高中数学 2.5 向量的应用第一课时互动课堂学案 苏教版必修4

高中数学 2.5 向量的应用第一课时互动课堂学案 苏教版必修4 疏导引导
1.向量在平面几何中的应用
向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题. 案例1 求证平行四边形对角线互相平分，
【探究】如图所示，已知
ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AM =x AC ，BM =y BD ，
则 AM =x AC =x +x ，
AM =AB +BM =AB +y BD =+y （-）
=（1-y ）+y .
于是我们得到关于基底{、}的AM 的两个分解式，因为分解式是唯一的，所以⎩
⎨⎧=-=.,1y x y x 解得x=21，y=2
1，故M 是AC 、BD 的中点，即对角线AC 、BD 在交点互相平分. 通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为：
①建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算，解决几何元素之间的关系.
③把运算结果翻译成几何关系.
规律总结 （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的定义.
(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件.
(3)证明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件a ⊥b ⇔a ·b =0.
(4)求与夹角相关的问题,常用向量的夹角公式cosθ=
|
|||b a b a ••. 2.向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x,y ）既可表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决.
案例2 求通过点A （-1，2），且平行于向量a =（3，2）的直线方程.
【探究】过点A 且平行于向量a 的直线是唯一确定的，把这条直线记为l ，在l 上任取一点P （x,y ），则AP ∥a .
如果P 不与A 重合,由向量平行,它们的坐标满足条件
2
23)1(-=--y x . 整理得方程2x-3y+8=0.
反过来,所有以此方程的解(x,y)为坐标的点也一定在直线l 上,所以这个方程,就是所求的直线方程.
规律总结 设直线的倾角为α,斜率为k,向量a =(a 1,a 2)平行于l,则有
k=tanα=1
2a a . 活学巧用
【例1】 如图，若D 是△ABC 内一点，且有AB 2-AC 2=DB 2-DC 2.
求证:AD ⊥BC.
解析:欲证AD ⊥BC,只须证明AD⊥BC 即可.
设=a ,AC =b .
AD =e ,DB =c .
=d,则a =e +c ，b =e +d.
∴a 2-b 2=(e +c )2-(e +d)2
=c 2+2e ·c -2e ·d -d 2.
由已知a 2-b 2=c 2-d 2,
∴c 2+2ec -2e d-d 2=c 2-d 2.
故有e ·(d -c )=0,
∴⊥,即AD ⊥BC.
【例2】 已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角的余弦值.
解析:本题给出了直角三角形的两直角边长,用坐标法,写出相应点的坐标,再用向量夹角公式求解.
以直角边所在直线为x 轴,y 轴建立如图直角坐标系,则A （4，0），B （0，6），设AF ，BE 分
别为OB 、OA 边上的中线，则E （2，0），
F （0，3）
.
因=（-4，3），=（2，-6）.
所以cos 〈·〉50
1013||||-=•BE AF . 所以两中线所成钝角的余弦值为50
1013-. 【例3】 平面内三点A 、B 、C 在一条直线上，=（-2，m ），=（n ，1），=（5，-1）.且⊥，求实数m,n 的值.
解析：因为A 、B 、C 三点共线. 所以=λ. 因为=-=（7，-1-m ）, AB=-=（n+2，1-m ）,
所以（7,-1-m ）=λ(n+2,1-m).
)
2()1().1(1),2(7⎩⎨⎧-=++=m m n λλ 所以m·n -5m+n+9=0. 由OA ·OB =0得m-2n=0， ②
由①②得⎩⎨⎧==.3,6n m 或⎪⎩
⎪⎨⎧==.23,3n m
【例4】 已知直线l ：Ax+By+c=0,n =（A·B）
求证：n⊥l.
证明：设（x 0,y 0）为l 的方程的一个解，则
Ax 0+By 0+C=0（*）.
对l 的方程和（*）式两边作差，整理得
A （x-x 0）+
B （y-y 0）=0.
由向量垂直的条件，得向量n=（A ，B ）与向量（x-x 0,y-y 0）垂直，由于动点（x,y ）的集合
就是直线l ，所以n⊥l.
【例5】如图所示，是并列的三个大小相同的正方形，求证：∠1+∠2+∠3=90°.
解：以O 为坐标原点，OC 、OG 所在的直线为x,y 轴建立坐标系如图，设正方形边长为1，则=（3，1），=（2，1），作向量OH =（3，-1）， 则OE 与OH 的夹角等于∠2+∠3. ∵||=5，|OH |=10.
·OH =2×3+1×（-1）=5. ∴cos〈·OH 〉22
=. ∵〈·OH 〉∈［0°,180°］， ∴〈·OH 〉=45°,即∠2+∠3=45°.
∵∠1=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°.。