高考数学(人教a版理)一轮复习配套讲义第1篇简单的逻辑联结词

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[考纲]
1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知识梳理
1．简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p q p∧q p∨q 綈p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
2.
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．
3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
(2)含有存在量词的命题叫特称命题．
4．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
辨析感悟
1．逻辑联结词的理解与应用
(1)命题p∧q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．( )
(2)命题p∨q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．( )
2．对命题的否定形式的理解
(3)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．( )
(4)命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，则⌝p：∃n∈N,2n≤1 000.( )
(5设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则⌝p：∃x∉A,2x∉B.( )
(6)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p：若x＋y≤0，则x，y中至多有一个大于0.( )
[感悟·提升]
1．一个区别逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“∉”的含义为“非”．
2．两个防范一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，⌝p指的是命题的否定，只需否定结论．如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6).
考点一含有逻辑联结词命题的真假判断
【例1】(1)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π
2；命题q：函数y＝cos x
的图象关于直线x＝π
2对称．则下列判断正确的是()．A．p为真B．⌝q为假
C．p∧q为假D．p∨q为真
(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()．
A．(⌝p)∨(⌝q) B．p∨(⌝q)
C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨q
规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出判断即可．
【训练1】若命题p：关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－b
a}，命题q：
关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题“p∧q”、“p ∨q”、“⌝p”、“⌝q”中，是真命题的有________．
考点二含有一个量词的命题否定
【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：∀x∈R，x2－x＋1
4≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.
规律方法对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．
【训练2】 (1)已知命题p ：∃x 0＞1，x 20－1＞0，那么綈p 是( )． A ．∀x ＞1，x 2－1＞0 B ．∀x ＞1，x 2－1≤0
C ．∃x 0＞1，x 20－1≤0
D ．∃x 0≤1，x 2
0－1≤0
(2)命题：“对任意k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定是________．
考点三 含有量词的命题的真假判断
【例3】 下列四个命题 p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0
12x ⎛⎫
⎪⎝⎭
＜0
13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
p 2：∃x 0∈(0,1)，12
log x 0＞13
log x 0； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
＞12log x ；
p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，12x
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
＜13
log x . 其中真命题是( )． A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4
规律方法 对于特称命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.
【训练3】下列命题中的真命题是()．
A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝3 2
B．∀x∈(0，＋∞)，e x>x＋1
C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x
D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x
1．逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“ p”，只是否定命题p 的结论．
命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．
营养餐
借助逻辑联结词求解参数范围问题
【典例】(12分)已知a＞0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a 的取值范围．
【自主体验】
命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
自助餐
基础巩固题组
一、选择题
1．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )．
A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈Q
B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉Q
C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q
D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q
2．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使02x ＜0.下列选项中为真命题的是( )． A ．⌝ p B ．q C ．⌝p ∨q D ．⌝q ∧p 3．下列命题中，真命题是( )．
A ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )是偶函数
B ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R )是奇函数
C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数
D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数 4．下列命题中的假命题是( )． A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．∀x ∈R ，x 3＞0
D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，tan x ＜sin x
5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是( )．
A ．q 1，q 3
B ．q 2，q 3
C ．q 1，q 4
D ．q 2，q 4 二、填空题
6．命题：“∀x ∈R ，e x ≤x ”的否定是________． 7．已知命题p ：x 2＋3x －3＞0；命题q ：1
3－x
＞1，若“⌝q 且p ”为真，则x 的取值范围是________．
8．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题
9．分别指出“p ∨q ”、“p ∧q ”、“⌝p ”的真假． (1)p ：梯形有一组对边平行；q ：梯形有两组对边相等．
(2)p ：1是方程x 2－4x ＋3＝0的解；q ：3是方程x 2－4x ＋3＝0的解． (3)p ：不等式x 2－2x ＋1＞0的解集为R ；q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.
10．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c
的取值范围．
能力提升题组
一、选择题
1．下列命题中是假命题的是()．
A．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β
B．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．∀a＞0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点2．已知命题p：“∃x0∈R，使得x20＋2ax0＋1＜0成立”为真命题，则实数a满足()．
A．[－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
二、填空题
3．给出如下四个命题：
①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤ 2b－1”；
③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x20＋1≤1”；
④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件．
其中不正确的命题的序号是________．
三、解答题
4．已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：方程4x2＋4(m －2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．
基础回扣练——集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．已知集合A＝{0,1}，则满足条件A∪B＝{2,0,1,3}的集合B共有()．A．1个B．2个C．3个D．4个
2．已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝()．
A．(－1,3) B．(0,4) C．(0,3) D．(－1,4)
3．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是()．
A．0 B．2 C．3 D．6
4．已知两个非空集合A＝{x|x(x－3)＜4}，B＝{x|x≤a}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()．
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．[0,2) D．(－∞，2)
5．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则下列论断正确的是()．A．x∈P是x∈Q的充分不必要条件
B．x∈P是x∈Q的必要不充分条件
C．x∈P是x∈Q的充分必要条件
D．x∈P是x∈Q的既不充分也不必要条件
6．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．下列命题错误的是()．
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．对命题p：任意x∈R，均有x2＋x＋1＜0，则 p为：存在x∈R，使得x2＋x ＋1≥0
C．“三个数a，b，c成等比数列”是“b＝ac”的充分不必要条件
D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件
8．下列命题为真命题的是()．
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x＜－1，则x2－2x－3≤0”
D．已知命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1＜0，则 p：∀x∈R，使得x2＋x－1＞0
9．已知p：x－1
x≤0，q：4
x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取
值范围是()．
A．(2＋2，＋∞) B．(－∞，2＋2]
C．[2，＋∞) D．[6，＋∞)
10．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1＜a2＜a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为()．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若∁I(M∩N)＝∁I N，则M∪N＝________.
12．已知集合A＝{0,2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．
13．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N ＝________.
14．已知命题p：“∃x0∈(0，＋∞)，x0＞1
x0”，命题p的否定为命题q，则q
是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．
15．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
16．下面有三个命题：
①关于x的方程mx2＋mx＋1＝0(m∈R)的解集恰有一个元素的充要条件是m＝0或m＝4；
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②∃m0∈R，使函数f(x)＝m0x2＋x是奇函数；
③命题“x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1”是真命题．
其中真命题的序号是________．
三、解答题
17．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．
(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．
18．已知命题p：关于x的不等式a x＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
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