考点38+椭圆-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解椭圆的简单应用. （4）理解数形结合的思想.一、椭圆的定义平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.三、椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在x 轴上 焦点在y 轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆22221x y a b += (0)a b >>x a ≤ y b ≤ (,0)a ±，(0,)b ±(,0)c ±对称轴：x 轴，y 轴，对称中心：原点01e <<， c e a=22221y x a b+= (0)a b >> y a ≤ x b ≤ (0,)a ±，(,0)b ±(0,)c ±注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围. 四、必记结论1．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处．2．已知过焦点F 1的弦AB ，则2ABF △的周长为4A ．考向一 椭圆定义的应用1．椭圆定义的集合语言:1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.以椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(),P x y 0(0)y ≠和焦点F 1 (－c ，0)，F 2 (c ，0)为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，注意以下公式的灵活运用： （1）12||2PF PF a +=；（2）222121242||||cos ||||c PF PF PF PF θ⋅=+－；（3）12121·sin 2||||PF F S PF PF θ=△. 2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.典例1 已知F 1，F 2是椭圆22143x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上．（1）若点P 到焦点F 1的距离等于1，则点P 到焦点F 2的距离为________________； （2）过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为________________； （3）若12120PF F =︒∠，则点P 到焦点F 1的距离为________________． 【答案】（1）3；（2）8；（3）65．1．已知、是椭圆：22221(0)x ya ba b+=>>的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为A．1 B．2C．3 D．4考向二求椭圆的标准方程求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x ya ba b+=>>或22221(0)y xa ba b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且.典例2 椭圆以x 轴和y 轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的方程为A ．2214x y +=B ．221164y x +=C ．2214x y +=或221164y x +=D ．2214x y +=或2214y x +=【答案】C2．已知12,F F 为椭22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点,过点F 2作椭圆的弦AB ,若1AF B △的周长为16,椭圆的离心率3e =，则椭圆的方程为 A ．22143x y += B ．221163x y +=C ．2211612x y += D ．221164x y += 考向三 椭圆的几何性质及应用1．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了. 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式c e a=. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.典例3 已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m ，(m >0)，则此椭圆的离心率为 A ．13 B ．33C ．22D ．12【答案】B【解析】由题意，得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m3＝1，∴a 2＝m2，b 2＝m3，∴c 2＝a 2－b 2＝m6，∴e 2＝c 2a 2＝13，即e ＝33.故选B ．3．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，点()1,1A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________．1．若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 A ．2m < B ．02m << C ．24m << D ．2m >2．椭圆的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m =A ．14 B ．12C ．2D ．43．已知椭圆22110036x y +=上的一点到左焦点的距离为，点是线段1PF 的中点，为坐标原点，则A ．B ．C ．D ．4．已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的倍，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为A ．2214x y += B ．221416x y += C ．221164x y +=或2214y x += D ．2214x y +=或221416x y += 5．已知椭圆x 2+my 2=1的离心率e ∈(12,1),则实数m 的取值范围是 A ．(0,34) B ．(34,+∞)C ．(0,34)∪(43,+∞)D ．(34,1)∪(1,43)6．对于常数m ,n ,“mn >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为22,右顶点到直线x=2ac(c为椭圆的半焦距)的距离为2-2,则椭圆C的方程为A．22x+y2=1 B．24x+22y=1C．24x+y2=1 D．26x+24y=18．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，点,A B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得120APB∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为A．22B．32C．63D．349．已知的顶点、在椭圆2213xy+=上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是A．B．C．D．10．如图，椭圆22194x y+=的左、右焦点分别为12F F、，点P为其上的动点，当12F PF∠为钝角时，则点P的横坐标的取值范围是A ．3535,55⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ B ．3535 3,,355⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(2525,)55-D ．55,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭11．已知点是椭圆2214x y +=上一点，是椭圆的焦点，且满足，则12MF F △的面积为 A ．1 B ．C ．2D ．412．已知F 是椭圆C ：22195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，41,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PA PF +的最小值为 A ．103B ．113 C ．4D ．13313．已知,,m n m n +成等差数列，,,m n mn 成等比数列，则椭圆221x y m n+=的离心率为 A ．22B ．12 C ．23D 214．已知椭圆22134x y +=的两个焦点是1F ，2F ，M 是椭圆上一点，121MF MF -=，则12MF F △的形状是A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △23-，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为A ．[]1,2 B．C．⎤⎦D ．[]1,416．设椭圆22221(2)2x y b b +=>的焦点为12,F F, ,M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，若122MN F F ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为A ．2212x y += B ．222123x y += C．2212x += D．2212x += 17．已知椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，若椭圆上存在点P ，使12sin a PF F ∠21sin cPF F ∠=,则该椭圆离心率的取值范围为A ．-1)B ．(2,1) C ．D ．-1,1)18．椭圆22143x y +=的焦距等于__________． 19．已知椭圆的两焦点坐标分别是()20-， 、()20，，并且过点(，则该椭圆的标准方程是__________．20．已知F 1,F 2为椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,若2ABF △为正三角形,则椭圆的离心率为 .21．已知椭圆C 的方程为221168x y +=，1F 、2F 为椭圆上的两个焦点，点P 在C角形12F PF 的面积为_________．22．如图,A ,B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点,点P 在椭圆上, POB △是面积为4的等腰直角三角形,则b = .23．已知A (1,1)为椭圆2211612x y +=内一点，1F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一动点，则1PF PA +的最大值为____________.24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C于,A B 两点，若1AF B △的周长为43，则椭圆C 的方程为____________.25．设椭圆2214x y +=的两个焦点分别为12,,F F M 是椭圆上任一动点，则12·MF MF 的取值范围为 .26．求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);(2)对称轴为坐标轴,经过点P (-6,0)和Q (0,8).27．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e 3，求椭圆E 的方程．28．已知椭圆的两焦点分别为()10,1F -、()20,1F ，离心率为12. （1）求椭圆的标准方程；（2）设点P 在椭圆上，且121PF PF -=，求12cos F PF ∠的值.29．已知椭圆C 的方程为22191x y k k +=--. （1）求k 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率e =k 的值.1．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A 13B 5C ．23D ．592．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 3的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．143．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．134．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13 B ．12C ．23D ．345．（2018浙江）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．6．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．（注：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程：2a x c=±）1．【答案】C2．【答案】D【解析】由椭圆的定义得416a=，4a∴=，又椭圆的离心率34c cea===，即23c=22216124 b a c∴=-=-=，∴椭圆的方程为221164x y+=.故选D．3．【答案】11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式拓展1．【答案】B【解析】若方程2214x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则0404m m m m>->->⎧⎪⎨⎪⎩， 解得．故选2．【答案】A【解析】椭圆221x my +=的标准方程为：2211y x m+=， 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，12m =，解得14m =. 故选A. 3．【答案】C考点冲关4．【答案】D【解析】由于椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即有2a b =，又抛物线28y x =-的焦点()2,0-与椭圆C 的一个顶点重合，得椭圆经过点()2,0-，若焦点在x 轴上，则2a =，1b =，椭圆方程为2214x y +=； 若焦点在y 轴上，则2b =，4a =，椭圆方程为221164y x +=. ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=或221416x y +=．故选5．【答案】C【解析】椭圆x 2+my 2=1的标准方程为2211y x m+=. 又12<e <1,所以0<2234b a <. 当椭圆的焦点在x 轴上时,a 2=1,b 2=1m ,则m >43; 当椭圆的焦点在y 轴上时,a 2=1m ,b 2=1,则0<m <34.所以实数m 的取值范围是0<m <34或m >43.【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的,如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的,如顶点坐标、焦点坐标. 6．【答案】B【解析】由mn >0,得 或.由方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆,得00m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩.故“mn >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 7．【答案】 A8．【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒,即60AMO ∠≥︒, 因为tan a OMA b ∠=，所以tan603,ab≥︒= 即()2223,3a b a a c ≥≥-，则2222623,,33a c e e ≤≥≥,选C ． 9．【答案】C【解析】由椭圆2213x y +=知a =，长轴长2a =，设直线BC 过椭圆的右焦点F 2，根据椭圆的定义可知：|AB |+|BF 2|=2a =，|AC |+|F 2C |=2a =．∴三角形的周长为|AB |+|BF 2|+|AC |+|F 2C |=4a =．故选C.10．【答案】A则点P 的横坐标的取值范围是3535,.55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故选A ． 11．【答案】A【解析】因为,所以,所以2221212|2|||1||MF MF F F +==.由题意得12|||4|MF MF +=,即221212||2||||||16MF MF MF MF ++=,即12|1||22|16MF MF +=,解得12|2|||MF MF =.所以12MF F △的面积12|||1|12S MF MF ==.选A ． 12．【答案】D【解析】设椭圆:C 22195x y +=的右焦点为F '， 易知()()2,0,2,0F F '-， 由41,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，得53AF '=， 根据椭圆的定义可得26PF PF a ='+=， 所以51366633PA PF PA PF AF +=+-≥=-='-'. 13．【答案】A14．【答案】B【解析】由题意知124MF MF +=， 又121MF MF -=，联立后可解得1253,22MFMF ==， ∵1222432F F c ==-=，∴22232552242⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴212MF F F ⊥，∴12MF F △是直角三角形．故选B ． 15．【答案】D16．【答案】A 【解析】242MN cb ==-， 由122MN F F ≤得44c c≤，∴21c ≥，即1c ≥． ∴c 的最小值为1，即离心率最小时1c =，211b =-=，∴椭圆方程为2212x y +=，故选A ． 17．【答案】D【解析】根据正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F ∠∠=,又1221sin sin a cPF F PF F ∠∠=，可得21a c PF PF =, 即12PF cPF a==e ， 所以|PF 1|=e|PF 2|.又|PF 1|+|PF 2|=e|PF 2|+|PF 2|=|PF 2|·(e+1)=2a , 所以|PF 2|=21ae +. 因为a-c <|PF 2|<a+c , 所以21aa c a c e -<<++,所以2111c c a e a -<<++,所以2111e e e -<<++, 即()()2112,2(1),01,e e e e ⎧+-<⎪<+⎨⎪<<⎩解得211e -<<.故选D ．203【解析】方法一：e =121222F F c ca a F A F A==+. 因为2ABF △为等边三角形,所以|AF 1|∶|F 1F 2|∶|F 2A|=13∶2,21．83【解析】由221168x y +=可得2222216,8,8a b c a b ==∴=-=， 设1122,PF t PF t ==，由椭圆的定义可得128t t += ①，由余弦定理得2212122cos6032t t t t +-⋅=②，由①2-②可得12323t t =， 1213283sin60233PF F S ∴=⨯⨯=△，故答案为83.22．【答案】433【解析】已知POB △是等腰直角三角形,而|OB|=a ,过点P 作PH ⊥OB 于点H ,则PH =OH =12OB =12a , 所以其面积S =12|OB|×|PH|=12×a ×12a =14a 2.故由题意可得14a 2=4,解得a =4,故P (2,2).由点P 在椭圆上可得,2224+222b=1,解得b 2=163,所以b =164333=. 23．【答案】82+24．【答案】22132x y +=【解析】由已知得22233443c aa abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得3,2,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22132x y +=.25．【答案】[]2,1-【解析】由题意得()()123,0,3,0F F -.令(),M x y ,则()13,MF x y =--,()23,MF x y =---,所以12·MF MF =223x y +-=22134x x +--=2324x -, 而[]20,4x ∈,所以[]2322,14x -∈-.即12·MF MF 的取值范围为[]2,1-. 26．【解析】(1)因为椭圆的焦点在y 轴上,所以可设它的标准方程为+=1(a >b >0).方法一:由椭圆的定义知,22222(40)(322)(40)(322)12a +++-+-==-,27．【解析】设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ．由已知条件，得F （0，1），∴b =1，c a结合a 2=b 2+c 2，解得a =2，c =所以椭圆E 的方程为2214x y +=． 28．【解析】（1）结合题意可设椭圆的方程为22221y x a b+=(0)a b >>.由题设知1c =,12c a =， ∴2a =,2223b a c =-=.∴所求椭圆的方程为24y +23x =1.（2）由（1），结合椭圆的定义知1224PF PF a +==， 又121PF PF -=，∴152PF =，232PF =， ∵1222F F c ==，∴由余弦定理得222121212122594344cos 5325222PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⨯⨯.29．【解析】（1）∵方程22191x y k k +=--表示椭圆， ∴()()90101,55,991k k k k k ->->⇒⎧⎪⎨⎪∈⎩-≠-.（2）①当9﹣k ＞k ﹣1时，依题意可知a b∴c ， 10262.97k k k -∴=⇒=-②当9﹣k ＜k ﹣1时，依题意可知b =9k -，a =1k -， ∴c =102k -+，又67c e a ==， 10268.17k k k -+∴=⇒=-+综上，k 的值为2或8．【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等. 3．【答案】A直通高考【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即222ab d a a b==+，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率2633c e a ===，故选A ． 4．【答案】A【名师点睛】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值； （2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ca或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ． 5．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 6．【解析】（1）设椭圆的半焦距为C ．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+ ①，直线2l 的方程：001(1)x y x y -=-- ②． 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以20001(,)x Q x y --．。