dirichelt函数

dirichelt函数
Dirichlet函数是一种特殊的函数，也称为狄利克雷函数，记作
$\operatorname{D}(x)$，其定义如下：
$\operatorname{D}(x)=\begin{cases} 1&\text{如
果}x\in\mathbb{Q}\\ 0&\text{如果}x\notin\mathbb{Q}
\end{cases}$
换句话说，$\operatorname{D}(x)$在有理数处为$1$，在无理数处为$0$。

这是因为有理数具有可数性，可以表示为分数，而无理数不可以。

Dirichlet函数的性质较为特殊，许多其它函数都不能像它这样显著地
区分有理数和无理数。

根据定义可以得出，Dirichlet函数在所有点处都不存在极限，也就是说，它在任何点处都不连续。

但由于它只在有理数处为$1$，在无理数处为$0$，因此，对于任何$x_0\in\mathbb{R}$，都可以找到两个数
列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$，分别由有理数和无理数构成，使得它们的极限都等于$x_0$，但$\{\operatorname{D}(a_n)\}$的极限为$1$，而$\{\operatorname{D}(b_n)\}$的极限为$0$，因此，Dirichlet函数在任何点处都是不可积的。

Dirichlet函数的性质在数学上有着广泛的应用。

例如，它可以用来证
明出任何闭区间上都存在连续的非常数函数而不需要任何其它的条件，因为我们可以考虑将Dirichlet函数与连续函数进行加权平均，得到在该区间上的一个连续函数。

总之，Dirichlet函数是一个非常特别的函数，它在数学上有着许多有
趣的性质和应用，同时也是其他函数中少见的一种具有重要意义的函数。