2022年数学沪科版八年级下《菱形的判定》教案

第2课时菱形的判定
1．理解并掌握菱形的判定方法；(重点)
2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．(难点)
一、情境导入
木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD中，AB ＝BC＝CD＝DA，试说明四边形ABCD是菱形．
二、合作探究
探究点一：四边相等的四边形是菱形
如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
解析：根据平移的性质可得CF＝AD＝10cm，DF＝AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10cm，就可以根据“四边相等的四边形是菱形”得到结论．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，
BC＝8cm，
∴AC＝AB2＋BC2＝62＋82＝10(cm)，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
探究点二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图所示，▱ABCD的对角线BD 的垂直平分线与边AB，CD分别交于点E，F.求证：四边形DEBF是菱形．
解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法．要证四边形DEBF是菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.
∴∠FDO＝∠EBO.
又∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD.
在△DOF和△BOE中，
⎩⎪
⎨
⎪⎧
∠FDO＝∠EBO，
OD＝OB，
∠FOD＝∠EOB，
∴△DOF≌△BOE(ASA)．
∴OF＝OE.
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须强调对角线是互相垂直且平分．
探究点三：菱形的判定和性质的综合运用
如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE 到点F，使得EF＝BE，连接CF .
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形BCFE 的边长为4，高为23，∴S菱形BCFE＝4×23＝8 3.
方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形．
三、板书设计
经历菱形的猜想、证明的过程，进一步提高学生的推理论证能力，体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.第2课时二次根式的混合运算
1．了解二次根式的混合运算顺序；
2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)
一、情境导入
如果梯形的上、下底边长分别为22 cm，43cm，高为6cm，那么它的面积是
多少？
毛毛是这样算的：
梯形的面积：1
2(22＋43)×6＝(2
＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．
他的做法正确的吗？ 二、合作探究
探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的混合运算
计算：
(1)48÷3－1
2
×12＋24； (2)
12
÷43×2
3
－50. 解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简． 解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6
＋26＝4＋6；
(2) 原式＝12×34×233
－52＝3
8
×
233－52＝64×233－52＝2
2
－52＝ －92
2. 方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最
后算加减，如果有括号就先算括号里面的． 【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算
计算：
(1)(5＋3)(5－3)；
(2)(32－23)2－(32＋23)2. 解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．
解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－
(3)2＝5－3＝2；
(2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－24 6.
方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．
【类型三】 二次根式的化简求值
先化简，再求值：x ＋xy xy ＋y ＋
xy －y
x －xy
(x >0，y >0)，其中x ＝3＋1，y ＝3－1.
解析：首先根据约分的方法和二次根式
的性质进行化简，然后再代值计算．
解：原式＝
x （x ＋y ）
y （x ＋y ）
＋
y （x －y ）x （x －y ）＝x y ＋y x ＝x ＋y
xy
.
∵x ＝3＋1，y ＝3－1，∴x ＋y ＝23，xy ＝3－1＝2，∴原式＝232
＝ 6.
方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代
入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运
算．化简求值时注意整体思想的运用．
【类型四】 二次根式混合运算的应用 一个三角形的底为63＋22，这
条边上的高为33－2，求这个三角形的面积．
解析：根据三角形的面积公式进行计算．
解：这个三角形的面积为1
2(63＋
22)(33－2)＝1
2×2×(33＋2)(33－
2)＝(33)2－(2)2＝27－2＝25.
方法总结：根据题意列出关系式，计算
时注意观察式子的特点，选取合适的方法求
解，能应用公式的尽量用公式计算．
探究点二：二次根式的分母有理化
【类型一】 分母有理化
计算： (1)215＋122；
(2)3－23＋2＋3＋23－2
.
解析：(1)把分子、分母同乘以2，再
约分计算；(2)把
3－23＋2
的分子、分母同乘
以3－2，把
3＋23－2
的分子、分母同乘以
3＋2，再运用公式计算． 解
：
(1)
215＋12
2
＝
（215＋12）×22×2＝230＋26
2＝30
＋6；
(2)
3－2
3＋2
＋
3＋23－2
＝（3－2）2
（3＋2）（3－2）
＋
（3＋2）2（3－2）（3＋2）＝5－26
3－2＋
5＋26
3－2
＝5－26＋5＋26＝10. 方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同
乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成a ·a 的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公
式计算．如分母是a ＋b ，则分子、分母
同乘以a －b .
【类型二】 分母有理化的逆用
比较15－14与14－13小
解析：把15－14的分母看作“1”，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的
分母看作“1”，分子、分母同乘以14＋13，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大的反而小”，得到它们的大小关系．
解：15－14
＝（15－14）（15＋14）
15＋14＝1
15＋14
，14－
13
＝
（14－13）（14＋13）14＋13＝1
14＋13.
∵15＋14＞14＋13＞0， ∴115＋14＜1
14＋13即15－14
＜14－13.
方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两个数的大小．
三、板书设计
二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯。