浙江省宁波市2018-2019学年八年级上学期数学第一次月考试卷(解析版)

浙江省宁波市2018-2019学年八年级上学期数学第一次月考试卷
一、选择题
1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 4cm，5cm，9cm
B. 5cm，5cm，10cm
C. 8cm，8cm，15cm
D. 6cm，7cm，14cm
【答案】C
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、4+5=9，这三条线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、5+5=10，这三条线段不能组成三角形，故B不符合题意；
C、8+8＞15，这三条线段能组成三角形，故C符合题意；
D、6+7＜14，这三条线段不能组成三角形，故D不符合题意；
【分析】利用三角形的三边关系定理，对各选项逐一判断。

若较小的两条线段大于第三条线段就能组成三角形。

2.下列图案属于轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】A、能找出一条对称轴，故A符合题意；
B、不能找出对称轴，故B不符合题意；
C、不能找出对称轴，故C符合题意；
D、不能找出对称轴，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义进行判别即可.
3.在△ABC 中，∠A= ∠B= ∠ C，则此三角形是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
【答案】B
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A= ∠B= ∠ C
∴∠C=3∠A，∠B=2∠A
∵∠A+ ∠B+∠ C=180°
∴∠A+ 2∠A+3∠A=180°
解之：∠A=30°
∴∠C=3×30°=90°
故答案为B
【分析】由已知可推出∠C=3∠A，∠B=2∠A，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数，从而可求出∠C 的度数，就可判断此三角形的形状。

4.下列语句不是命题的是( )
A. 两直线平行，同位角相等
B. 若|a|=|b|，则a=b
C. 作直线AB 垂直于直线CD
D. 同角的补角相等
【答案】C
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等是命题，故A不符合题；
B、若|a|=|b|，则a=b是命题，故B不符合题意；
C、作直线AB 垂直于直线CD，不是命题，故C符合题意；
D、同角的补角相等是命题，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】命题是判断一件事情的语句，据此对各选项逐一判断，可得出答案。

5.如图一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40 海里到达B 地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40 海里到达C 地，则A、C 两地相距( )
A. 30 海里
B. 40 海里
C. 50 海里
D. 60 海里
【答案】B
【考点】钟面角、方位角，等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵A在B的南偏西40°方向上，C在B的北偏西20°
∴∠ABC=40°+20°=60°
∵AB=BC=40
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=40
故答案为：B
【分析】利用方位角的定义，可证明△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质，可得出答案。

6.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是( )
A. 垂线段最短
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 三角形的稳定性
【答案】D
【考点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵一扇窗户打开后，用窗钩AB 可将其固定
∴图形是△AOB，利用三角形的稳定性
故答案为：D
【分析】观察图形结合已知，可知识利用了三角形的稳定性。

7.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）
A. 72°
B. 60°
C. 50°
D. 58°
【答案】D
【考点】全等三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2=180°﹣50°﹣72°=58°．
∵图中的两个三角形全等，
∴∠1=∠2=58°．
故选：D．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠2=58°；然后由全等三角形是性质得到∠1=∠2=58°．
8.对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是( )
A. a=3，b=2
B. a=﹣1，b=3
C. a=﹣3，b=2
D. a=3，b=﹣1
【答案】C
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解:A、a2=9，b2=4，a2>b2，则a>b，故A不符合题意；
B、a2=1，b2=9，a2＜b2，则a＜b，故B不符合题意；
C、a2=9，b2=4，a2＞b2，则a＜b，故C符合题意；
D、a2=9，b2=1，a2＞b2，则a＞b，故D不符合题意；
【分析】将各选项的a、b的值分别代入计算，就可得出答案。

9.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB 的边OA，OB 上分别取OM=ON，然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与M，N 重合，得到∠AOB 的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
【答案】A
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：在△PNO和△PMO中
∴△PNO≌△PMO（SSS）
∴∠BOP=∠AOP
故答案为：A
【分析】根据题意可知此三角形的三边相等，因此利用SSS可证三角形全等。

10.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为( )
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 4
【答案】A
【考点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵BD⊥CD,
∴∠BDC=∠EDC=90°
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵AC=5，BC=3，
∴CE=3，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∴AE=BE=AC−EC=5−3=2，
∴BD=BE=1.
故答案为：1.
【分析】利用CD平分∠ACB，BD⊥CD，可证得△BEC为等腰三角形，就可求出CE、AE的长，再利用等腰三角形的性质，证明AE=BE，BD=DE，就可求出BD的长。

11.下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
【答案】B
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①∵∠A=36°
∴∠B=∠C=（180°-36°）÷2=72°
∴作∠B或∠C的角平分线，就可分成两个小等腰三角形；
②不能
③此三角形是等腰直角三角形，作顶角的角平分线，就可分成两个小等腰直角三角形；
④不能
故答案为：B
【分析】利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，可知符合条件的只有①③。

12.如图，在△ABC中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB=900+ ∠C；②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E，F 分别是AC，BC 的中点；④若OD=a，CE+CF=2b，则S△ CEF=ab．其中正确的是( )
A. ①②
B. ①②③
C. ①②④
D. ①③④
【答案】C
【考点】三角形三边关系，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O，
∴∠OBA=∠OBF=∠CBA，∠OAB=∠EAO=∠CAB
∵∠BAC+∠ABC=180°−∠C，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠AOB=∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC)=90°−∠C，故①正确；
∵EF∥AB
∴∠ABO=∠BOF，∠AOE=∠BAO
∵∠OBA=∠OBF，∠OAB=∠EAO
∴∠BOF=∠OBF，∠EAO=∠AOE
∴BF=OF，AE=OE
∴EF=OF+OE=BF+AE，故②正确；
当∠C=90°时，AE+BF=EF＜CF+CE，
∴E，F 分别是AC，BC 的中点是错误的，故③错误；
∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠ACB的平分线上，
∴点O到AC的距离等于OD，
∴S△CEF=(CE+CF)⋅OD=⋅2b⋅a=ab，故④正确；
综上所述，正确的是①②④。

故答案为：C
【分析】利用角平分线的定义及三角形内角和定理，可对①作出判断；利用平行线的性质及角平分线的定义，可证得BF=OF，AE=OE，可对②作出判断，利用三角形三边关系定理可对③作出判断；利用角平分线的性质及三角形的面积公式，可对④作出判断，综上所述可证得正确的序号。

二、填空题
13.把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是________．
【答案】如果两个角是等角，那么它们的补角相等。

【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：如果两个角是等角，那么它们的补角相等。

【分析】命题写成“如果那么”如果后面是已知部分，那么后面是结论。

14.如图，已知点E，F分别在AB，AC上，且AE=AF，请补充一个条件：________，使得
△ABF≌△ACE．（只需填写一种情况即可）
【答案】AB=AC(答案不唯)
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：可添加：AB=AC或∠B=∠C或∠AEC=∠AFB
故答案为：AB=AC或∠B=∠C或∠AEC=∠AFB
【分析】已知一组对应边相等，图中隐含了一组公共角，因此可添加边（AB=AC），也可添加角（∠B=∠C 或∠AEC=∠AFB）。

15.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上A1处，折痕为CD，则∠A1DB 的度数为________．
【答案】
【考点】三角形的外角性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将其折叠，使点A落在边BC上A1处，折痕为CD
∴∠A=∠CA1D=50°
∵∠ACB=90°，∠A=50°
∴∠B=90°-50°=40°
∵∠CA1D=∠B+∠A1DB=50°
∴∠A1DB=50°-40°=10°
故答案为：10°
【分析】根据折叠的性质，可求出∠CA1D，再利用三角形内角和定理求出∠B，然后利用三角形的外角的性质，可求出答案。

16.若等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边长为________．
【答案】5cm
【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示,
设AD=DC=x，BC=y，由题意得
或
解之：或
当时等腰三角形的三边为8，8，17，不符合三角形的三边关系；
当时，等腰三角形的三边为14，14，5，
所以，这个等腰三角形的底边长是5，
故答案为：5cm
【分析】根据题意作出图形，设AD=DC=x，BC=y，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解。

17.如图，已知△ABC 的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________．
【答案】42
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×(AB+AC+BC)
=×4×21=42，
故答案为：42
【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=4，根据△ABC 的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案。

18.如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s 的速度从点A 出发沿A—O—B 路径向终点B 运动，同时点Q 以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A 路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点P，Q作PC⊥m于点C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是________秒．
【答案】2或6或16
【考点】全等三角形的判定与性质，几何图形的动态问题
【解析】【解答】解：分情况讨论：
①P在AO上，Q在BO上，
∵PC⊥m，QD⊥m，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OPC+∠POC=90°,∠POC+∠QOD=90°，
∴∠OPC=∠QOD，
则△PCO≌△OQD，
∴PO=OQ，
∴10-2t=8−t
解之：t=2；
②如图，P在BO上，Q在AO上，
∵由①知：OP=QO，
∴2t-10=t-8，
解之：t=2；
t−8<0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在OB上时,如图3,
OP=OQ
则8−t=2t−10，
解之：t=6；
④当P到B点停止，Q在OA上时，
OQ=OB，t−8=8时，
解之：t=16
P和Q都在BC上的情况不存在，
故答案为：2或6或16
【分析】由△PCO≌△OQD，可证得PO=OQ，再分情况讨论：①P在AO上，Q在BO上；②P在BO上，Q在AO上；③当P、Q都在OB上时；④当P到B点停止，Q在OA上时；P和Q都在BC上的情况不存在，分别根据PO=OQ，建立关于t的方程，求解即可。

三、解答题
19.如图，点B，E，C，F 在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：∠A=∠D．
【答案】证明：∵BE=CF
∴BE+CE=CF+CE
即BC=EF
在△ABC和△DEF中,
△ABC≌△DEF(SSS)
∴∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用已知BE=CF可证得BC=EF，再利用SSS证明△ABC≌△DEF，然后利用全等三角形的性质可证得结论。

20.如图，在△ABC中，AD 是BC边上的高线，AE平分∠BAC，若∠BAC∶∠B∶∠C=4∶3∶2，求∠DAE 的度数．
【答案】解:∵∠BAC:∠B:∠C=4:3:2
∴∠BAC=80°,∠C=40°
∵AE平分∠BAC
∴∠CAE= ∠BAC=40°
∵AD是BC边上的高线
∴∠ADC=90°
∵∠C=40°
∴∠CAD=50°
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理
【解析】【分析】利用三角形内角和定理，求出△ABC的三个内角的度数，再利用角平分线定义求出∠CAE 的度数，利用三角形的高的定义，求出∠CAD的度数，然后根据∠DAE=∠CAD-∠CAE，可求得结果。

21.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C 在小正方形的顶点上．
①在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△A′B′C′；
②请直线l上找到一点P，使得PC+PB 的距离之和最小．
【答案】解：如图，△A′B′C′、点P即为所求
【考点】作图﹣轴对称，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质，先找出点A、B、C的对称点A′、B′、C′，再顺次连接即可。

（2）要直线l上找到一点P，使得PC+PB 的距离之和最小，因此作点B关于直线l的对称点B′，连接CB′，就可得出点P的位置。

22.如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．
求证：BD=CE．
【答案】证明:∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED
∴∠ADB=∠AEC
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE(AAS)
∴BD=CE
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质，可证得∠ADB=∠AEC，∠B=∠C，再利用AAS证明
△ABD≌△ACE，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。

23.如图，已知∠MAN，点B在射线AM上．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①在AN 上取点C，使CB=CA；
②作∠BCN的平分线CD；
（2）在(1)的条件下，求证：AB∥CD．
【答案】（1）解：如图
（2）解：∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC
∵CD平分∠BCN,
∴∠BCD=∠DCN
∵∠BCN=∠A+∠ABC,
BCN=∠BCD+∠DCN,
∴∠A+∠ABC=∠BCD+∠DCN,
∴∠A=∠DCN
∴AB∥CD.
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质，作图—基本作图
【解析】【分析】（1）①在AN 上取点C，要使CB=CA，因此点C在线段AB的垂直平分线上，因此作线段AB的垂直平分线，就可得出点C的位置；②，利用尺规作图，作出∠BCN的平分线CD。

（2）利用等边对等角，可证得∠A=∠ABC，再根据角平分线的定义，可证得∠BCD=∠DCN，然后根据三角形外角的性质，去证明∠A=∠DCN，就可证得结论。

24.把两个大小不同的含45°角的直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E 在同一条直线上，连结CD．求证：
（1）BE=CD；
（2）DC⊥BE．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△DAE都是等腰直角三角形
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD
在△BAE和△CAD中
∴△BAE≌△CAD(SAS),
∴BE=CD
（2）证明：∵△BAE≌△CAD
∴∠ACD=∠B=45°
∴∠DCB=∠ACB+∠ACD=45°+45°=90°
∴DC⊥BE
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可证得∠BAE=∠CAD，AB=AC，AE=AD，再利用全等三角形的判定定理和性质，可证得结论。

（2）利用全等三角形的性质，可证得∠ACD=∠B=45°，再求出∠DCB的度数，就可证得结论。

25.如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°．点D在线段BC 上运动（点D不与B，C 重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE 交线段AC于E．
（1）当∠BAD=20°时，∠EDC=________°；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？并说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）
（2）解：当DC=2时,△ABD≌△DCE
理由如下
∵AB=AC=2, DC=2,
∴AB=DC,∠B=∠C=40°
∵∠ADE=∠C=40°,
∴∠BDA+∠CDE=140°,
∠CED+∠CDE=140°,
∴∠BDA=∠CED,
在△ABD和△DCE中
∴△ABD≌△DCE(AAS)
（3）解：①若AD=AE时,则∠ADE=∠AED=40°,
∵∠AED>∠C,
∴△ADE不可能是等腰三角形;
②若DA=DE时,即∠DAE=∠DEA= ( -40°)=70°
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°,
∴∠BAD=100°-70°=30°;
③若EA=ED时,∠ADE=∠DAE=40°,
∴∠BAD=100°-40°=60°,
∴当∠BAD=30°或60时,△ADE是等腰三角形
【考点】三角形全等的判定，等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠ADC=∠B+∠DAB
∴40°+∠EDC=40°+20°
∴∠EDC=20°
故答案为：20°
【分析】（1）利用三角形外角的性质，可求出结果。

（2）当DC=2时,△ABD≌△DCE，利用已知易证AB=DC，再证明∠BDA=∠CED，然后利用AAS，可证得结论。

（3）分情况讨论：①若AD=AE时；②若DA=DE时；③若EA=ED时，分别求出符合题意的∠BAD的度数。

26.在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路．如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A 在OM 上，此时，在射线ON上截取OB=OA，连结BC，根据三角形全等的判定方法(SAS)，容易构造出全等三角形△OBC 和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC 中，AD是∠BAC的平分线，E，F 分别为AB，AC上的点，且
∠AED+∠AFD=180°．求证：DE=DF．
（2）如图3，在非等边△ABC 中，∠B=60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，且AD，CE 交于点F，求证：AC=AE+CD．
【答案】（1）证明：如图1,在AB上截取AK=AF,连结KD
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
在△AKD和△AFD中,
∴△AKD≌△AFD(SAS)
∴DK=DF,∠AKD=∠AFD
∵∠AED+∠AFD=180°
∠EKD+∠AKD=180°
∵,∠AED=∠EKD
∴DE=DK
∴DE=DF
（2）证明：如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG
∵AD是∠BAC的平分线,CE是∠BCA的平分线
∴∠1=∠2,∠3=∠4
在△AEF和△AGF中,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG
∵∠B=60°
∵.∠BAC+∠ACB=120°
∵.∠2+∠3= (∠BAC+∠ACB)=60°,
∵∠AFE=∠2+∠3,
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,
∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°
∴∠CFD=∠CFG,
在△CFG和△CFD中
∴△CFG≌△CFD(ASA)
∴CG=CD,
∴AC=AG+CG=AE+CD
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在AB上截取AK=AF,连结KD，利用角平分线的定义，可证得∠BAD=∠CAD.，再证明△AKD≌△AFD，利用全等三角形的性质，可证得DK=DF,∠AKD=∠AFD，然后证明DE=DK，就可证得结论。

（2）在AC上截取AG=AE,连接FG，易证△AEF≌△AGF，可证得∠AFE=∠AFG，再根据已知去证明
∠CFD=∠CFG。

然后利用ASA证明△CFG≌△CFD，利用全等三角形的性质证得CG=CD，从而就可证得结论。