物理数学物理法专题练习(及答案)含解析

物理数学物理法专题练习(及答案)含解析
一、数学物理法
1．如图，在长方体玻璃砖内部有一半球形气泡，球心为O ，半径为R ，其平面部分与玻璃砖表面平行，球面部分与玻璃砖相切于O '点。

有－束单色光垂直玻璃砖下表面入射到气泡上的A 点，发现有一束光线垂直气泡平面从C 点射出，已知OA =
3
2
R ，光线进入气泡后第一次反射和折射的光线相互垂直，气泡内近似为真空，真空中光速为c ，求： （i ）玻璃的折射率n ；
（ii ）光线从A 在气泡中多次反射到C 的时间。

【答案】（i ）3n =；（ii ）3t R c
=
【解析】 【分析】 【详解】
（i ）如图，作出光路图
根据折射定律可得
sin sin n θ
α
=
① 根据几何知识可得
3
sin 2
OA R θ=
=
② 90αθ+=︒ ③
联立解得
3n =
玻璃的折射率为3。

（ii ）光从A 经多次反射到C 点的路程
322
R R
s R R R =
+++=⑤ 时间
s
t c
=
⑥ 得
3t R c
=
光线从A 在气泡中多次反射到C 的时间为
3R c。

2．如图所示，质量为m=1kg 的物块与竖直墙面间动摩擦因数为=0．5，从t=0的时刻开
始用恒力F 斜向上推物块，F 与墙面间夹角
=37°，在t=0的时刻物块速度为0．
（1）若F=12．5N ，墙面对物块的静摩擦力多大？ （2）若F=30N ，物块沿墙面向上滑动的加速度多大？
（3）若要物块保持静止，F 至少应为多大？（假设最大静摩擦力等于同样正压力时的滑动摩擦力，F 的计算结果保留两位有效数字）
【答案】（1）0f =（2）25/a m s =（3）9.1F N = 【解析】
试题分析：（1）设f 向上，37Fcos f mg ︒+=得0f =
（2）根据牛顿第二定律可得cos37sin 37F F mg ma μ︒-︒-=，得25/a m s = （3）当物块即将下滑时，静摩擦最大且向上，cos37sin 37F F mg μ︒+︒=，得
9.1F N =
考点：考查了摩擦力，牛顿第二定律
【名师点睛】在计算摩擦力时，首先需要弄清楚物体受到的是静摩擦力还是滑动摩擦力，如果是静摩擦力，其大小取决于与它反方向上的平衡力大小，与接触面间的正压力大小无关，如果是滑动摩擦力，则根据公式F N μ=去计算
3．某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示．可视为质点的赛车从起点A 出发，沿水平直线轨道运动L 后，由B 点进入半径为R 的光滑竖直半圆轨道，并通过半圆轨道的最高点C ，才算完成比赛．B 是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道
相切于B 点．已知赛车质量m =0.5kg ，通电后以额定功率P =2W 工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为F f =0.4N ，随后在运动中受到的阻力均可不计，L =10.00m ，R =0.40m ，（g 取10m/s 2）．求：
（1）要使赛车能通过C 点完成比赛，通过C 点的速度至少多大？ （2）赛车恰能完成比赛时，在半圆轨道的B 点对轨道的压力多大 （3）要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间t ？
（4）若电动机工作时间为t 0=5s ，当R 为多少时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大，水平距离最大是多少？
【答案】（1）2m/s （2）25/m s ，30N （3）t =4.5s （4）R =0.3m ，1.2m 【解析】 【分析】
赛车恰好通过最高点时，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出通过C 点的最小速度．根据机械能守恒定律求出赛车在B 点的最小速度，根据牛顿第二定律求出赛车对轨道的压力．对A 到B 过程运用动能定理，求出电动机从A 到B 至少工作的时间．根据动能定理求出赛车到达最高点的速度，结合平抛运动的规律求出水平位移，通过数学知识求出水平位移的最大值． 【详解】
（1）当赛车恰好过C 点时在B 点对轨道压力最小，赛车在B 点对有：
2C
v mg m R
=
解得：
100.4m/s 2m/s C v gR ==⨯=...①
（2）对赛车从B 到C 由机械能守恒得：
22
11222
B C mv mv mg R =+⋅…② 赛车在B 处，由牛顿第二定律可得：
2
N B
v F mg m R
-=…③
由①②③得:
525m/s B v gR ==
N 630N F mg ==
由牛顿第三定律知，对轨道的压力大小等于30N ； （3）对赛车从A 到B 由动能定理得：
2
102
f B Pt F L mv -=
- 解得:
4.5s t =
（4）对赛车从A 到C 由动能定理得：
2
0012'2
f Pt F L m
g R mv --⋅=
， 赛车飞出C 后有:
212'2
R gt =
0x v t =
解得:
23
16('')5
x R R =--，
所以当'0.3m R =时，x 最大：
max 1.2m x =
答：（1）要使赛车能通过C 点完成比赛，通过C 点的速度至少为2m/s ； （2）赛车恰能完成比赛时，在半圆轨道的B 点对轨道的压力等于30N ； （3）要使赛车完成比赛，电动机至少工作 4.5s t =；
（4）若电动机工作时间为t 0=5s ，当R 为0.3m 时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大，最大水平距离max 1.2m x =．
4．质量为M 的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，质量为m 的木块刚好可以在木楔上表面上匀速下滑．现在用与木楔上表面成α角的力F 拉着木块匀速上滑，如图所示，求：
(1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)拉力F 最小时，木楔对水平面的摩擦力． 【答案】(1)mg sin 2θ (2)1
2
mg sin 4θ 【解析】 【分析】
对物块进行受力分析，根据共点力平衡，利用正交分解，在沿斜面方向和垂直于斜面方向都平衡，进行求解采用整体法，对m 、M 构成的整体列平衡方程求解．
【详解】
(1)木块刚好可以沿木楔上表面匀速下滑时，mg sin θ＝μmg cos θ，则μ＝tan θ，用力F 拉着木块匀速上滑，受力分析如图甲所示，则有：F cos α＝mg sin θ＋F f ，F N ＋F sin α＝mg cos θ， F f ＝μF N
联立以上各式解得：()
sin 2cos mg F θ
θα=
-．
当α＝θ时，F 有最小值，F min ＝mg sin 2θ．
(2)对木块和木楔整体受力分析如图乙所示，由平衡条件得，F f ′＝F cos(θ＋α)，当拉力F 最小时，F f ′＝F min ·cos 2θ＝1
2
mg sin 4θ． 【点睛】
木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含摩擦系数的数值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，结合数学知识即可解题．
5．如图所示，一半径为R =30.0cm ，横截面为六分之一圆的透明柱体水平放置，O 为横截面的圆心，该柱体的BO 面涂有反光物质，一束光竖直向下从A 点射向柱体的BD 面，入射角i =45°，进入柱体内部后，经过一次反射恰好从柱体的D 点射出。

已知光在真空中的速度为c =3.00×108m/s ，sin37.5°=0.608，sin 45°=0.707，sin 15°=0.259，sin22.5°=0.383，试求：（结果保留3位有效数字） (1)透明柱体的折射率； (2)光在该柱体的传播时间t 。

【答案】(1)1.16；(2)91.8410s -⨯ 【解析】 【分析】 【详解】 (1)如图所示：
根据反射成像的对称性，可知
4560105AOD ︒︒︒'∠=+=
折射角为
18010537.52
r ︒︒︒-==
由折射定律得
sin sin i
n r
=
代入数据解得
sin 45 1.16sin 37.5n ︒
︒
==
(2)根据折射定律可得
c v n
=
光在该柱体的传播
2cos x R r =
光在该柱体的传播时间
2cos x nR r t v c
=
= 代入数据得
91.8410s t -=⨯
6．在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B 点，B 端有一长度可不计的光滑圆弧连接，末端恰好水平，运动员最后落在水池中，设滑道的水平距离为L ，B 点的高h （小于H ）可由运动员自由调节（210m/s g =），求：
(1)运动员到达B 点的速度与高度h 的关系；
(2)要使运动员全过程的水平运动距离达到最大，B 点的高度h 应调为多大；对应的最大水平距离max s 为多大？
(3)若图中H =4m ，L =5m ，动摩擦因数0.2μ=，则全过程的水平运动距离要达到7m ，h 值
应为多少？（已知5 2.24≈）
【答案】(1)()2B v g H h L μ=
--(2)
max 2
H L
s L H L μμ-=+-，(3)1 2.62m h =或20.38m h =
【解析】 【分析】 【详解】
(1)设AB 与水平面夹角为θ，A 运动到B 过程，克服摩擦阻力做功为
cos cos L
mg mgL μθμθ
⋅
= 由A 运动到B 过程，由动能定理得
2
1()2
B mg H h mgL mv μ--=
则
()2B v g H h L μ=--(2)物体做平抛运动，则0x v t =，2
12
h gt =
，所以 ()2x h H h L μ=--当H h L h μ--=，即
2
H L
h μ-=
时x 有最大值为
max x H L μ=-
对应的最大水平距离为
max s L H L μ=+-
(3)由(2)可知
2()x H L h h μ=--代入数据得
2310h h -+=
即
135
m 2.62m 2h +=≈ 235
m 0.38m h -=
≈
7．质量为M 的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当一质量为m 的木块放在斜面上时恰好能匀速下滑，如果用与斜面成α角的力F 拉着木块匀速上升，如图所示，求： （1）木块与斜面间的动摩擦因数；
（2）拉力F 与斜面的夹角α多大时，拉力F 最小,拉力F 的最小值是多少； （3）此时木楔对水平面的摩擦力是多少.
【答案】(1) μ=tan θ (2) F min =mg sin2θ (3) f M =F cos(α+θ) 【解析】 【分析】 【详解】
(1)物体在斜面上匀速向下运动，有：
mg sinθ=μmg cosθ，
可求得
μ=tanθ
(2)当加上外力F 时，对木块受力分析 因向上匀速，则有：
F cosα=mg sinθ+f …① F sinα+N =mg cos θ…②
f =μN …③
联立①②③可得
()()
sin cos mg F αθαθ+=
-
则当α=θ时，F 有最小值
F min=mg sin2θ．
（3）因为m 及M 均处于平衡状态，整体受到地面摩擦力等于F 的水平分力，即：
f M =F cos （α+θ）
8．如图所示，一质量为M ，半径为R 的半圆圈，竖直放置于水平面上（假定圆圈不倒下，也不能沿水平面滑动）．一质量为m 的小圆环套在大圆圈上，并置于顶端．现在小圆环以近于0的初速度沿大圆圈向右端无摩擦地滑下．问：小圆环滑至什么位置（用角度表
示）可使得半圆圈右端A 点与水平面间的压力为零？并讨论此题若有解，需满足什么条件？（结果可用三角函数表达）
【答案】小圆环下滑至与竖直成θ角，在3m M ≥的条件下有解，
13cos 113M
m
θ⎛=+-
⎝． 【解析】 【分析】 【详解】
设小圆环下滑至与竖直成θ角时，半圆圈右端A 点与水平面间的压力为零，由机械能守恒定律可得
21
cos 2
mgR mgR mv θ=+．
由牛顿第二定律可得 2
cos mv mg N R
θ+=． 由此得
11
cos cos 22
mgR mgR mgR NR θθ=++，
即(23cos )N mg θ=-．
对半圆圈有cos MgR NR θ=，
由此解得
3221cos M m m m θ±-
=
．
显然，在3m M ≥的条件下有解，考虑到余弦函数的特点，其大小为
13cos 113M
m θ⎛=+-
⎝．
9．一架旧式轰炸机在h=720m 超低空以v 0=50m/s 速度沿水平方向飞行，在其正下方与其飞行路线平行的笔直公路上有一辆汽车在沿相同方向运动，轰炸机发现汽车时与汽车的水平距离为s 0=800m ，而此时汽车正从静止开始以a=1m/s 2的加速度做匀加速直线运动，汽车速度最大只能达到40m/s ．轰炸机在发现汽车△t 时间后投下炸弹恰好击中汽车．g="10" m/s 2．求（1）炸弹从离开飞机到击中汽车，水平方向的位移为多少？（2）时间△t 为多少？（不计空气阻力） 【答案】（1）600m
（2）8s 【解析】
试题分析:（1）轰炸机投下的炸弹在空中做平抛运动，时间为t ，由
t=12s
炸弹从投下到击中汽车，水平位移为l l= v 0t 解得l =600m
（2）从发现汽车到击中汽车，炸弹在水平方向的位移为s s= v 0（△t+t ） 汽车的位移为s ＇
s 0+ s ＇=s 解得△t =8s
考点:平抛运动、匀变速直线运动的规律． 【名师点睛】对平抛规律的理解及应用
10．一玻璃砖截面如图所示，O 为圆环的圆心，内圆半径为R ，外圆半径为3R ，AF 和EG 分别为玻璃砖的两端面，120AOE ︒∠=，B 、C 、D 三点将圆弧四等分。

一细束单色光a 从F 点沿平行于BO 方向从AF 面射入玻璃砖，其折射光线恰好射到B 点，求： (1)玻璃砖的折射率n ；
(2)从B 点出射的光线相对于射入玻璃砖前入射光线的偏转角φ。

【答案】3(2)60ϕ︒
=
【解析】 【分析】 【详解】 (1)光路图如图所示
设从AF 界面射入时的入射角为1θ，折射角为2θ，因为a 光线平行于BO ，则
160θ=︒
根据余弦定理有
22(3)23cos30FB R R R R R ︒=+-⋅⋅=
所以
330θ︒=，230θ︒=
根据折射定律有
1
2
sin sin n θθ=
代入数据得
3n =(2)因为
4
3
sin sin n θθ=
解得
460θ︒=
则偏转角ϕ为60°。

11．如图所示为一等腰直角玻璃砖ABC 的横截面图，AB 长为L ，一束由a 和b 两种单色光组成的复合光从AB 边的P 点垂直AB 射入玻璃砖，已知玻璃砖对a 光的折射率
123
n =
b 光的折射率22n =4L AP =。

①画出a 和b 两种单色光的光路图，求出a 单色光从玻璃砖射出时的折射角（可以用折射角的三角函数值表示）；
②求出a 和b 两种单色光在玻璃砖中传播的时间。

【答案】(1) ，
6 sin i=；
(2)
3
6
L
c
，
2L
c
【解析】
【分析】
【详解】
(1)根据全反射定律可知
1
13
sin
a
C
n
∠==
2
12
sin
2
b
C
n
∠==
解得a、b的临界角分别为
60
a
C︒
∠=
45
b
C︒
∠=
进入玻璃砖后，a光在AC边发生折射，b光恰好在AC边发生全反射，光路图如图：
对a 光，根据折射定律
sin sin 45
i
n ︒=
解得
sin i =
(2)a 、b 在玻璃砖中传播的速度分别为
12a c v c n ==
2b c v n =
= a 、b 在玻璃砖中传播的路程
1
4
a s PE L ==
111
424
b s PE EF FG L L L L =++=
++= 则a 、b 在玻璃砖中传播的时间分别为
162
a a a L
s t v c ===
1b b b s L t v c =
==
12．如图所示，质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从A 点由静止释放，经电压为U 的加速电场加速后沿圆心为O 、半径为a 的圆弧（虚线）通过静电分析器，并从P 点垂直CF 进入矩形匀强磁场区域QDCF 。

静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，电场强度的方向均指向O 点。

QF a =， 1.6PF a =，磁场方向垂直纸面向里，粒子重力不计。

（1）求静电分析器通道内圆弧线所在处电场的电场强度的大小E ；
（2）若粒子能最终打在磁场区域（边界处有磁场）的左边界QF 上，求磁场的磁感应强度大小B 的取值范围。

【答案】（1）2U E a =；（2）12524mU mU
B a q a q
≤≤
【解析】 【分析】 【详解】
（1）粒子在加速电场中运动的过程中，根据动能定理有
2
12
qU mv =
粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，有
2
v qE m a
=
联立以上两式解得
2U
E a
=
（2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
2
v qvB m r
=
解得
12mU
r B q
=
要使粒子能打在边界QF 上，则粒子既没有从边界DQ 射出也没有从边界CF 射出，可画出粒子运动径迹的边界如图中Ⅰ和Ⅱ所示
由几何关系可知，粒子能打在边界QF 上，必须满足的条件为
4
5
a r a ≤≤ 解得
12524mU mU
B a q a q
≤≤
13．如图所示，质量分别为2m 和3m 的两个小球A 和B 固定在一根直角尺的两端如图，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴。

AO 、BO 的长分别为2L 和L 。

开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。

让该系统由静止开始自由转动，求： (1)当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ； (2)B 球能上升的最大高度h ；
(3)开始转动后B 球可能达到的最大速度v m 。

【答案】(1)811gL ；(2)1.28L ；(3)411
gL
【解析】 【分析】 【详解】
以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

(1)过程中A 的重力势能减少，A 、B 的动能和B 的重力势能增加，两小球同轴转动，根据
v r ω=可知，A 的速度总是B 的2倍，根据机械能守恒定律
2
21122323222v mg L mg L m v m ⎛⎫
⋅=⋅+⋅⋅+⋅ ⎪⎝⎭
解得
811
gL v =
(2)B 球不可能到达O 的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA 竖直位置向左偏了α角
22cos 3(1sin )mg L mg L αα⋅=⋅+
此式可化简为
4cos 3sin 3αα-=
解得
sin(53)sin 37α︒︒-=
则
16α︒=
则B 球上升的最大高度
sin16sin(5337)h L L L L ︒︒︒=+=+-
解得
1.28h L =
(3)B 球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W G 。

设OA 从开始转过θ角时B 球速度最大，根据机械能守恒
22m m 112(2)322sin 3(1cos )22
m v m v mg L mg L θθ⋅⋅+⋅⋅=⋅-⋅- 因为
(4sin 3cos 3)2mgL mgL θθ+-≤
解得
m 411
gL
v =
14．某次探矿时发现一天然透明矿石，将其打磨成球形后置于空气中。

已知球半径R =10cm ，MN 是一条通过球心O 的直线。

单色细光束AB 平行于MN ，从球面上的B 点射入球体，再沿光路BC 从球面上的C 点沿CD 方向射出，并与直线MN 相交于P 点，其光路如图所示。

测得AB 与MN 间距为52d =cm ，CD 与MN 所成的角α=30°，已知光在真空中传播的速度c =3.0×108m/s 。

求： (1)求该天然透明矿石的折射率n ； (2)光在矿石中从B 点到C 点所需的时间t 。

【答案】2；9106
10s(8.210s)--≈⨯ 【解析】 【分析】 【详解】
(1)设光线在B 点界面的入射角与折射角分别为1θ、2θ；光线在C 点界面折射角为β
根据几何关系
1522
sin 102
d R θ=
==
得
145θ︒=
在界面B 点
1
2
sin sin n θθ=
在界面C 点
2
sin sin n β
θ=
可得
145βθ︒==
由几何知识得
145BOM θ︒∠==
30CPO α︒∠==
15COP CPO β︒∠=-∠=
因
()212COP πθθπ-+∠+=
可得
230θ=︒
由折射率得
2
sin 452sin n θ︒==(2)光在球体中传播的速度c n v
=
得 222
c c
v n =
==
BC 间的距离
22cos 103cm S R θ==
则光线在球中传播的时间
91022cos 610s(8.210s)3
R S t v v θ--=
==⨯≈⨯
15．如图甲所示，空间存在一个半径为R 0的圆形匀强磁场区域，磁场的方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B 。

一粒子源置于圆心，在纸面内沿各个方向以相同速率发射大量粒子，所有粒子刚好都不离开磁场。

已知粒子的质量为m 、电荷量为+q ，不考虑粒子之间的相互作用： (1)求带电粒子的速率v ；
(2)若粒子源可置于磁场中任意位置，且磁场的磁感应强度大小变为4
B
，求粒子在磁场中最长的运动时间t ；
(3)若原磁场不变，再叠加另一个半径为R 1（R 1＞R 0）圆形匀强磁场，如图乙所示，磁场的
磁感应强度的大小为
2
B
，方向垂直于纸面向外，两磁场区域成同心圆，此时从圆心处的粒子源出发的粒子都能回到圆心，求R 1的最小值和粒子运动的周期T 。

【答案】(1)0
2qBR m
；(2)43m qB π；(3)0(31)R +，283m qB π
【解析】 【分析】 【详解】
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
2
v qvB m r
=
由几何关系得
02R r =
解得
2
qBR
v
m
=
(2)磁场的大小变为
4
B
后，设粒子的轨道半径为1
r，由
2
1
4
B v
qv m
r
=
解得
10
42
4
mv
r r R
B
q
===
在磁场中轨迹为劣弧，弦长越长，对应圆心角越大，时间越长，则在磁场中最大弦长为0
2R，如图
圆周轨迹对应的圆心角为60︒，最长时间
60124
63
360
4
m m
t T
B qB
q
ππ
︒
︒
==⋅=
(3)根据磁场的叠加法则可知，垂直纸面向里和垂直纸面向外的磁场大小均为
2
B
，可知半径
20
2
2
mv
r r R
B
q
===
粒子在磁场中运动的轨迹如图
可知1R的最小值为ON长度，根据几何关系可知
2130OO O ︒∠=
则
0101200cos302c s 30)o 1R R O R R O R ︒︒=⋅=+=+
粒子运动的周期为
12030027428(22)333603602
m m m T B qB qB q
πππ︒︒︒︒=⨯+⨯⋅=⋅=。