八年级上册数学奥赛试卷
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一、选择题（每题5分，共20分）
1. 若a、b是实数，且a^2 + b^2 = 1，则a^4 + b^4的取值范围是（）
A. [0, 1]
B. [1, 2]
C. [0, 2]
D. [1, 4]
2. 若x > 0，则x^2 + 1的取值范围是（）
A. [1, +∞)
B. [0, +∞)
C. (0, +∞)
D. (1, +∞)
3. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(x)的图像关于直线x = 1对称，则f(3)的值为（）
A. 0
B. 1
C. 4
D. 9
4. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，则b的值为（）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
5. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x^3 - 8的值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题（每题5分，共25分）
6. 若x^2 - 3x + 2 = 0，则x^2 + 3x的值为______。
7. 已知等差数列的前三项分别为2、5、8，则该数列的公差为______。
8. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x^2 + 4x的值为______。
9. 若a、b、c是等比数列，且a + b + c = 12，则b的值为______。
10. 若x^2 - 3x + 2 = 0，则x^3 - 6x的值为______。
三、解答题（每题10分，共40分）
11. 已知函数f(x) = 2x - 1，求证：f(x)的图像关于直线x = 1对称。
12. 已知等差数列的前三项分别为3、7、11，求该数列的第10项。
13. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
14. 已知等比数列的前三项分别为2、4、8，求该数列的公比。
四、附加题（每题10分，共20分）
15. 已知等差数列的前三项分别为a、b、c，且a + b + c = 12，求证：该数列的公差为4。
16. 已知等比数列的前三项分别为a、b、c，且a + b + c = 12，求证：该数列的公比为2。
答案：
一、选择题
1. C
2. B
3. B
4. B
5. A
二、填空题
6. 5
7. 4
8. 4
9. 4 10. 4
三、解答题
11. 证明：设x为任意实数，则f(2 - x) = (2 - x)^2 - 1 = 4 - 4x + x^2 - 1 = x^2 - 4x + 3 = f(x)。
因此，f(x)的图像关于直线x = 1对称。
12. 解：设该数列的第10项为x，则有x = 3 + 7 (10 - 1) = 3 + 63 = 66。
13. 解：f(x) = (x - 2)^2，当x = 2时，f(x)取得最小值0。
14. 解：设该数列的公比为q，则有8 = 2 q^2，解得q = 2。
四、附加题
15. 证明：由等差数列的性质知，a + c = 2b。
又因为a + b + c = 12，所以2b + b = 12，解得b = 4。
因此，公差为4。
16. 证明：由等比数列的性质知，b^2 = ac。
又因为a + b + c = 12，所以b^2 = (12 - b)^2，解得b = 4。
因此，公比为2。