北师大八年级-分式与分式方程

分式及分式方程
一、知识讲解
1．分式
用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子A B
就叫做分式． 2，当x____时，分式无意义；当x_____时，分式的值为0.
3．分式的基本性质 A B =,A M A A M B M B B M
⨯÷=⨯÷（其中M 是不等于零的整式） 4．分式的符号法则
a b =a a a b b b
--=-=---． 5．分式的运算 （1）加减法：
,a b a b a c ad bc c c c b d bd
±±±=±=． （2）乘除法：a b ·,c ac a c a d ad d bd b d b c bc =÷== （3）乘方（a b ）n =n n a b
（n 为正整数） 6．约分
根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分．
7．通分
根据分式的基本性质，•把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．
易混,易错点分析:
1,在分式通分时最简公分母的确定方法(1)系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2,取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.(3)如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.2,在分式约分时分子分母公因式的判断方法(1)系数取分子,分母系数的最大公约数作为公因式的系数.(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.(3)如果分子,分母是多项式,则应先把分子,分母分解因式,然后判断公因式.
3,分式计算的最后结果必须是最简形式.
重点,难点:1,繁杂形式的分式通分及整式与分式结合形式的通分.2,约分化简.
【课前热身】
1. 填空（1）223(__)22x x x x =++； （2）2(____)()x y x y x y -=++； （3）2(____)
a a
b a b ab --= 2. 化简：232312a b ab -=__________；223(1)9(1)
a b m ab m --=__________ ；（3）22211m m m -+-=_____________. 3. 计算：223286a y y a ⋅=_______； a
a a a 21222+⋅-+=___________. 4. 1112+-+a a a =_____________；2
1422---a a a =______________． 5.下列关于x 的方程，是分式方程的是（ ）
A .23356x x ++-=
B .137x x a -=-+
C .x a b x a b a b -=-
D .2
(1)11
x x -=- 6. 若关于x 的分式方程
311x a x x
--=-有增根，则a =____________. 【例题解析】
例1 填空题： （1）若分式2242
x x x ---的值为零，则x 的值为________； （2）若a ，b 都是正数，且
1a －1b =222,ab a b a b +-则，则=______． 例2 选择题：
（1）已知两个分式：A=2411,422B x x x
=+-+-，其中x ≠±2，那么A 与B 的关系是（ ） A ．相等 B ．互为倒数 C ．互为相反数 D ．A 大于B （2）已知23,2343a
b
c
a b c
a b c +-==-+则的值为（ ）
A ．－57
B ．57
C ．97
D ．－97
例3 先化简再求值：2221412211
a a a a a a --÷+-+-，其中a 满足a 2－a=0．
例4 若分式24x
x +的值为正数，则x 的取值范围是( ) A. x >0 B. x >-4 C. x ≠0 D. x >-4且x ≠0
练习 （1）当x ________时，分式x
x 61212
-+的值为负数． 例5 如果把分式x x y
+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．不变 B ．变大3倍 C ．缩小3倍 D ．无法确定
练习 （1）把分式y
x x +2
中的x 和y 都扩大3倍，分式值____________． （2）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. ①y x y x 4131322
1+- ②b
a b a +-04.003.02.0 例6 计算（1）
3
131+--x x
练习：(1) a a --
+242 (2) x x x ----13132
例7 化简求值：若x =33，求233()22x x x x x -÷+--的值．
练习 化简求值3,3
2),()2(222222-==--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中．
【分式方程】
一、知识点.
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程．
2．解分式方程的基本思想方法
分式方程−−−→去分母换元
整式方程． 3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验
4．列分式方程解应用题的步骤和注意事项
列分式方程解应用题的一般步骤为：
①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；
②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；
③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；
④解方程并检验；
⑤写出答案．
注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．
例1 解方程：
2x x ++22x x +-=284x -．
例2 解下列分式方程
（1）
x x 311=-； （2）0.2100.10.3x x -=-； （3）11
4112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535
练习 解下列方程：
（1）
021211=-++-x x x x ； （2）0.4230.10.3x x x -=--；
例3 若关于x 的分式方程
3132--=-x m x 有增根，求m 的值.
练习 1. 若分式方程()
1516-+=-x x x x 有增根，则增根是（ ） A. x ＝1 B. x ＝1和x ＝0 C. x ＝0 D. 无法确定
2.若关于x 的方程
21x x x +--13x =33x k x +-有增根，求增根和k 的值．
3. m 为何值时，关于x 的方程
2
34222+=-+-x x mx x 会产生增根？
【课后练习】 1. ()a b
ab ab a 2332222=++ 2. 7m =3,7n =5,则72m-n =
3. 一组按规律排列的式子：()0,,,,4
11
38252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是 4. ()231201741
0-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-= 5. 方程04142=----x
x x 的解是 6. 若2
22
2,2b a b ab a b a ++-=则=
二、化简 1 ()d cd b a c
ab 234322222-∙-÷ 2 111122----÷-a a a a a a 3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x
三、 解下列各题
1. 已知
b
ab a b ab a b a ---+=-2232,311求 的值 2.若0<x<1,且x x x x 1,61-=+求 的值
四、先化简代数式()()n m n m mn n m n m n m n m -+÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+---+222222，然后在取一组m,n 的值代入求值
五、 解方程 1.
12332-=-x x 2. 1
412112-=-++x x x
六、某省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？（用分式方程）。