高中数学选修1-2-1.1回归的基本思想及其初步应用汇编
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一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，
身高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心， 即子辈的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从
它所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们 现在的回归含义是相同的。
计值等，这样作出的图形称为残差图。
第十七页，编辑于星期二：点 二十六分。
残差图的制作及作用。
•几点坐说明标：纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 误果。数第•如据1果采个样数集若轴本据 没模为点采有和集错型心第有误6选的个错，样误则择带本，需的形点就要的予寻正区残以找确域差纠其比正他，；较，的残大然原，后因差需再。图要重确新中认利的在用采线点集性应过回程归该中模分是型否拟布有合在人数为据以的；横错如
残差数据。
编号 身高/cm 体重/kg
残差
1 165 48
-6.373
2 165 57
2.627
3 157 50
2.419
4 170 54
-4.618
5 175 64
1.137
6 165 61
6.627
7 155 43
-2.883
8 170 59
0.382
使用公式 ei =yi yi 计算残差
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估
7 155 43
-2.883
8 170 59
0.382
例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：
6 1 ( 0 . 8 4 9 1 6 5 8 5 . 7 1 2 ) 6 . 6 2 7
第十六页，编辑于星期二：点 二十六分。
表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的
对回归模型进行统计检验
第十四页，编辑于星期二：点 二十六分。
假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响， 那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数 据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近，所 以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了。
因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异
3. 求回归直线方程
y＝bx＋a
• 用回归直线方程解 决应用问题
y＝bx＋a＋e
• 了解模型中随机误差项e产生 的原因
• 了解相关指数 R2 和模型拟合
的效果之间的关系
• 了解残差图的作用
• 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题
• 正确理解分析方法与结果
第二十六页，编辑于星期二：点 二十六分。
如果不是，你能解析一下原因吗？
答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg， 但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。
60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重的预测 值，而是所有身高为172cm的女大学生平均体重的预测 值。
第十二页，编辑于星期二：点 二十六分。
n
( xi x )( yi y )
b i1 n
(xi x)2
i 1
a ybx
n
xi yi n x y
i 1 n
xi 2
2
nx
i 1
第八
b0.84， 9a85.712
(x, y)称为 样本点的中心
所以回归方程是 y0.849x85.712
• 对于远离横轴的点，要特别注意 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域
的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。。
身
高 与 体 重
异 常 点
残
差
• 错误数据
图
• 模型问题
第十八页，编辑于星期二：点 二十六分。
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
函数模型与回归模型之间的差别
函数模型： ybxa 回归模型： yb xae
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量 x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。
在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。
第十三页，编辑于星期二：点 二十六分。
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为
172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较好的
线性相关关系，因此可思以考用线P性3回归方程
刻画它们之间的关产系生。随机误差项e 3、从散点图还看到的，原样因本点是散什布么在？某一条
直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。
我们可以用下面的线性回归模型来表示：
y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，
e称为随机误差。
第五页，编辑于星期二：点 二十六分。
思考
产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）：
1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只是 身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长 环境等因素；
不是，你能解析一下原因吗？
所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报 其体重为
y 0 . 8 4 9 7 2 8 5 . 7 1 2 6 0 . 3 1 6 ( k g )
第十一页，编辑于星期二：点 二十六分。
探究P4： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？
注 ： 回 归 直 线 经 过 样 本 点 的 中 心
第九页，编辑于星期二：点 二十六分。
注 ： 回 归 直 线 经 过 样 本 点 的 中 心 (x, y)称为 样本点的中心
第十页，编辑于星期二：点 二十六分。
于是得到
^
^
b0.84， 9a85.71探2究P4：
所以回身归高方为1程7是2cm的y女 大0.学84 生9 的x体重85 一.7 定12 是60.316kg吗？如果
2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 x 的观测误差。
第六页，编辑于星期二：点 二十六分。
函数模型与回归模型之间的差别
函数模型： ybx a
可以提供
回归模型： yb xa e 选择模型的准则
第七页，编辑于星期二：点 二十六分。
根据最小二乘法估计 a 和 b 就是未知参数a和b的最好估计，
第一章 统计案例
第一页，编辑于星期二：点 二十六分。
什么是回归分析：
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提
出的。
根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。
虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此，
X和Y之间存在一种相关关系。
(yi y i )是随机误差的效应，称 ei =yi y为i 残差。
第十五页，编辑于星期二：点 二十六分。
编号 身高/cm 体重/kg
残差
1 165 48
-6.373
2 165 57
2.627
3 157 50
2.419
4 170 54
-4.618
5 175 64
1.137
6 165 61
6.627
n
( yi yi )2
R2
1
i 1 n
( yi y)2
i 1
显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说 模型拟合效果越好。
在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化 的贡献率。
R2 越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解
析变量和预报变量的线性相关性越强）。
第十九页，编辑于星期二：点 二十六分。
第二十二页，编辑于星期二：点 二十六分。
作业：
第二十三页，编辑于星期二：点 二十六分。
练习：
第二十四页，编辑于星期二：点 二十六分。
练习：
第二十五页，编辑于星期二：点 二十六分。
a. 比《数学3》中“回归”增加的内
数学３——统计
容选修１-２——统计案例
5. 引入线性回归模型
1. 画散点图
2. 了解最小二乘法的 思想
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一
种应用于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发
挥着重要作用。
第二页，编辑于星期二：点 二十六分。
复习:变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间
的函数关系是 y = x2
确定性关系
问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过 大，或残差呈现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查 数据是否有误，或模型是否合适等。
第二十页，编辑于星期二：点 二十六分。
例:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所
示数据:
广告费用X（万元） 14 16 18
20 22
销售额y (万元)
注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫回归分析。
第四页，编辑于星期二：点 二十六分。
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
-------有一个确定性的关系？
例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥
量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
第三页，编辑于星期二：点 二十六分。
1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机 性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
12 10
7
53
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏
第二十一页，编辑于星期二：点 二十六分。
例:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所
示数据:
广告费用X（万元） 14 16 18
20 22
销售额y (万元) 12 10 7
53
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预 报变量。 （2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间 的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关 系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
身高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心， 即子辈的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从
它所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们 现在的回归含义是相同的。
计值等，这样作出的图形称为残差图。
第十七页，编辑于星期二：点 二十六分。
残差图的制作及作用。
•几点坐说明标：纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 误果。数第•如据1果采个样数集若轴本据 没模为点采有和集错型心第有误6选的个错，样误则择带本，需的形点就要的予寻正区残以找确域差纠其比正他，；较，的残大然原，后因差需再。图要重确新中认利的在用采线点集性应过回程归该中模分是型否拟布有合在人数为据以的；横错如
残差数据。
编号 身高/cm 体重/kg
残差
1 165 48
-6.373
2 165 57
2.627
3 157 50
2.419
4 170 54
-4.618
5 175 64
1.137
6 165 61
6.627
7 155 43
-2.883
8 170 59
0.382
使用公式 ei =yi yi 计算残差
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估
7 155 43
-2.883
8 170 59
0.382
例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：
6 1 ( 0 . 8 4 9 1 6 5 8 5 . 7 1 2 ) 6 . 6 2 7
第十六页，编辑于星期二：点 二十六分。
表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的
对回归模型进行统计检验
第十四页，编辑于星期二：点 二十六分。
假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响， 那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数 据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近，所 以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了。
因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异
3. 求回归直线方程
y＝bx＋a
• 用回归直线方程解 决应用问题
y＝bx＋a＋e
• 了解模型中随机误差项e产生 的原因
• 了解相关指数 R2 和模型拟合
的效果之间的关系
• 了解残差图的作用
• 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题
• 正确理解分析方法与结果
第二十六页，编辑于星期二：点 二十六分。
如果不是，你能解析一下原因吗？
答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg， 但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。
60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重的预测 值，而是所有身高为172cm的女大学生平均体重的预测 值。
第十二页，编辑于星期二：点 二十六分。
n
( xi x )( yi y )
b i1 n
(xi x)2
i 1
a ybx
n
xi yi n x y
i 1 n
xi 2
2
nx
i 1
第八
b0.84， 9a85.712
(x, y)称为 样本点的中心
所以回归方程是 y0.849x85.712
• 对于远离横轴的点，要特别注意 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域
的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。。
身
高 与 体 重
异 常 点
残
差
• 错误数据
图
• 模型问题
第十八页，编辑于星期二：点 二十六分。
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
函数模型与回归模型之间的差别
函数模型： ybxa 回归模型： yb xae
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量 x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。
在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。
第十三页，编辑于星期二：点 二十六分。
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为
172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较好的
线性相关关系，因此可思以考用线P性3回归方程
刻画它们之间的关产系生。随机误差项e 3、从散点图还看到的，原样因本点是散什布么在？某一条
直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。
我们可以用下面的线性回归模型来表示：
y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，
e称为随机误差。
第五页，编辑于星期二：点 二十六分。
思考
产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）：
1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只是 身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长 环境等因素；
不是，你能解析一下原因吗？
所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报 其体重为
y 0 . 8 4 9 7 2 8 5 . 7 1 2 6 0 . 3 1 6 ( k g )
第十一页，编辑于星期二：点 二十六分。
探究P4： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？
注 ： 回 归 直 线 经 过 样 本 点 的 中 心
第九页，编辑于星期二：点 二十六分。
注 ： 回 归 直 线 经 过 样 本 点 的 中 心 (x, y)称为 样本点的中心
第十页，编辑于星期二：点 二十六分。
于是得到
^
^
b0.84， 9a85.71探2究P4：
所以回身归高方为1程7是2cm的y女 大0.学84 生9 的x体重85 一.7 定12 是60.316kg吗？如果
2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 x 的观测误差。
第六页，编辑于星期二：点 二十六分。
函数模型与回归模型之间的差别
函数模型： ybx a
可以提供
回归模型： yb xa e 选择模型的准则
第七页，编辑于星期二：点 二十六分。
根据最小二乘法估计 a 和 b 就是未知参数a和b的最好估计，
第一章 统计案例
第一页，编辑于星期二：点 二十六分。
什么是回归分析：
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提
出的。
根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。
虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此，
X和Y之间存在一种相关关系。
(yi y i )是随机误差的效应，称 ei =yi y为i 残差。
第十五页，编辑于星期二：点 二十六分。
编号 身高/cm 体重/kg
残差
1 165 48
-6.373
2 165 57
2.627
3 157 50
2.419
4 170 54
-4.618
5 175 64
1.137
6 165 61
6.627
n
( yi yi )2
R2
1
i 1 n
( yi y)2
i 1
显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说 模型拟合效果越好。
在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化 的贡献率。
R2 越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解
析变量和预报变量的线性相关性越强）。
第十九页，编辑于星期二：点 二十六分。
第二十二页，编辑于星期二：点 二十六分。
作业：
第二十三页，编辑于星期二：点 二十六分。
练习：
第二十四页，编辑于星期二：点 二十六分。
练习：
第二十五页，编辑于星期二：点 二十六分。
a. 比《数学3》中“回归”增加的内
数学３——统计
容选修１-２——统计案例
5. 引入线性回归模型
1. 画散点图
2. 了解最小二乘法的 思想
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一
种应用于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发
挥着重要作用。
第二页，编辑于星期二：点 二十六分。
复习:变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间
的函数关系是 y = x2
确定性关系
问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过 大，或残差呈现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查 数据是否有误，或模型是否合适等。
第二十页，编辑于星期二：点 二十六分。
例:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所
示数据:
广告费用X（万元） 14 16 18
20 22
销售额y (万元)
注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫回归分析。
第四页，编辑于星期二：点 二十六分。
案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
-------有一个确定性的关系？
例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥
量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
第三页，编辑于星期二：点 二十六分。
1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机 性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
12 10
7
53
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏
第二十一页，编辑于星期二：点 二十六分。
例:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所
示数据:
广告费用X（万元） 14 16 18
20 22
销售额y (万元) 12 10 7
53
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预 报变量。 （2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间 的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关 系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。