14.4 探究与整理(含答案)-

§14．4 探究与整理
知识要点
1．轴对称和轴对称图形
性质：①关于某条直线对称的图形是全等形；②若两个图形关于某条直线对称，•则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果对应线段或其延长线相交，则交点在对称轴上．
2．经过线段的中点并垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线．•线段的垂直平分线是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．
3．点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标是（a，-b）；点P（a，b）关于y•轴对称的点的坐标是（-a，b）．
4．等腰三角形的性质和判定．
5．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
典型例题
例：如图，△ABC中AB=AC，点D在AB上，E是
AC延长线上一点，且CE=BD，•连接DE交BC于点P，
求证：PD=PE．
分析：要证PD=PE，考虑证明它们所在的三角形
全等，但明显地△PDB与△PCE不可能全等，于是想
办法构造全等三角形──过点D作AC的平行线，或
过点E作AB的平行线与BC的延长线相交．
证明：过点D作DF∥AC交BC于F．
∴∠5=∠6（两直线平行，内错角相等）
∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠4（等边对等角）
∴∠B=∠3（等量代换）
∴BD=DF（等角对等边）
∵BD=CE（已知）
∴DF=EC（等量代换）
在△PDF和△PEC中
12()
56()
()
DF EC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
对顶角相等
已证
已证
∴△PDF≌△PEC（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
练习题
一、选择题：
1．将一张正方形纸片沿图中的虚线剪开后，能拼出下列四个图形，则其中不是轴对称的是（）
2．△ABC中，∠B：∠A：∠C=1：2：3，且AB=6cm，则AC等于（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．锐角∠AOB=45°，在角的内部有一点P，它关于OA、OB的对称点分别是M、N，那么△MON一定是（）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
4．等腰三角形有两条边长分别是3和8，则其周长是_________．
5．坐标平面内，点A（-2，3）关于x轴的对称点是点B，O为坐标原点，则△AOB的面积是________．
6．小亮从镜子中看见镜子正对面的石英钟显示的时刻是3点15分，则实际时间是___________．
7．试找出图14-4-3所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填入下表格中．
正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 …n
对称轴的条数…
三、解答题
8．如图，MN为一平面镜，A为发光点，B为反射点，试画出反射光线和这条反射光线的入射光线．
M N
9．如图，△ABC 中高AD 与BF 交于点E ，且AD=BD ，求证：△CDE 是等腰直角三角形．
E
D C
A
B F
10．如图，△ABC 中AB=AC ，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE=CF ，求证：DE ⊥DF （提示：连接AD ）
E
D C
A B
F
四、探究题
11．如图，△ABC 中AB=2AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AC 于C ， 求证：AD=BD ．
D
C
A
B
答案：
1．B 2．A 3．D 4．19 5．6 6．8点45分 7．3、4、5、6、7、8、n 8．略 9．证明△BDE ≌△ADC 得DE=DC
10．连接AD ．先证明AD ⊥BC 和AD=CD ，再证明△ADE ≌△CDF 得∠ADE=∠CDF 11．过点D 作DE ⊥AB 于E ，证明△ADE ≌△ADC 得到DE 平分AB ，•
根据线段的垂直平分线的性质直接得到DA=DB 。