数学人教B版选修4-4学案：课堂导学 2-4一些常见曲线的

课堂导学
三点剖析
1.定义的应用
【例1】已知一个圆的摆线过一定点（1，0）,请写出该摆线的参数方程.
分析:根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩
⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),可知只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.
解:令r(1-cosφ)=0,可得cosφ=1.
所以φ=2kπ(k ∈Z )代入可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.所以r=
π
k 21. 又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r>0.
所以应有k>0且k ∈Z ，即k ∈N *.
所以所求摆线的参数方程是 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(21),sin (21ϕπϕϕπk y k x (φ为参数)(其中k ∈N *). 点评:本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cosφ=1后，直接得出φ=0，从而导致答案不全面.
2.求距离、交点及参数方程
【例2】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是3π和2
π，求A 、B 两点的距离. 分析:首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离.
解:根据条件可知圆的半径是1，
所以对应的渐开线参数方程是
⎩
⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin ,sin cos y x (φ为参数)，分别把φ=3π和φ=2π代入， 可得A 、B 两点的坐标分别为A 633π+，6
33π-)、B(2π,1). 那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB|=(22)1633()2633(
--+-+πππ)2 =61
,633366)3613(2+---ππ
即点A 、B 之间的距离为
61
633366)3613(2+---ππ.
温馨提示
本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义与参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记.
各个击破
类题演练1
写出半径为2的基圆的渐开线方程.
解:半径为2的基圆的渐开线方程为
⎩
⎨⎧-=+=)cos (sin 2),sin (cos 2ϕϕϕϕϕϕy x (φ为参数). 变式提升1
求摆线⎩⎨⎧-=-=)
cos 1(2),sin (2t y t t x (0≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标. 解:y=2时，2=2（1-cost ）,∴cost=0.
∵0≤t≤2π,∴t=
2π或2
3π. ∴x 1=2(2π-sin 2
π)=π-2, x 2=2(23π-sin 23π)=3π+2. ∴交点的直角坐标为（π-2，2），（3π+2，2）.
温馨提示：求交点坐标时，要避免出现增根和缺根的情况。

类题演练2
已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.
解：令y=0,得r(1-cosφ)=0,
即得cosφ=1.
所以φ=2kπ(k ∈Z ).
代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2,即得r=
πk 1(k ∈Z ). 又由实际可知r ＞0,
所以r=πk 1(k ∈N *).易知,当k=1时,r 最大,最大值为π
1. 代入即可得圆的摆线的参数方程是
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(1),sin (1ϕπϕϕπy x (φ为参数),
圆的渐开线的参数方程是
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 1),sin (cos 1ϕϕϕπϕϕϕπy x (φ为参数). 变式提升2
如下图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是
(
)
A.3π
B.4π
C.5π
D.6π
解析：如题图,根据渐开线的定义可知,
是半径为1的41圆周长,长度为2π,
继续旋转可得是半径为2的
41圆周长,长度为π；是半径为3的41圆周长,长度为23π;是半径为4的4
1圆周长,长度为2π.所以,曲线的长是5π. 答案：C。