ； 转 换 方 法: ②双 线 性 变 换 法 。
1.
滤波器的技术指标
其中 f pass 通 带 的 截 止 频 率 ， p 2 f pass p pT； f stop 阻 带 的 起 始 频 率 ， s 2 f stop s sT
pass和 stop 通 带 / 阻 带 容 限 或 波 纹 ( ripple)； f ( f stop f pass ) 过 渡 带 宽 度 ， s p；
(
p c
)
2N
10
A p / 10
1 (
p c
) 10
N
A p / 10
1
Hale Waihona Puke (8.2.2) (8.2.3)
s 2N s N As / 10 ( ) 10 1 ( ) 10 As / 10 1 c c 用(8.2.2)式 除(8.2.3)式 得 ：
2N Ap / 10 N
k 1
1
(8.2.7)
当N为奇数( N 3)时， 分母多项式 ( s )可分解为： D D ( s ) ( s a 0 ) ( s 2 k s k )
k 1 ( N 1) / 2
(8.2.8)
其系数表如下：
当N为偶数( N 4)时， 分母多项式 ( s )可分解为： D D ( s ) ( s 2 k s k )
10 lg | H a ( j p ) | 10 lg[ ( 1
2
p c
)2N ]
20 lg | H a ( j p ) | 10 lg[ ( 1 由 10 lg[ ( 1 ( p c )
2N
p c
) 2 N ] Ap
p c
) 2 N ] Ap 去 掉 对 数 化 简 为 ：
频 率 选 择 滤 波 器 按 功 能 分 类 为 ： 低 通 滤 波 器 )、 可 ( LP 高 通 滤 波 HP)、 通 滤 波 器BP)、 阻 滤 波 器BS )和 全 ( 带 ( 带 ( 通 滤 波 器 AP)等 。 ( 按 单 位 脉 冲 响 应 长 度 可 类 为 ： 限 冲 激 响 应IIR)滤 分 无 ( 波 器 和 有 限 冲 激 响 应 )滤 波 器 。 ( FIR 按 处 理 信 号 是 模 拟 信 号 是 数 字 信 号可 将 滤 波 器 划 还 ， 分为：模拟滤波器 ( Analog Filter, AF )和 数 字 滤 波 器 ( Digital Filter, DF )。

k 1
模 拟 滤 波 器 的 传 递 函 数(设M N )： H a (s) b0 s m b1s m 1 bm 1s bm s n a1s n 1 a 2 s n 2 a n 1s a n
bk 0 s 2 bk 1 s bk 2 H a ( s) ak 0 s 2 ak 1 s ak 2 k 1