集合的概念

集合的概念
一、元素和集合的概念
明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.
一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合（set ） 我们通常用大写拉丁字母 A ，B ，C ，... 表示集合，用小写拉丁字母 a ，b ，c ，... 表示集合中的元素
二、集合的三要素
三要素分别有确定性、互异性、无序性
给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了
一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的
三、元素和集合的关系
如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to ）集合 A ，记作A ∈a ；
如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于（not belong to ）集合 A ，记作A ∉a ． 一般的， 0 表示一个数字，一个元素，而{0 } 表示一个集合，这个集合里只有一个元素 0 0 与 {0 } 是元素与集合的关系，元素 0 属于集合 {0 }，记作}0{0∈
四、数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 N ；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 N*或 N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z ；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q ；
全体实数组成的集合称为实数集，记作 R ．
我们可以用自然语言描述一个集合
五、集合的表示方法
列举法
像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法
描述法
一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征P (x) 的元素x 所组成的
集合表示
}
x
p|
A
x{）
（
∈．这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖
线，写成
}
x
p
A
x{）
（
：
∈或}
x
p
A
x{）
（
；
∈；
六、题型
1、判断自然语言描述内容
下列对象中不能构成集合的是( )
A.直角三角形
B.比1小0.001的数
C.高个子的男生
D.平面直角坐标系中的所有点
解：根据题意，依次分析选项：
对于A,直角三角形，满足集合中元素的确定性，可以构成集合；
对于B,比1小0.001的数，满足集合中元素的确定性，可以构成集合；
对于C,高个子的男生，不满足集合中元素的确定性，不可以构成集合；
对于D,平面直角坐标系中的所有点，满足集合中元素的确定性，可以构成集合.故选：C.
下列对象不能组成集合的是( )
A.小于0的所有自然数
B.比姚明还高的人
C.好人
D.所有的平行四边形
解：由集合元素的确定性可知，
小于0的所有自然数可以组成集合，A不符合题意；比姚明还高的人可以组合集合，B不符合题意；好人的标准不明确，不能构成集合，C符合题意；所有的平行四边形可以组成集合，
D 不符合题意.故选：C.
下列对象能组成集合的是( )
A.√2的所有不足近似值
B.某个班级中学习好的所有同学
C.2024年全国高考数学试题中所有难题
D.屠呦呦实验室的全体工作人员
解：√2的不足近似值不能构成集合，A 不符合题意；学习好没有标准，B 不符合题意；难题没有标准，元素不确定，C 不符合题意；屠呦呦实验室的全体工作人员可以构造集合，D 正确.故选：D.
2、常用数集及其记法
下列元素与集合的关系中，正确的是( )
A.*∈-N 3
B.R ∈5
C.Z ∈2
1 D.N ∉0
解：选项A,因-3不是正整数，故A 错误；选项B,5是无理数，故必是实数，故B 正确；选项C,2
1是分数，故不是整数，故C 错误；选项D,0是自然数，故D 错误. 故选：B.
下列关系式：（1）Q ∈2
1；（2）R ∉2；（3）+∈N 0；（4）Z ∈π；（5）∅}0{∈.其中正确的个数是( ) 解：Q 表示有理数集，
21是有理数，故(1)正确；R 表示实数集，2为实数，故(2)错；N +表示正整数集，0不是正整数，故(3)错；Z 表示整数集，π不是整数，故(4)错； ∅和{0}都表示集合，集合间的关系不能用∈表示，故(5)错.
故选：A.
给出下列关系：（1）Q ∈3;（2）
R ∈7
1；（3）Z ∉1.3；（4）N ∉0.其中正确的个数为（） 解：（1）Q ∈3错误；（2）R ∈71正确；（3）Z ∉1.3正确;（4）N ∉0错误
故答案为：2.
3、集合的确定性、互异性和无序性
若以集合{a,b,c,d}的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素；满足题意的可能是梯形.
故选A
集合{2a,a ²}中实数a 的取值范围是( )
A.{a|a=0,或a=2}
B.{a|a=0,且a=2}
C.{a|a ≠0,或a ≠2}
D.{a|a ≠0,且a ≠2}
解：由题意可知，2a ≠a ²,解得a ≠0且a ≠2,故所求a 的取值范围为{a|a ≠0,且a ≠2}.故选：
D.
若}x x {12
，∈,则x=（）
A.1
B.-1
C.0或1
D.0或1或-1
解：根据题意，}x x {12， ,则必有x=1或x ²=1, 进而分类讨论：
①、当x=1时，x ²=1,不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当x ²=1,解可得x=-1或x=1(舍)
当x=-1时，x ²=1,符合题意，
综合可得，x=-1,
故选：B.
4、列举法表示集合
集合{x|-1≤2x+3≤8,x ∈N}用列举法表示为( )
A.{-2,-1,0,1,2}
B.{-1,0,1,2}
C.{0,1,2}
D.{1,2}
解：由-1≤2x+3≤8,解得-2≤x ≤2
5, 所以{x|-1≤2x+3≤8,x ∈N}={x|-2≤x ≤
25,x ∈N)={0,1,2}. 故选：C.
5、描述法表示集合
用描述法表示所有偶数组成的集合（）
解：描述法为：{x|x=2n,n ∈Z}.
故答案为：{x|x=2n,n ∈Z}.。