简单二人零和博弈的一种图解法

简单二人零和博弈的一种图解法
马赞甫;刘妍珺
【摘要】利用等分量线及支付凸多边形这两个基本概念，以图解方式确定简单二人零和博弈（2×n或m×2）的纳什均衡．这一方法与通常的图解法是互补的，可率先确定持有多个纯策略的局中人的均衡策略．%By the introduction of iso-component line and convex polygon, a graphic method was presented to solve sim- ple zero-sum two-person games. This approach, which is complementary to the general graphic method, can determine the Nash equilibrium strategy of the player who holds more pure strategies.
【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(025)003
【总页数】5页(P249-253)
【关键词】二人零和博弈;图解;凸组合;等分量线
【作者】马赞甫;刘妍珺
【作者单位】贵州财经大学经济研究所,贵州贵阳550004;贵州财经大学数学与统计学院,贵州贵阳550004
【正文语种】中文
【中图分类】F224.32
二人零和博弈是现实生活中常见的博弈形式，也是博弈论发展早期数学家特别感兴趣的一类博弈模型.事实上，与有限零和博弈相联系的最小最大值原理[1]在博弈论
中占有极为重要的地位.
对于有限二人零和博弈混合战略纳什均衡的确定，一般是借助最小最大值原理，将之转换为一个线性规划问题，然后利用单纯形方法确定最优策略.而对于某局中人
只有两个纯战略的简单的二人零和博弈，习惯上采用基于最小最大值原理的一般图解法.一般图解法简单直观，对于确定一个参与人的均衡战略极为便利，早期的博
弈论著作都对这一方法有所提及[2-3].
一般图解法只能确定一个局中人的最优策略，确切地说，只能确定纯战略个数为2的局中人的最优策略，在此基础上再以代数方法确定另一参与人的均衡策略.我们
提出另外一种基于凸组合的互补方法，可率先确定纯战略个数大于2的局中人的
最优策略.另外，这一方法也可直接确定博弈的值.
考虑一个二人有限零和博弈模型.假设局中人1的纯策略有m个，局中人2的纯策略有n个，分别记局中人1、2的混合策略为
其中x1,…,xm,y1,…,yn≥0，分别满足.当局中人1选择第i个纯战略而局中人2选
择第j个纯战略时，局中人1的支付为aij，局中人2的支付为（-aij），i=1，…，m，j=1，…，n.该博弈可由如下支付矩阵A给出：
称一个策略组合（X*，Y*）为纳什均衡（Nash Equilibrium，N.E.），当且仅当
X*∈argmXax{XTAY*}与Y*∈argmYax{X*TAY} 同时成立，此时称v*=X*TAY*为博弈的值.
对于由A所给出的二人零和博弈，当m与n皆大于2的时候，确定均衡比较棘手，但对于两者最小值为2的情形，有简单的处理方法，即利用图解法确定最优策略.
一般的对策论著作中都会介绍2×n或m×2型零和博弈的图解法，基本思路是利
用最小最大值原理，描绘最小（或最大）值曲线，然后再求最小(或最大)值曲线的最高（或最低）点.我们称这种方法为一般图解法.
一般图解法能直接确定双战略拥有者的最优战略，但两个以上纯战略持有者的均衡
战略是以间接方式给出的.我们提出另外一种互补方法，能直接确定多战略持有者
的均衡战略，该方法的理论基础是最大等收益法则.
一般而言，若（X*，Y*）是纯战略均衡，则可根据最小最大值原理直接予以确定，若纳什均衡（X*，Y*）不是纯战略均衡，则需满足最大等收益法则.所谓最大等收
益法则，即：如果
存在两个非零分量＞0与＞0，则当局中人2选择Y*时，局中人1的第i1、i2个
纯战略所对应的期望支付必须都等于v*，且均不小于其它任意纯战略所带来的期
望支付；类似地，若
存在非零分量＞0与＞0，则当局中人1选择X*时，局中人2的第j1、j2个纯战
略也对应等量的最大的期望支付（-v*）.
利用最大等收益法则，可考虑一种凸组合图解方法：在支付凸组合的基础上，利用等分量线确定博弈的解与值.
考虑一个由2×n阶支付矩阵所定义的简单零和博弈.设该博弈的纳什均衡为（X*，Y*），所对应的博弈值为v*=X*TAY*.由于AY*是矩阵n个列向量的凸组合：
因此，当均衡战略X*=(x*,1-x*) 满足0＜x*＜1时，必有
则v*与向量AY*的任一分量值相等.这表明，均衡状态对应凸组合图形中的一个向量，该向量的两个分量必须相等.
视支付矩阵A的每一列为二维坐标平面上的一个点，对这n个点做凸组合，得到
一个凸多边形，另，定义等分量线v1=v2，则等分量线与凸多边形的位置关系无
外乎相离与相交两种情况.
1）凸多边形位于等分量线同侧.如图1所示.在这种情况下，参与人1存在一个（弱）占优策略，博弈有一个重复剔除占优均衡.
2）等分量线与凸多边形相交，在这种情况下存在混合战略均衡，且坐标最小的一个交点给出博弈值及均衡策略.不妨考虑一个2×3的零和博弈，其一般形式如表1
所示：
姑且设博弈的均衡为，若y∈(0 ,1) ，则对于局中人1的混合战略（x，1-x）T，局中人2选择纯战略L与C将带来等量期望支付：
可解得
另一方面，由于局中人2在均衡状态下以零概率选择纯战略R，因此有
就几何位置而言，若支付点(a13,a23)T位于点(a11,a21)T及点(a12,a22)T所连直线
的上方①该线段必须是下降的，否则其上侧端点必对应于参与人2的劣战略，不可能出现于其混合战略之中.因此，其它支付点当位于该线段所在直线上方.为防止出现意外情况，画图前最好先剔除劣战略.，则必有
可证明，式（4）是式（3）的充分条件，事实上，由于概率，从而
则局中人2选择纯战略R对应的负支付满足
或者说，给定局中人1的均衡战略(x,1-x)T，相较纯战略R而言，局中人2选择纯战略L或C将带来更高的期望收益.如图2所示，三角形的顶点L、C、R分别由支付矩阵的列向量1、2、3所确定，由于R点位于直线LC的上侧，这一几何位置关系使得均衡状态下的局中人2必须以零概率选择纯战略R.
进一步可证明，根据直线LC与等分量线交点N.E.的几何位置可确定博弈值及均衡战略组合.显然，N.E.点可表示为三角形顶点L、C、R的一个凸组合，或者说，N.E.点坐标(e11,e21)T满足如下条件：
由此可定义参与人2的一个混合战略（y，1-y，0）T，再根据式（2）定义参与人1的混合战略(x,1-x)T，则是一个混合战略纳什均衡，且博弈值为e11=e21.
这是因为，给定式（2）所定义的(x,1-x)T，参与人2选择纯战略L与C将带来无差异的期望支付，由式（4），参与人2在均衡状态下选择纯战略R不如选择纯战略L或C，因此(y,1-y,0)T是一个最优战略.反之，当参与人2选择由（4）式所定
义的混合战略(y,1-y,0)T时，参与人1选择任意战略皆带来相同的期望支付，则(x,1-x)T也是一个最优战略.对应于均衡的博弈值e11=e21，由N.E.点坐标给出，这是显然的.
无疑，均衡未必单一，甚至存在无穷多均衡的情况.比如，当支付列向量存在至少
三点共线时，可能出现无穷多均衡.如图3所示，支付点L、C、R共线，等分量线与直线LCR的交点N.E.存在无穷多的凸组合形式，此时有无穷多均衡.
以上考虑的是2×n型零和博弈的图解法，相仿佛的，对于m×2型零和博弈，可
先确定参与人1的均衡战略.方法是视支付矩阵A的每一行为二维坐标平面上的一
个点，对其进行凸组合得到一个凸多边形，考虑等分量线与该凸多边形坐标最大的一个交点，该交点确定了博弈的均衡.
考虑一个2×n型的零和博弈.设参与人1有两个纯战略：U、D，参与人2有三个
纯战略：L、C、R；给定纯战略组合，参与人1的支付见表2.
根据前方论述，先考虑参与人2的战略选择问题.将点对描于坐标平面上，并绘出
其凸组合多边形（见图4），其中直线CR方程为该直线与直线v2=v1的交点是，因此博弈的值为.另外，可表示为三角形三个顶点的凸组合：
可知参与人2的最优混合策略是.在此基础上，可确定局中人1的最优策略.对于参与人1的均衡策略(x,1-x)T，参与人2选择纯战略C与R应该能带来相同的期望
支付，即解得，则参与人1的均衡策略为，从而得到该博弈的一个混合战略均衡
对应的博弈的值为.
如果要利用一般图解法，必须首先确定局中人1的均衡策略.如图5所示，对于局
中人1的任意混合战略(x,1-x)T，当局中人2选择纯战略R时，局中人1的期望收益由直线AB的纵坐标给出，类似地，当局中人2选择纯战略L、C时，局中人1
的期望收益曲线分别是CD、BC.根据最小最大值原理，局中人1的最优战略是在
最小值折线ABCD上选择最大值点，即B点，由两个相似三角形的相似比容易得
出其最优战略是
再考虑一个m×2型的零和博弈.设参与人1有三个纯战略：U、M、D，参与人2有两个纯战略：L、R；给定纯战略组合，参与人1的支付如表3所示.
本例中需要先确定局中人1的均衡策略，如前所述，均衡由等分量线与凸多边形坐标最大的交点所决定.在图6中，UM所在直线方程为17，与等分量线的交点为N.E.，博弈均衡由N.E.点给出，由于
因此，局中人1的均衡策略是.另外，不难求得局中人2的均衡策略为，于是得到博弈的混合战略纳什均衡，值为
总之，与一般图解法一样，凸组合方法可以确定简单零和博弈的纳什均衡及均衡的值，不同点在于凸组合方法首先确定的是多个纯策略拥有者的混合策略，而一般图解法确定的是仅拥有2个纯策略的局中人的混合策略.因此，凸组合方法可说是一般图解法的互补方法.
【相关文献】
[1]John von Neumann.Zur Theorie der Gesellschaftsspiele[J].Mathematische
Annalen,1928(100):295-300.
[2]J·麦克金赛.博弈论导引[M].北京:人民教育出版社,1960.
[3]王建华.对策论[M].北京:清华大学出版社,1986.。