【高考总复习】2013高中数学(理)课时作业10-6(苏教版)

一、填空题
1．(2011年福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形
ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 .
解析：由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，
S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝1
2.
答案：1
2
2．如图所示⊙C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π
3
，若在扇形AOB 内任取一
点，则该点在圆C 内的概率为 .
解析：设OA ＝OB ＝R ，圆C 半径为r ，则r R －r ＝sin π
6，
∴R ＝3r ，
∵l ＝θR ＝πr ，∴P ＝πr 212lR ＝πr 212·πr ·3r ＝2
3.
答案：2
3
3．(2012年厦门质检)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |
＜1的概率为 .
解析：如图，以A 为圆心，半径为1的圆在正方形ABCD 内的面积为π4，故P ＝π
4
.
答案：π
4
4．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒落入△
BCD 内的频率稳定在4
9
附近，那么点A 和点C 直线BD 的距离之比约为________．
答案：5
4
5．在面积为S 的三角形ABC 内随机取一点M ，则三角形MBC 的面积
S △MBC ≤1
2S 的概率
为( ) A.13 B.12 C.23
D.34
解析：如图，设△ABC 中BC 边上的高为h ，M 是高AD 的中点，则S △MBC ＝1
2S ，故当
点M 在梯形BCFE 内运动时，S △MBC ≤12S ，故P ＝3
4.
答案：3
4
6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2
和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)．向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是________．
解析：函数y ＝x 2与y ＝x 的交点为(0,0)，(1,1)．图中阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0
1(x －x 2)d x
＝⎝⎛⎪⎪
⎭⎫23x 32－x 3310＝13
，又S 正＝1，故P ＝13.
答案：1
3
7．(2011年湖南)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.
(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；
(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．
解析：(1)圆心坐标为(0,0)，圆心到直线4x ＋3y ＝25的距离d ＝|4×0＋3×0－25|
42＋32＝5.
(2)如图，设与直线4x ＋3y ＝25距离为2且与该直线平行的直线与圆交于P 、Q 两点．由(1)知，点O 到直线PQ 的距离为3，因为圆的半径为23，故可得∠OPQ ＝60°.若点A
到直线l 的距离小于2，则点A 只能在弧PQ 上，故所求概率P ＝60°360°＝1
6
.
答案：(1)5 (2)1
6
8．(2011年江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，
若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1
4，则去打篮
球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析：设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{水波周末在家看书}，D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示，
则P(D)＝1－⎝⎛⎭⎫122π－⎝⎛⎭⎫142ππ
＝13
16
.
答案：13
16
9．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，能输出数对(x ，y)的概率为________．
解析：由题意，求输出的数对(x ，y)的概率，即求x 2＋y 2≤1
2
所表示
的平面区域与不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
－1≤x ＋y ≤1
－1≤x －y ≤1所表示的平面区域面积的比．如图所示，所求概
率P(A)＝π×
1
22×2＝π
4.
答案：π
4
二、解答题
10．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于
10分钟的概率．
解析：假设他在0分钟到60分钟之间任一个时刻打开收音机是等可能的，但0到60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率．因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的概率计算公式得到事件发生的概率．
设A ＝{等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，因此由几何概型的求解概率的公式得P(A)＝60－5060＝1
6，
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1
6
.
11．在长度为a 的线段上任取两点将线段分为三段，求这三条线段能构成三角形的概率．
解析：设长度为a 的线段分成三段长分别为x ，y ，a －(x ＋y)，则基本事件空间为{(x ，y)|0＜x ＜a,0＜y ＜a,0＜x ＋y ＜a}，由于x ，y ，a －(x ＋y)能构成三角形，故动点M(x ，y)所在
区域必须满足⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜x ＜a ，
0＜y ＜a ，x ＋y ＞a －(x ＋y )，
x ＋[a －(x ＋y )]＞y ，y ＋[a －(x ＋y )]＞x ，
化简整理得⎩⎪⎨⎪⎧
0＜x ＜a 2
，
0＜y ＜a
2，
x ＋y ＞a 2
.
该几何区域是平面直角坐标系中如图所示阴影部分(一个两直角边长为a
2的等腰直角三角形围成的图形)，故所求概率为 P ＝S 阴影S 三角形
＝12×a 2×a
212
a 2＝14.
12．已知函数f(x)＝ax 2－2bx ＋a(a ，b ∈R)．
(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f (x )＝0恰有两个不相等实根的概率；
(2)若b 从区间(0,2)中任取一个数，a 从区间(0,3)中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．
解析：(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，a ，b 取值的情况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， (3,3)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为16.
记“方程f (x )＝0恰有两个不相等的实根”为事件A ，
当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0恰有两个不相等的实根的充要条件为b ＞a 且a 不等于零， 当b ＞a ，且a ≠0时，a ，b 取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)， 即A 包含的基本事件数为3，
∴方程f (x )＝0恰有两个不相等实根的概率P (A )＝316.
(2)记“方程f (x )＝0没有实根”为事件B .
∵b 从区间(0,2)中任取一个数，a 从区间(0,3)中任取一个数，
则试验的全部结果构成区域{(a ，b )|0＜a ＜3,0＜b ＜2}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6，
设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为{(a ，b )|0＜a ＜3,0＜b ＜2，a ＞b }，其面积S M ＝6－1
2
×2×2＝4.
由几何概型的概率计算公式可得：方程f (x )＝0没有实根的概率P (B )＝S M S Ω＝46＝2
3
.。