中考数学总复习提分训练-与切线有关的计算与证明

提分专练(六)与切线有关的计算与证明
1.[2019·天津]已知PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠APB=80°,C为☉O上一点.
(1)如图T6-1①,求∠ACB的大小;
(2)如图T6-1②,AE为☉O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求∠EAC的大小.
图T6-1
2.[2019·江西联考]如图T6-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是BC的中点,以AC为直径的☉O与AB边交于点D,连接DE.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若CD=6 cm,DE=5 cm,求☉O直径的长.
图T6-2
3.[2019·九江二模]如图T6-3,已知,在Rt △ABC 中,以斜边AB 上的高CD 为直径作了一个圆,圆心为点O ,这个圆交线段BC 于点E ,点G 为BD 的中点. (1)求证:GE 为☉O 的切线; (2)若
CC CC =1
2
,GE=6,求AD 的长.
图T6-3
4.如图T6-4,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,经过A ,D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上,☉O 分别与AB ,AC 相交于点E ,F. (1)求证:BC 为☉O 的切线;
(2)若☉O 的半径为2,AC=3,求BD 的长.
图T6-4
5.[2019·江西样卷六]如图T6-5,点C在以AB为直径的☉O上,将△ABC沿边AC翻折得到△ACD,再将CD沿CE 翻折,使点D恰好落在☉O上的点F处.
(1)求证:直线CE是☉O的切线;
时,求CE的长.
(2)当AB=10,且tan∠DAB=4
3
图T6-5
⏜沿着CD翻折后,点6.[2019·南昌调研]如图T6-6,已知☉O的直径AB为4,CD为弦,AB与CD交于点M,将CC
A与圆心O重合,延长OA至点P,使AP=OA,连接PC.
(1)求CD的长.
(2)求证:PC是☉O的切线.
⏜于点F(F与B,C不重合), (3)点G为CCC
⏜ 的中点,在PC的延长线上,有一动点Q,连接QG交AB于点E,交CC
则GE·GF是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
图T6-6
7.[2018·赣州章贡模拟]如图T6-7,☉O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交☉O于点E,交BC于点D,过点E 作直线l∥BC.
(1)判断直线l与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;
(3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.
图T6-7
【参考答案】
1.解:(1)如图,连接OA ,OB.
∵PA ,PB 分别是☉O 的切线, ∴OA ⊥PA ,OB ⊥PB , 即∠PAO=∠PBO=90°. ∵∠APB=80°,
∴在四边形OAPB 中,∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°, ∴∠ACB=1
2∠AOB=50°.
(2)如图,连接CE.
∵AE 为☉O 的直径, ∴∠ACE=90°. 由(1)知,∠ACB=50°, ∴∠BCE=∠ACE -∠ACB=40°, ∴∠BAE=∠BCE=40°. ∵在△ABD 中,AB=AD , ∴∠ADB=∠ABD=70°. ∵△ACD 中,∠ADB 是外角,
∴∠EAC=∠ADB -∠ACB=70°-50°=20°. 2.解:(1)证明:连接DO ,如图.
∵∠BDC=90°,E 为BC 的中点,∴DE=CE=BE ,∴∠EDC=∠ECD. 又∵OD=OC ,∴∠ODC=∠OCD ,而∠OCD +∠DCE=∠ACB=90°, ∴∠EDC +∠ODC=90°,即∠EDO=90°,∴DE ⊥OD. ∵OD 是☉O 的半径, ∴DE 与☉O 相切.
(2)在Rt △BCD 中,BD=√CC 2-CC 2=√102-62=8(cm), ∵∠BCA=∠BDC=90°,∠B=∠B , ∴△BCA ∽△BDC , ∴CC CC =CC
CC ,即
CC 6
=108,
∴AC=15
2,
∴☉O 直径的长为15
2.
3.解:(1)证明:连接OE ,DE ,OG ,如图.
∵CD 为☉O 的直径,∴∠CED=90°. ∵点G 为BD 的中点,∴GE=1
2BD=DG ,
在△GEO 和△GDO 中,{CC =CC ,
CC =CC ,CC =CC ,
∴△GEO ≌△GDO (SSS),
∴∠GEO=∠GDO=90°.∴GE 为☉O 的切线. (2)∵∠ACB=90°,∠CDA=90°,∴∠ACD=∠B , ∵tan B=
CC CC =12,∴tan ∠ACD=CC CC =1
2, ∴AD=1
2CD=1
2GE=3.
4.解:(1)证明:如图,连接OD.
∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠BAD=∠CAD. 又∵OD=OA , ∴∠OAD=∠ODA , ∴∠CAD=∠ODA , ∴OD ∥AC ,
∴∠ODB=∠C=90°,即OD ⊥BC. 又∵BC 过半径OD 的外端点D , ∴BC 为☉O 的切线. (2)由(1)知,OD ∥AC. ∴△BDO ∽△BCA ,
∴CC CC =CC
CC . ∵☉O 的半径为2. ∴DO=OE=2,AE=4, ∴CC +2CC +4=2
3, ∴BE=2,∴BO=4,
∴在Rt △BDO 中,BD=√CC 2-CC 2=2√3. 5.解:(1)证明:如图①,连接OC.
由折叠的性质可知BC=DC ,∠DAC=∠CAB. ∵OA=OB ,∴∠OAC=∠OCA , ∴∠DAC=∠OCA , ∴OC ∥AD.
由折叠的性质可知CE ⊥AD , ∴∠OCE=∠DEC=90°. ∵点C 在☉O 上, ∴直线CE 是☉O 的切线. (2)如图②,连接BF.
∵AB 是☉O 的直径, ∴∠AFB=90°. ∵tan ∠DAB=4
3,
∴CC CC =4
3. ∵AB=10, ∴BF=8.
由折叠的性质可知DC=BC ,DE=FE , ∴CE=1
2BF=4.
6.解:(1)由题意,得CD ⊥AO ,且AM=OM ,连接OC ,如图①,则OM=1
2OC. ∴∠AOC=60°,∴CM=OC ·sin60°=2×√3
2=√3.
∴CD=2CM=2√3.
(2)证明:连接CA ,如图①,则△AOC 为等边三角形,
∴CA=AO=PA ,∠CAO=60°,∴∠P=∠PCA=30°.∴∠PCO=90°.即PC ⊥OC. ∵OC 是☉O 的半径,∴PC 是☉O 的切线. (3)证明:连接GO 并延长交☉O 于H ,连接HF. 如图②.
∵点G 为CCC ⏜ 的中点,∴OG ⊥AB. ∵GH 为☉O 的直径,∴∠GFH=90°, ∴∠GOE=∠GFH=90°.
∵∠OGE=∠FGH ,∴△GOE ∽△GFH.
∴CC CC =CC
CC .∴GE ·GF=GO ·GH=2×4=8为定值. 7.解:(1)直线l 与☉O 相切. 理由:如图所示,连接OE.
∵AE 平分∠BAC , ∴∠BAE=∠CAE. ∴CC ⏜=CC ⏜.∴OE ⊥BC. ∵l ∥BC ,∴OE ⊥l. ∴直线l 与☉O 相切. (2)证明:∵BF 平分∠ABC , ∴∠ABF=∠CBF.
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE , ∴∠CBE +∠CBF=∠BAE +∠ABF. 又∵∠EFB=∠BAE +∠ABF , ∴∠EBF=∠EFB.∴BE=EF. (3)由(2)得BE=EF=DE +DF=7. ∵∠DBE=∠BAE ,∠DEB=∠BEA , ∴△BED ∽△AEB.
∴CC CC =CC CC ,即47=7CC ,解得AE=49
4. ∴AF=AE -EF=49
4-7=21
4.。