2019-2020年高三数学上学期解析几何13双曲线的定义及其性质教学案(无答案)

2019-2020年高三数学上学期解析几何13双曲线的定义及其性质教学案（无答案）
【教学目标】运用待定系数法来求双曲线的标准方程；进一步理解定义，培养学生的发散思维能力．
【教学重点】双曲线的定义、标准方程，双曲线的几何性质及初步运用． 【教学难点】双曲线的几何性质的应用．
【教学过程】 一、知识梳理： 1．双曲线的定义：
（1）平面内与两个定点、的距离的差的 等于常数（小于）的点轨迹叫做双曲线，这两个
叫做双曲线的 ，两 的距离叫做双曲线的 ．
（2）平面内动点P 到 距离与到 的距离之比等于常数（ ）的点的轨迹是双
曲线； 是焦点， 是准线，常数是双曲线的 ．
2．双曲线的标准方程（中心在原点的双曲线标准方程）：
（1）焦点在轴上， ，焦点是 ，其中 ； （2）焦点在y 轴上，，焦点是 ，其中 ． 3
1．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围 ．
2．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2
＝c 表示双曲线”的 条件．
3．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为 ．
4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5
2
，则C 的渐近线方程为______________．
三、典型例题： 反思：
例1．（1）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29
＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率
是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．
（2）与双曲线x 2
－2y 2
＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为 ．
（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2
＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，
则动圆圆心M 的轨迹方程为 ．
例2．双曲线的中心在原点，实轴在轴上，且与圆交于点，如果圆
在点的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴一个端点的连线．求双曲线的方程．
【变式拓展】已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2
＝10相交于点P (3，－1)， 若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
例3．F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，
求双曲线C 的离心率．
【变式拓展】（1）如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x
2
4＋y 2
＝1与双曲
线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点. 若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是 ．
（2）过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交
于点B ，若FB →＝2FA →
，则此双曲线的离心率为 ．
四、课堂反馈：
1．双曲线x 216－y 2
9
＝1的两条渐近线的方程为 ．
2．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线离心率为 ．
3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．
4．已知双曲线x 2
－y 2
＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2， 则PF 1＋PF 2的值为 ．
五、课后作业： 学生姓名：___________
1．已知双曲线x 2n －y 2
12－n
＝1的离心率是3，则n ＝ ．
2．双曲线的两条准线分顶点间距离为三等分，则双曲线的离心率为 ．
3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ．
4．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ．
5．设椭圆C 1的离心率为5
13
，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离
的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 ．
6．已知双曲线9y 2－m 2x 2
＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝ ．
7．设F 1、F 2分别是双曲线x 2
－y 2
9＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且＝0，
则||＝________.
8．（xx 江苏卷）在平面直角坐标系中，双曲线上一点，点的横坐标是3，
则点到双曲线右焦点的距离是__________．
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10). （1）求双曲线方程；
（2）若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； （3）在（2）的条件下求△F 1MF 2的面积． 10．如图所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD
中去铺垫，已知|AP |＝150 m ，|BP |＝100 m ，|BC |＝60 m ，∠APB ＝60°．则在足球场有一条“等距离”线，从点P 出发无论经点A 还是经点B 到此线上的任一点所经路程相等，试写出此“等距离”线方程_________________．。