多项式插值的存在唯一性

证明存在常数Ak( k =0，1，…，n)使得
P( x) n Ak
n1( x) k0 x xk
Ex4. 设 x0 < x1 < x2，从函数表
x
x0
x1
x2
f(x)
y0
y1
y2
出发, 利用 f(x) 的二次拉格朗日插值多项式 L2(x) 推导出求f(x)的极值点 x* 的近似值计算公式.
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P(x)=a0 + a1x +……+ anxn 存在而且惟一。
Laglarge插值公式
n
Ln ( x) lk ( x) yk l0 ( x)y0 l1( x)y1 ln ( x)yn
k0
插值基
lk ( x)
n j0
x xj xk x j
n1( x)
( x xk )n1( xk )
jk
x ab bat 22
(2) 对于 t∈[-1, 1]上的二次正交多项式
p2 (t )
1 2
(3t 2
1)
将其转换为x∈[a, b] 上的二次正交多项式
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Ex9. 一个量 x 被测量了 n次,其结果是a1, a2,···, an.用
最小二乘法解超定方程组
x = aj ( j =1,2,···,n) x 的值为多少？ Ex10.给定五个观测值 yj ( j=k–2，k–1，k，k+1，k+2 )
(2) 取 f(x) = xk f(n+1)(x)=0 Rn(x) =0
n
n
所以 f ( x) l j ( x) f ( x j ) Rn ( x) l j ( x) f ( x j )
j0
j0
将 f(x) = xk (k ≤n) 代入, 得
n
x
k j
l
j
(
x
)
xk
(k =0,1,2,······,n)
构造五点二次拟合函数（抛物线方程） P(t) = a0 + a1t + a2t2
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n
(2)
x
k j
l
j
(
x
)
xk
j0
n
证: (1)令 Pn ( x) l j ( x) 1
j0
( k = 1,···,n )
在插值结点处 Pn(xj) = 0 ( j = 0,1,2,···,n )
n 次多项式 Pn(x)有 n+1 个相异零点Pn(x) = 0
n
lj(x) 1 j0
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线性插值误差:
R1( x)
f ( x) L1( x)
f ( ) ( x a)(x b)
2
二次插值误差:
f (3) ( )
R2 ( x) f ( x) L2 ( x) 6 ( x x0 )( x x1 )( x x2 )
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均差的定义
已知 x0, x1, ···, xn 处的值 f(x0), f(x1), ···, f(xn).
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三次样条一阶导数值: S’(xj)=mj (j = 0, 1,···, n)
3 m j1 4m j m j1 h [ y j1 y j1 ] ( j=1,2,······,n-1 )
自然边界条件
2m0
m1
3[ h
y1
y0
]
3 mn1 2mn h [ yn yn1 ]
三次样条二阶导数值: S”(xj)=Mj (j = 0, 1,···, n)
( k = 0, 1, 2, ······, n )
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插值误差余项 Rn ( x)
f ( x) Ln ( x)
f (n1) (n
( n
1)!
)
n
1
(
x
)
其中, n1( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) 思考:构造线性插值函数计算115的平方根近似值，估
计近似值的误差并指出有效数位数。
f [x j , x j1]
f ( x j1) f ( x j ) x j1 x j
( j = 0,1,…,n-1 )
f [x j , x j1, x j2 ]
f [x j1, x j2 ] f [x j , x j1]
xj2 xj
( j = 0,1,…,n-2 )
思考:证明一阶差商的对称性：f[x0，x1] = f[x1，x0]， 进一步证明二阶差商的对称性。
x1,······, xn
]
n
=
j0
f (xj)
n1( x j
)
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Ex7. 2 次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件： f(x0)=y0，f’ (x1)=m1，f( x2)=y2，插值结点应满足什么 条件能使插值问题有唯一解。
解: 设 H(x) = a0 + a1x + a2x2 , H’(x) = a1 + 2a2x
1 0
x0 1
x02 2 x1
a0 a1
y0 m1
1 x2 x22 a2 y2
x1
x0 x2 2
思考: 构造带导数条件的二次插值多项式公式 f(0)=y0，f(1)=y1，f’(0)=m0；
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Ex8.如果 x∈[a, b] , t∈[-1, 1], (1)证明联系两个区间的映射为
《数值分析》习题课 III
➢多项式插值的存在唯一性 ➢拉格朗日插值,牛顿插值 ➢埃米特插值与三次样条 ➢数据拟合的线性模型 ➢两种典型的正交多项式
多项式插值的存在唯一性定理
若插值结点 x0, x1,…,xn 是(n+1)个互异点,则满足 插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,···,n)的n次插值多项式k 1k 1k 1n1
Sn k 2 k 1
g(n) n(n 1)(2n 1) 6
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Ex6. 记 n+1(x) =(x – x0)(x – x1)······(x – xn)
证明: F[ x0, x1,······, xn ]
=
n f (xj)
j0 n 1( x j )
Ln( x) l0( x) f ( x0 ) l1( x) f ( x1 ) ln( x) f ( xn )
x0 x0
)2
0
(
x)
(
x
x0
)(
x1 x x1 x0
)2
1(
x)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
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三次样条的定义
给定[a , b ]的分划: a = x0 < x1 < … < xn = b. 已知f(xj) = yj (j = 0,1,···,n), 如果
S1( x), x [ x0 , x1]
(2)令 g(n)=n(n+1)(2n+1)/6
则 gn g(n) g(n 1) n2
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同理 显然
gk g(k ) g(k 1) k 2 ( k = 1,2,···,n ) g1 g(1) g(0) g(1)
n
n
n
Sn k 2 g(k) [g(k) g(k 1)] g(n)
m
f ( x) an pn ( x) n0
其中
an
( pn , f ) ( pn , pn )
2n 1 2
1
1 pn ( x) f ( x)dx
Ex1.设x0，x1，……，xn 是互异的插值结点，l0(x) 为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明
l0 ( x)
1
x x0 x0 x1
(x ( x0
l
j ( x)
(x
n1( x) x j )n1( x j
)
( j = 1,2, ···, n )
Nn( x) f ( x0 )0( x) f [x0 , x1]1( x) f [x0 , x1,, xn ]n( x)
对比Lagrange插值和Newton插值中 xn 的系数, 得
F[
x0,
0 ( x1 )
超定方程组
0
(
x2
)
0( xm ) a y
1( x1 ) 1( x2 )
1( xm )
n ( x1 ) a0 y1
n
(
x2
)
a1
y2
T
n( xm a
)Tayn
ym
超定方程组最小二乘解:
a
(T
)1
(T
y)
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对连续函数 f(x) 的正交多项式平方逼近
Ex5.设有数列: x1, x2 , ···, xn , ······
n
(1).证明平方和数列 Sn k 2 为3阶等差数列
k 1
(2).证明
1 Sn 6 n(n 1)(2n 1)
证明: (1) Sn = n2 , 2Sn = n2－(n-1)2 =2n-1
3Sn = (2n-1)-(2n-3)=2 故平方和数列为 3 阶等差数列.
M j1
4M
j
M
j 1
6
y j1
2yj h2
y j1
自然边界条件: M0 = 0 , Mn = 0
j = 1,···, n–1
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数据拟合的线性模型
离散数据
x
x1
x2 ·········· xm
f(x) y1 拟合函数: (x)y=2a0 0·(·x··)·+··a··1·1(yxm) + ······+an n(x)
x0 )( x x1 ) x1 )( x0 x2 )
( x x0 )( x xn1 ) ( x0 x1 )( x0 xn )
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Ex2. 设 x0, x1, x2, …, xn 为 互 异 的 结 点 , 求 证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式
n
(1) l j ( x) 1 j0
牛顿插值公式 Nn ( x) f ( x0 )0( x) f [ x0 , x1]1( x) f [ x0 ,, xn ]n ( x)
0( x) 1 k ( x) ( x xk )k1( x) ( k=1,2,···,n )
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牛顿插值余项 Rn f [ x, x0 , x1 ,, xn ]n1( x)
S(x)
S2( x), x [ x1, x2 ]
Sn ( x), x [ xn1,xn ]
满足: (1) S(x)在 [xj，xj+ 1]上为三次多项式; (2) S”(x)在区间[a，b]上连续;
(3) S(xj) = yj ( j = 0,1,···,n). 则称S(x)为三次样条插值函数.
三次Hermite插值
H ( x j ) y j H ( x j ) m j
( j = 0, 1 )
H ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
0(
x)
(1
2
x x1
x0 x0
)(
x1 x x1 x0
)2
1(
x)
(1
2
x1 x1
x x0
)(
x x1
j0
思考题: f(x)是(n+1)次多项式且最高次项系数为1， 取互异的插值结点x0，x1，……，xn，构造插值多 项式Pn(x)，证明：
f(x) = Pn(x) + (x – x0) (x – x1)……(x – xn)
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Ex3. 设 P(x) 是不超过 n 次的多项式,而
n+1(x) =(x – x0)(x – x1)······(x – xn)