高一数学北师大版必修4课件3.2.1-3.2.2 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数

§2
两角和与差的三角函数
2.1 两角差的余弦函数 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
课程目标 1.熟悉用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式的过程,进一步体会向量方法的应 用. 2.能用两角差的余弦公式导出两角和的余 弦公式及两角和与差的正弦公式,并记住 这些公式. 3.会利用这些公式解决有关求值、化简问 题.通过运用公式,要求准确把握公式的结 构及其功能,初步学会三角恒等变形的有 关技巧.
思考 2 根据公式 Cα±β 的识记规律,你能总结出公式 Sα±β 的记
忆规律吗? 提示:对比公式 Cα±β 的识记规律“余余正正,和差相反”,可得公式 Sα±β 的 记忆规律 :“正余余正,和差相同”.
探究一
ห้องสมุดไป่ตู้探究二
探究三
探究四
探究一 给角求值问题
1.对于两角和与差的正弦、余弦公式,不仅要会正用,还要学会逆用、 变 形用. 2.对于给角求值问题,一般所给出的角都是非特殊角,从表面看是很难 的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系.解题时,要利用观察得到 的关系,结合三角公式转化为特殊角,并且消除非特殊角的三角函数而得解. 解题时,一定要注意公式的结构特征,灵活地变换角或名称.
学习脉络
1.两角和与差的余弦公式 (1)Cα+β:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; (2)Cα-β:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
思考 1 如何正确认识公式中的角?
提示:(1)对于公式中出现的角,不仅局限于具体的角,也可以是一些角 所构成的“小团体”,比如 cos
2 2 2 2
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)方法一 :sin 43° cos 13 ° -sin 13° sin 47° =sin 43° cos 13° -sin 13° cos 43 ° =sin(43° -13° )=sin 30° = . 方法二 :sin 43° cos 13 ° -sin 13° sin 47° =cos 47° cos 13° -sin 13° sin 47° =cos(47° +13 ° )=cos
3 2 3 2
1 2
探究一
探究二
探究三
探究四
规律总结解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化,充
分凑角转化为两角和与差的正弦、余弦公式,同时活用、逆用公式,大角要 利用诱导公式化为小角.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二 给值求值问题
1.利用两角差(和)的余( 正)弦公式求值时,不能机械地从表面去套公式, 而要变通地从本质上使用公式,即把所求的角分解成某两个角的差( 和),并 且这两个角的正弦、余弦函数值是已知的或可求的,再代入公式即可求解. 2.在将所求角分解成某两角的差时,应注意如下变换 : α=(α+β)-β,β=(α+β)-α,α=β-(β-α),β=α-(α-β); α=(2α-β)-(α-β),β=(2β-α)-(β-α), α= [(α+β)+(α-β)],β= [(α+β)-(α-β)]等.
1 60° = . 2 1 2
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)原式=cos(α-35° -25° -α)=cos(-60° )=cos 60° = . (3)方法一 :原式=cos 45 ° cos 15° +sin 45 ° sin 15° =cos(45° -15° )=cos 30 ° = . 方法二 :原式=sin 45° cos 15° +cos 45 ° sin 15° =sin(45° +15° )=sin 60° = .
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 求值 : (1)sin 43° cos 13° -sin 13° sin 47° ; (2)cos(α-35° )cos(25° +α)+sin(α-35° )sin(25° +α); (3) cos 15° + sin 15° . 思路分析:(1)式子中出现了 3 个角,但注意到 43° 与 47 ° 可以用诱导公式 转换,从而可以选择公式求值.(2)式子中出现的角是“整体”的形式,要把 “α-35° ”看作角“α”,把“25° +α”看作角“β”,再逆用两角差的余弦公式.(3)先把 特殊值化成角的三角函数,再逆用公式化简求值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:∵ α 为锐角,且 sin
4 3 α= ,∴ cos 7 11 14
α=
1-������������������2 α
=
1-
4 3 7
2
= .
1 7
又∵ α,β 为锐角,cos(α+β)=- ,
������ ∴ <α+β<π,sin(α+β)= 2
1-������������������ 2 (α
1 2 1 2
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 已知 α,β 为锐角,且 sin α= 值.
4 3 11 ,cos(α+β)=- ,求 7 14
cos β 的
思路分析:若将 cos(α+β)展开,再利用平方关系求 cos β,运算量大,而利 用角的变换 β=(α+β)-α,两边取余弦即可.
+ β) =
1-
11 2 14
=
5 3 . 14
∴ cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α = 11 14
× +
1 7
5 3 4 3 × 14 7
= .
1 2
探究一
探究二
探究三
探究四
规律总结(1)求解本题的关键是利用角的代换将所求的角
的三角函数值转化为可求的角的三角函数值. (2)常见的角的变换有 :α=(α+β)-β=β-(β-α);
������ ������ ������ +α= − -α 4 2 4
θ+φ θ-φ 2 2
中的 “
θ +φ ”相当于角 2
α,“
θ-φ ”相当于 2
角 β,可用两角差的余弦公式展开. (2)公式中的左右两边出现的角( 小团体)始终是两个,当出现多个角时, 要善于观察这些角之间的关系,善于运用诱导公式进行转换,使之符合公式 所具备的结构特征,便于进行化简和求值.
2.两角和与差的正弦公式 (1)Sα+β:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β; (2)Sα-β:sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.