高一下学期数学人教A版必修第二册第六章6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课件(共20张PPT)
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∵b c (3,2) a (b c) 6 6 0
∵a b （0,7）（a b）2 （a b）（ a b） 0 49 49
巩固新知 P34没有，自己补
例1. 设 a (5,5 3), b (4 3,4)，求 ab 及 ab 的夹角.
解: ab (5)4 3 5 3 (4) 40 3
a b x1x2 y1y2 0
巩固新知 P34
10
例10. 若点A(1,2), B(2,3), C(2,5)，则ABC是什么形状？证明你的 猜想.
8
解：由图可知，三角形是直角三角形，且∠A是直角。
证明： AB (2 1,3 2) (1,1) AC (2 1,5 2) (3,3)
y6
(2)若 | b | 5 ，且 a 2b 与 2a b 垂直，求 a 与 b 的夹角.
2
解(1)：设 c (x, y)，则
x2 y2 20
,
2x y 0
x
y
2 , 4
或xy
2 4
c (2,4) 或 c (2,4)
金版P27
5.已知 a , b , c 是同一平面内的三个向 量，其中 a (1,2).
解：cos = a b = a b
1 3+1 + 3 3-1
12 +
2
3
2
2
3+1 + 3-1
=
2 2
[00 ,180 0 ],
=45
巩固新知 P35 例12
例12. 用向量方法证明两角差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
证明：如图， , 的终边与单位圆 O分别交于 A, B两点，则
又 | a | (5)2 (5 3)2 10，
| b | (4 3)2 (4)2 8
cos a b 40 3 3
| a || b | 10 8
2
[0, ], 5
6
巩固新知 P34没有，自己补
练习3变为：设 a (1, 3), b ( 3 1, 3 1)，求 ab 的夹角.
(1)若 | c | 2 5,且 c // b ,求 c 的坐标；
(2)若 | b | 5 ，且 a 2b 与 2a b 垂直，求 a 与 b 的夹角.
2
(2) a 2b 与 2a b 垂直
(a 2b)(2a b) 0
2
2
2a 3a b 2b 0
ab 5 2
cos a b 1
C
4
AB AC 1(3) 13 0
B
AB AC
2
A
ABC是直角三角形
15
10
5
O
x
2
巩固新知 P34
10
例10. 若点A(1,2), B(2,3), C(2,5)，则ABC是什么形状？证明你的 猜想.
8
解：由图可知，三角形是直角三角形，且∠A是直角。
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2 C
a b (3)5 4 2 7
巩固新知 P36练习1，2
2. 已知 a (2,3), b (2,4), c (1,2)，求 a b, (a b) (a b), a (b c), (a b)2.
解：ab 2(2) 34 8 ∵a b (0,7)，a -b （4，-1）（a b）（ a - b） 0 - 7 -7
B.
2
2
C.
D.
5
5
1.5
y
如图，建立直角坐标系
C
E
1
B
OD
（1，1 2
）, OE
（1 2
，1）
cosDOE
|
OD OE OD || OE
|
0.5
D
5
4
3
2
1
O
1A x
金版P27
5.已知 a , b , c 是同一平面内的三个向 量，其中 a (1,2).
(1)若 | c | 2 5,且 c // b ,求 c 的坐标；
(1)求证：AB AC;
(2)解：设D(x, y)，则
y
(2)求点D和向量AD的坐标；
(3)设ABC ，求cos (1)证明： AB （3， 6）
AC （2，1）
AB AC 6 6 0 AB AC, 即AB AC
AD (x 2, y 4), BC (5,5)
BD (x 1, y 2)
x2
y2
1
,
4x 2 y 0
x
y
5
5 2
5 5
,
或x
y
2
5 5 5 5
e ( 5 , 2 5 )或 a ( 5 , 2 5 )
55
55
作业
1.完成课本P37页第13题 2.完成金版相应题目
金版P27
6. 拔高练 已知在ABC中，点A(2,4), B(1,2),C(4,3), BC边上的高为AD.
| a || b | [0, ],
金版P27
6.已知点A(2，1), B(4,2),点P在x轴上，当PA PB取得最小值时，点P的
坐标是( D )
A（. 2，0） B（. 4，0） C（. 10，0） 3
设 P(a,0)，则 PA PB (2 a，1)(4 a,2) a2 6a 6
又 i 2 1， j 2 1，i j 0
a b x1x2 y1y2 （横乘横，加纵乘纵）
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
探索新课 P34
1（. 1）若 a (x, y), 则 a a x2 y2
向量模的公式
若 a (x, y), 则 | a |2 x2 y2 , 或 | a | x2 y2
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
引入新课 P34
探究 已知
a (x1, y1),b (x2,y2),
怎样用 a
与
b
的坐标表示
ab
呢？
a x1i y1 j,
b
x2i
y2j
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j 2
探索新课 P34
（3）设两非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2), a与b的夹角为
cos a b x1x2 y1 y2
| a || b | x12 y12 x22 y22
向量的夹角公式
2. 设 a (x1, y1),b (x2, y2),
若 a b，则 a b x1x2 y1 y2 0
（2）设向量 a 的起点和终点分别是A(x1, y1), B(x2, y2), 那么
a (x2 x1 , y2 y1) | a | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
两点间的距离公式
若A(x1 , y1), B(x2 , y2 ),则| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
AD BC, BD// BC
55((xy
2) 5( y 2) 5(x
4) 0 ,
1)பைடு நூலகம் 0
B
AxyDDD7252D, C D(7 , 5)
22x AD (3 , 3)
22
(3)解：BA（3，6）, BC （5，5） cos BA BC 15 30 3 10
| BA|| BC | 3 5 5 2 10
当a 3时，有最小值
D（. 3，0）
| AB | 2，|AC | 3 3，|BC | 2 5
| AB |2 |AC |2 |BC |2 ，ABC是直角三角形
y6
4
B
2
A
15
10
5
O
x
2
巩固新知 P36练习1，2
1. 已知 a (3,4), b (5,2)，求| a |, | b |, ab. 解：| a | (3)2 42 5 | b | 52 22 29
解：设 a (x, y)，则
x2 y2 9
,
2x y 0
x
y
35 5
65 5
,
或x
y
35 5
65 5
a (3 5 , 6 5 )或 a ( 3 5 , 6 5 )
55
55
巩固新知 P36习题6.3 第9，10题
10. 已知 a (4,2)，求与 a 垂直的单位向量的坐标. 解：设与 a 垂直的单位向量为e (x, y)，则
金版P27
2.在平面直角坐标系 Oxy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，AB （1， 2），
AD （2，1），则 AD AC ( A )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.5
AC AB AD
3.若正方形OABC两边AB, BC的中点分别为点D和E，则D2 OE的余弦值为
（D）
1
3
3
4
A.
OA (cos,sin), OB (cos,sin )
终边 y
OAOB cos cos sin sin 又 OAOB | OA|| OB | cos cos
cos( ) cos cos sin sin
A
O
终边 B
x
巩固新知 P36习题6.3 第9，10题
9. 已知 | a | 3, b (1,2)，且 a // b ，求 a 的坐标.
∵a b （0,7）（a b）2 （a b）（ a b） 0 49 49
巩固新知 P34没有，自己补
例1. 设 a (5,5 3), b (4 3,4)，求 ab 及 ab 的夹角.
解: ab (5)4 3 5 3 (4) 40 3
a b x1x2 y1y2 0
巩固新知 P34
10
例10. 若点A(1,2), B(2,3), C(2,5)，则ABC是什么形状？证明你的 猜想.
8
解：由图可知，三角形是直角三角形，且∠A是直角。
证明： AB (2 1,3 2) (1,1) AC (2 1,5 2) (3,3)
y6
(2)若 | b | 5 ，且 a 2b 与 2a b 垂直，求 a 与 b 的夹角.
2
解(1)：设 c (x, y)，则
x2 y2 20
,
2x y 0
x
y
2 , 4
或xy
2 4
c (2,4) 或 c (2,4)
金版P27
5.已知 a , b , c 是同一平面内的三个向 量，其中 a (1,2).
解：cos = a b = a b
1 3+1 + 3 3-1
12 +
2
3
2
2
3+1 + 3-1
=
2 2
[00 ,180 0 ],
=45
巩固新知 P35 例12
例12. 用向量方法证明两角差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
证明：如图， , 的终边与单位圆 O分别交于 A, B两点，则
又 | a | (5)2 (5 3)2 10，
| b | (4 3)2 (4)2 8
cos a b 40 3 3
| a || b | 10 8
2
[0, ], 5
6
巩固新知 P34没有，自己补
练习3变为：设 a (1, 3), b ( 3 1, 3 1)，求 ab 的夹角.
(1)若 | c | 2 5,且 c // b ,求 c 的坐标；
(2)若 | b | 5 ，且 a 2b 与 2a b 垂直，求 a 与 b 的夹角.
2
(2) a 2b 与 2a b 垂直
(a 2b)(2a b) 0
2
2
2a 3a b 2b 0
ab 5 2
cos a b 1
C
4
AB AC 1(3) 13 0
B
AB AC
2
A
ABC是直角三角形
15
10
5
O
x
2
巩固新知 P34
10
例10. 若点A(1,2), B(2,3), C(2,5)，则ABC是什么形状？证明你的 猜想.
8
解：由图可知，三角形是直角三角形，且∠A是直角。
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2 C
a b (3)5 4 2 7
巩固新知 P36练习1，2
2. 已知 a (2,3), b (2,4), c (1,2)，求 a b, (a b) (a b), a (b c), (a b)2.
解：ab 2(2) 34 8 ∵a b (0,7)，a -b （4，-1）（a b）（ a - b） 0 - 7 -7
B.
2
2
C.
D.
5
5
1.5
y
如图，建立直角坐标系
C
E
1
B
OD
（1，1 2
）, OE
（1 2
，1）
cosDOE
|
OD OE OD || OE
|
0.5
D
5
4
3
2
1
O
1A x
金版P27
5.已知 a , b , c 是同一平面内的三个向 量，其中 a (1,2).
(1)若 | c | 2 5,且 c // b ,求 c 的坐标；
(1)求证：AB AC;
(2)解：设D(x, y)，则
y
(2)求点D和向量AD的坐标；
(3)设ABC ，求cos (1)证明： AB （3， 6）
AC （2，1）
AB AC 6 6 0 AB AC, 即AB AC
AD (x 2, y 4), BC (5,5)
BD (x 1, y 2)
x2
y2
1
,
4x 2 y 0
x
y
5
5 2
5 5
,
或x
y
2
5 5 5 5
e ( 5 , 2 5 )或 a ( 5 , 2 5 )
55
55
作业
1.完成课本P37页第13题 2.完成金版相应题目
金版P27
6. 拔高练 已知在ABC中，点A(2,4), B(1,2),C(4,3), BC边上的高为AD.
| a || b | [0, ],
金版P27
6.已知点A(2，1), B(4,2),点P在x轴上，当PA PB取得最小值时，点P的
坐标是( D )
A（. 2，0） B（. 4，0） C（. 10，0） 3
设 P(a,0)，则 PA PB (2 a，1)(4 a,2) a2 6a 6
又 i 2 1， j 2 1，i j 0
a b x1x2 y1y2 （横乘横，加纵乘纵）
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
探索新课 P34
1（. 1）若 a (x, y), 则 a a x2 y2
向量模的公式
若 a (x, y), 则 | a |2 x2 y2 , 或 | a | x2 y2
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
引入新课 P34
探究 已知
a (x1, y1),b (x2,y2),
怎样用 a
与
b
的坐标表示
ab
呢？
a x1i y1 j,
b
x2i
y2j
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j 2
探索新课 P34
（3）设两非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2), a与b的夹角为
cos a b x1x2 y1 y2
| a || b | x12 y12 x22 y22
向量的夹角公式
2. 设 a (x1, y1),b (x2, y2),
若 a b，则 a b x1x2 y1 y2 0
（2）设向量 a 的起点和终点分别是A(x1, y1), B(x2, y2), 那么
a (x2 x1 , y2 y1) | a | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
两点间的距离公式
若A(x1 , y1), B(x2 , y2 ),则| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
AD BC, BD// BC
55((xy
2) 5( y 2) 5(x
4) 0 ,
1)பைடு நூலகம் 0
B
AxyDDD7252D, C D(7 , 5)
22x AD (3 , 3)
22
(3)解：BA（3，6）, BC （5，5） cos BA BC 15 30 3 10
| BA|| BC | 3 5 5 2 10
当a 3时，有最小值
D（. 3，0）
| AB | 2，|AC | 3 3，|BC | 2 5
| AB |2 |AC |2 |BC |2 ，ABC是直角三角形
y6
4
B
2
A
15
10
5
O
x
2
巩固新知 P36练习1，2
1. 已知 a (3,4), b (5,2)，求| a |, | b |, ab. 解：| a | (3)2 42 5 | b | 52 22 29
解：设 a (x, y)，则
x2 y2 9
,
2x y 0
x
y
35 5
65 5
,
或x
y
35 5
65 5
a (3 5 , 6 5 )或 a ( 3 5 , 6 5 )
55
55
巩固新知 P36习题6.3 第9，10题
10. 已知 a (4,2)，求与 a 垂直的单位向量的坐标. 解：设与 a 垂直的单位向量为e (x, y)，则
金版P27
2.在平面直角坐标系 Oxy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，AB （1， 2），
AD （2，1），则 AD AC ( A )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.5
AC AB AD
3.若正方形OABC两边AB, BC的中点分别为点D和E，则D2 OE的余弦值为
（D）
1
3
3
4
A.
OA (cos,sin), OB (cos,sin )
终边 y
OAOB cos cos sin sin 又 OAOB | OA|| OB | cos cos
cos( ) cos cos sin sin
A
O
终边 B
x
巩固新知 P36习题6.3 第9，10题
9. 已知 | a | 3, b (1,2)，且 a // b ，求 a 的坐标.