湖北省2019年高三上学期数学期末模拟试卷

高三第一学期数学期末模拟试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。

1.已知集合{}1,2,3A =，{}1,2,5B =，则A B ⋃= .{}1,2,3,5 2.已知复数1z i =-（i 是虚数单位），若a ∈R 使得
2a
z z
+∈R ，则a = .1 3有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为____ __
2
5
4.若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2
＝1，则实数z 的最小值是___ __.－19
5已知函数||2,1,
()2
, 1.x x f x x x x +<⎧⎪
=⎨+≥⎪⎩
设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是_________[2,2]-
6. 椭圆的中心在坐标原点o ，顶点分别是1212,,,A A B B ，焦点分别为12,F F ，延长12B F 与22A B 交于P 点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 . 51
(
,1)2
- 7.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2
＋b 2
＋2c 2
＝8，则△ABC 面积的最大值为________.25
5
8. 设函数),(13)(2
2
3
R b a x a bx ax x f ∈+-+=在1x ，2x 处取得极值，且221=-x x ． 若0>a ，则b 的取值范围为________，2323
[,]33
-
9椭圆T ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个顶点A(a ，0)，B(0，b )，过A ，B 分别作AB 的垂线
交椭圆T 于D ，C （不同于顶点），若BC ＝3AD ，则椭圆T 的离心率为 ．6
3
e =
. 10. 已知(1,1)A ，BC 在圆2
2
4x y +=上，且23BC =，P 在圆上，使得
(0)AB AC mOP m +=>，则正数m 的取值范围________2121m -≤≤+
11. 长方体1111ABCD A B C D -中，13,2AB BC AA ===，则四面体11A BC D 的体积为 6
12. 知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2
＋mx ＋12(x ∈R )，且y ＝f (x )在x ∈[0,2]上的最大值为12，若函数g (x )
＝f (x )－ax 2
有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为________.(0,1)
13已知动直线l 与椭圆22:13
2
x y C +=交于1122(,)
(,)P x y Q x y ，两不同点，且OPQ ∆的面积62
OPQ S ∆=
,其中O 为坐标原点.则22
12x x += 3. 14. 定义域为的函数
图象上两点（
），（）．是图象上任
意一点，其中，
．已知向量，若不等式
对任
意
恒成立，则称函数在
上“阶线性近似”．若函数
在
上“阶线性
近似”，则实数的取值范围为________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知的面积为，、分别为边
、
上的点，且
，
与交于．设存在和使，
，
，
．（1）求及；（2）用
，
表示
；（3）求
的面积． 解：（1）由于，，则
，
，
，，
，
，∴
①
，
②，由①②
得
，
（2
）
．
（3）设，
，的高分别为，，，
，
，
，
，
．
16. 如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AF AC λ=．
（1）若EF ∥平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．
16.（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ，平面ABC
平面
E
A B
C
D
F
ABD AB =，
所以//EF AB ，
又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，
所以点F 为AC 的中点，由AF AC λ=得12λ=；（7分）
（2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥， 又AE
DE E =，
AE DE ⊂、平面AED ，所以BC ⊥平面AED ，而BC ⊂平面BCD ，
所以平面BCD ⊥平面AED ．（14分） 17. （本小题满分14分）
为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG （图中阴影部分）．以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy （如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数1
(0)y x x x
=+
>模型．园区服务中心P 在x 轴正半轴上，PO ＝
4
3
百米． （1）若在点O 和景观湖边界曲线上一点M 之间修建一条休闲长廊OM ，求OM 的最短长度； （2）若在线段DE 上设置一园区出口Q ，试确定Q 的位置，使通道直线段PQ 最短．
17．解：（1）设1,2M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2
22221122222OM x x x x x ⎛⎫=++=++≥+ ⎪⎝
⎭，
当且仅当2
2
12x x +
，即222
x =时取等号， ∴OM 的最短距离为222+. （2）过P 作函数1y x x =+
的切线l ，设切线l 的方程为()403y k x k ⎛
⎫=-< ⎪⎝
⎭， 联立方程组431
y k x y x x ⎧⎛
⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩
，得()2
41103k k x x -++=，
令()2164109k k ∆=
--=得3k =-或3
4
k =（舍）， ∴直线l 的方程为433y x ⎛
⎫=--
⎪⎝⎭
， 令5y =得13
x =-，∴117633
DQ =-
=. ∴当17
3
DQ =时，通道PQ 最短。

18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝ 1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，且右
焦点F 到左准线的距离为6 2.(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .
①当直线PA 的斜率为1
2时，求△FMN 的外接圆的方程；
②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值.
解 (1)由题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
c a ＝22，
c ＋a 2
c ＝6
2，
解得⎩⎨
⎧
a ＝4，
c ＝22，
则b ＝22，所以椭圆C 的标准
方程为x 216＋y 2
8
＝1.
(2)由题可设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，k ＞0，则M (0,4k )，所以直线FN 的方程为y ＝
22
4k (x －22)，则N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－2k .
①当直线PA 的斜率为12，即k ＝1
2
时，M (0,2)，N (0，－4)，F (22，0)，
因为MF ⊥FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3，所以△FMN 的外接圆的方程为x 2
＋(y ＋1)2
＝9.
②联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋4，x 216＋y
2
8
＝1，消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2
－16＝0，
解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 2
1＋2k 2，所以P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－8k 2
1＋2k 2，8k 1＋2k 2，直线AN 的方程为y ＝－12k (x ＋4)，
同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2
－41＋2k
2，－8k 1＋2k 2，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点.所以△APQ 的面积
S ＝1
2
OA ·(y P －y Q )＝2×
16k 1＋2k 2＝
322k ＋
1k
≤82，当且仅当2k ＝1k ，即k ＝2
2
时，等号成立. 所以△APQ 的面积的最大值为8 2.
19.已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1＝2，a n ＋1＝a n b n ，b n ＋1＝a n ＋b n
2
.
(1)求证：当n ≥2时，a n －1≤a n ≤b n ≤b n －1；
(2)设S n 为数列{|a n －b n |}的前n 项和，求证：S n <10
9.
证明 (1)当n ≥2时，b n －a n ＝
a n －1＋
b n －1
2
－a n －1b n －1＝
b n －1－a n －1
2
2
≥0，
故有b n ≥a n (n ≥2且n ∈N *
)，所以a n ＝a n －1b n －1≥a n －1，
b n ＝a n －1＋b n －1
2
≤b n －1.综上，a n －1≤a n ≤b n ≤b n －1.
(2)由(1)知
b n
a n ≤
b n －1
a n －1≤…≤
b 1a 1＝2<32，2b n <3a n ⇔(b n －a n )<1
5
(b n ＋a n )， 故|a n －b n |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a n －1＋b n －12－a n －1b n －1＝
b n －1－a n －1
2
2
<
b n －1－a n －1
b n －1＋a n －1
10
＝|b n －1－a n －1|
10
，
故S n <1＋110＋…＋110n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪
⎫110n 1－110
＝109⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110n <10
9
.
20．已知函数()ln(1)1()x
f x e ax x x R =+++-∈.
（Ⅰ）若0x ≥时,()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：2e
3e
2
-<
. 解:（Ⅰ）法一：若0x ≥时, 则()1
1
x f x e a x '=+
++.
()()
2
1
1x f x e x ''=-
+，()()
2
1
1x f x e x ''=-
+在[)0+∞，上单调递增，
则()()0=0f x f ''''≥.则()f x '在[)0+∞，上单调递增，()()0=2f x f a ''≥+. ① 当20a +≥，即-2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在[)0+∞，上单调递增， 此时()()0=0f x f ≥，满足题意. ②若2a <-,由()f x '在[)0+∞，上单调递增， 由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.
故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=. 则当00x x << 时,()()00f x f x ''<=,
∴函数()f x 在()00,x 上单调递减. ∴()()000f x f <=,不恒成立.舍去． 综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞. 法二：若0x ≥时, 则()1
1
x f x e a x '=+
++. ① 2a ≥-，令()1x g x e x =--，则()10x g x e '=-≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增，
则()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+． ∴()()()111
1212011
1
x f x e a x a x a a x x x '=+
+≥+++≥+⋅
+=+≥+++. ∴函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增. ∴()()00f x f ≥=，成立.
②若2a <-,由()()()()
2
22
111
011x x
x e f x e x x +-''=-=≥++. ∴函数()f x '在[)0,+∞上单调递增. 由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.
故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=. 则当00x x <<时,()()00f x f x ''<=, ∴函数()f x 在()00,x 上单调递减. ∴()()000f x f <=,不恒成立.舍去． 综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞.
（Ⅱ）证明:由(Ⅰ)知,当2a =-时,()f x =()2ln 11x e x x -++-在[)0,+∞上单调递增.
则()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即1
211ln 1102e ⎛⎫
-++-> ⎪⎝⎭
.
∴3ln
22e >-. ∴23
2
e e ->,即23
2
e
e -<。