最新北师大版八年级数学上册《一次函数的应用第1课时》教学设计(精品教案)

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北师大版八年级数学上册4.1一次函数的应用教学设计

北师大版八年级数学上册4.1一次函数的应用教学设计
(三)学生小组讨论
1.分组讨论:将学生分成若干小组,每组选择一个生活实例,讨论以下问题:“这个实例中,变量之间的关系是什么?”“如何用一次函数来表示这个关系?”“你能举出其他类似的生活实例吗?”
2.汇报交流:每个小组汇报讨论成果,其他小组进行评价、补充。教师适时给予点评,纠正错误,巩固知识点。
(四)课堂练习
1.注重基础知识的巩固,通过实例分析,帮助学生建立起一次函数与现实问题的联系,提高学生的知识迁移能力。
2.针对学生对一次函数图像和性质的理解差异,设计差异化教学活动,使学生在实践中逐步提高对函数图像的认识。
3.引导学生从实际问题中提炼数学模型,培养学生的数学抽象思维和建模能力,同时,关注学生在合作交流中的情感体验,提高学生的团队协作能力。
2.教师点评:教师对学生的总结进行点评,强调重点知识点,纠正错误观念。同时,对本节课的学习内容进行拓展延伸,如介绍一次函数在其他学科中的应用。
3.课后作业:布置课后作业,巩固所学知识。同时,鼓励学生继续关注生活中的一次函数实例,提高数学素养。
五、作业布置
为了巩固学生对一次函数的理解和应用能力,本次作业布置如下:
1.设计梯度性练习题:针对一次函数的定义、图像、性质等知识点,设计不同难度的练习题。让学生在解答过程中,巩固所学知识,提高解题能力。
2.小组合作解题:鼓励学生进行小组合作,共同解答练习题。教师巡回指导,关注学生解题思路和方法,及时解答学生疑问。
(五)总结归纳
1.学生总结:请学生谈谈对本节课一次函数的学习体会,包括一次函数的定义、图像、性质以及在实际问题中的应用。
三、教学重难点和教学设想
(一)教学重难点
1.重点:一次函数的定义及其图像特点,一次函数在实际问题中的应用。

4.4 一次函数的应用 北师大版八年级数学上册教案

4.4  一次函数的应用 北师大版八年级数学上册教案

4 一次函数的应用第1课时 一次函数的应用(1)教学目标【知识与技能】会用待定系数法求一次函数的表达式,并能运用一次函数知识解决简单的实际问题.【过程与方法】通过运用一次函数知识解决实际问题,进一步加深理解并掌握所学知识.【情感、态度与价值观】体会数形结合的思想,了解数学来源于生活,又服务于生活,培养学生的数学应用意识.教学重难点【重点】用待定系数法求一次函数的表达式,并能解决简单的实际问题.【难点】灵活运用所学知识解决实际问题.教学过程一、复习引入1.提问:(1)什么是一次函数?(2)一次函数的图象是什么?(3)一次函数的相关性质.2.做一做.(1)直线y=3x+1经过点(1, ),与y轴的交点是( , ),与x轴的交点是( , ).(2)点(-2,7)是否在直线y=-5x-3上?3.引入.在前面学习一次函数时,我们根据函数关系式知道它的图象,知道图象上相应的点的坐标满足关系式,那么反过来,我们是否能根据图象、点的坐标等信息确定函数关系式呢?这就是我们今天要学习的内容——待定系数法求函数关系式.二、讲授新课师:下面我们来看几个例题.【例1】在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm,当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.【解】设y=kx+b,根据题意,得14.5=b,①16=3k+b.②将①代入②,得k=0.5,所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5.当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5(cm).即物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm.师:在这个例题中,我们首先根据题意设出一次函数的表达式,再利用待定系数法将已知数据代入表达式中,求得了一次函数的表达式,从而进一步解决了实际问题.【例2】某种摩托车的油箱加满油后,油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题:(1)油箱最多可储油多少升?(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?(3)摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油?(4)油箱中的剩余油量小于1 L时,摩托车将自动报警.行驶多少千米后,摩托车将自动报警?【解】观察图象,得(1)当x=0时,y=10.因此,油箱最多可储油10 L.(2)当y=0时,x=500.因此,一箱汽油可供摩托车行驶500 km.(3)x从0增加到100时,y从10减少到8,减少了2,因此摩托车每行驶100 km消耗2 L汽油.(4)当y=1时,x=450.因此,行驶450 km后,摩托车将自动报警.师:请同学们思考教材P92的“做一做”.学生观察并思考.生:(1)从图象中可以看出,当y=0时,x=-2;(2)这个函数的表达式为y=x+2.师:很好!那么你们知道方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1之间有什么联系吗?学生思考并讨论.教师总结:一般地,当一次函数y=kx+b的函数值为0时,相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.三、课堂小结师:通过本节课的学习,同学们有什么收获?与同伴交流一下.学生发言,教师予以点评.第2课时 一次函数的应用(2)教学目标【知识与技能】会应用一次函数表达式与图象之间的相互关系,处理一些较为复杂的问题,领会数形结合的思想.【过程与方法】经历对实际问题建立数学模型的过程,体验数形结合的作用和一次函数模型的价值.【情感、态度与价值观】1.通过让学生经历用一次函数知识来建立实际问题的函数模型、解决实际问题的过程,使它们感受到数学的用途和数学与生活的紧密联系.2.让学生参与到教学活动中来,提高学习数学、应用数学的积极性.教学重难点【重点】用一次函数知识解决实际问题.【难点】获取一次函数图象中的信息,领会数形结合的思想.教学过程一、共同探究,获取新知问题1:某公司每月付给销售人员的工资有两种方案.方案一:没有底薪,只拿销售提成;方案二:底薪加销售提成.(注:销售提成是销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用).设销售商品的数量x(件),销售人员的月工资y(元),如图所示,y1为方案一的函数图象,y2为方案二的函数图象.从图中信息解答如下问题:(1)求y1的函数关系式;(2)求点A的坐标,并说出A点的实际意义;(3)请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元?分析:(1)因为该函数图象过点(0,0),(30,720),所以该函数是正比例函数,利用待定系数法即可求解.(2)利用(1)中表达式,即可得出A 点坐标.(3)把图象上点的坐标代入,即可求出b 的值,从而求出答案.【解】(1)设y 1的函数表达式为y =kx(x≥0).∵y 1经过点(30,720),∴30k =720.∴k =24.∴y 1的函数表达式为y 1=24x(x≥0).(2)根据图象可知x =50,把x =50代入y 1=24x 得:y 1=24×50=1 200,∴A(50,1 200)当销售量为50件时两种方案工资相同,都是1 200元.(3)设y 2的函数表达式为y 2=ax +b(x≥0),经过点(30,960),(50,1 200)∴{960=30a +b 1 200=50a +b ,解得:{a =12b =600,∴b =600,即方案二中每月付给销售人员的底薪为600元.问题2:一家公司招聘销售员,给出以下两种薪金方案供求职人员选择,方案甲:每月的底薪为1500元,再加每月销售额的10%;方案乙:每月的底薪为750元,再加每月销售额的20%,如果你是应聘人员,你认为应该选择怎样的薪金方案?【解】设月薪y(元),月销售额为x(元).方案甲:y =1 500+110x(x≥0)方案乙:y =750+15x(x≥0)当y 甲=y 乙时,1 500+110x =750+15x ,解得x =7 500.求得y 甲=y 乙=2 250即销售额为7 500元时,这两种方案所定的月薪相同.在同一坐标系中画出两种方案中y 关于x 的函数图象.由图象可知:当0≤x<7 500,y甲>y乙,x>7 500时,y甲<y乙.提问:说一说用图象的方法解决问题有哪些优点?二、例题讲解【例】 我边防局接到情报,近海外有一可疑船只A正向公海方向行驶.边防局迅速派出快艇B追赶(图①).图②中l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系.根据图象回答下列问题:(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系?(2)A,B哪个速度快?(3)15 min内B能否追上A?(4)如果一直追下去,那么B能否追上A?(5)当A逃到离海岸12n mile的公海时,B将无法对其进行检查.照此速度,B能否在A逃入公海前将其拦截?(6)l1与l2对应的两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2中,k1,k2的实际意义各是什么?可疑船只A与快艇B的速度各是多少?【解】(1)当t=0时,B距海岸0 n mile,即s=0,故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系.(2)t从0增加到10时,l2的纵坐标增加了2,而l1的纵坐标增加了5,即10 min,A行驶了2n mile,B行驶了5n mile,所以B的速度快.(3)延长l1,l2(图③),可以看出,当t=15时,l1上的对应点在l2上对应点的下方,这表明,15 min时B尚未追上A.(4)如图③,l1,l2相交于点P.因此,如果一直追下去,那么B一定能追上A.(5)图③中,l1与l2交点P的纵坐标小于12,这说明,在A逃入公海前,B能够追上A.(6)k1表示快艇B的速度,k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2nmile/min,快艇B的速度是0.5n mile/min.三、练习新知教师多媒体出示课件:小明步行离开家去上学,开始的速度是0.6 m/s,10分钟后发现快迟到了,加快了速度,以1.2m/s的速度用5分钟走完了剩余的路程到达学校.1.求小明家离学校的大致距离和小明走路的平均速度.2.请用函数图象描述小明走路的过程.教师引导学生思考交流,然后找一生板演,其余同学在下面做,订正得到:距离应为0.6×10×60+1.2×5×60=360+360=720(m),平均速度为720÷[(10+5)×60]=720÷900=0.8(m/s).教师多媒体出示图象:其中x表示小明离开家的时间,y表示小明离开家的距离.四、课堂小结师:本节我们学习了什么内容?生:对于实际问题,初步了解如何根据函数表达式和图象描出它的现实意义.。

初二数学(北京版)一次函数的应用(第一课时)1教案

初二数学(北京版)一次函数的应用(第一课时)1教案

教案(2)求当x为何值时,周长y变为原来的3倍.解:(1)y=12×2+(10+x)×2.化简得y=2x+44. 自变量的取值范围是x>2(2)依题意得,y=32×3=96,把y=96代入y=2x+44得2x+44=96.解得x=26.答:当x=26时,周长变为原来的3倍。

小结:1.首先要理清实际问题的数量关系,根据数量关系求函数表达式。

2.在实际问题中,字母所表示的变量有实际背景,要使实际问题有意义,这些变量往往有限制条件,我们要找到这些限制条件,并通过这些限制条件求自变量的取值范围;3.通过例1可以看出,函数和方程有着密切联系,函数问题往往可以转化为方程问题进行求解。

事实上,当已知一次函数的自变量或因变量时,函数表达式就是一个例2.某生产资料门市部出售化肥,每袋售价80元.为了促进销售,规定了优惠办法:买3袋按售价计算,从第4袋开始,每袋优惠5%.(1)写出购买这种化肥的总金额M(元)与购买袋数n 的函数表达式,并指出它的自变量的取值范围;(2)为了快速得到购买这种化肥的总金额,利用这个函数的表达式制作一个购买1~10袋化肥的总金额对照表.解(1):当0≤n≤3时,函数的表达式为 M=80n.自变量n的取值范围是0≤n≤3且n是整数当n≥4时,函数的表达式为M=76n+12.自变量n的取值范围是n≥4且n是整数(2)小结:1.分段(计价)问题要分段处理;2.要写出每段中自变量的取值范围;3.对于给定自变量的值要判断在哪一段,在哪一段,就用这一段对应的函数表达式解决.思考:如果给定的是函数值呢?练习 1.北京居民用水价按家庭年用水量计算,标准如下:第一阶梯上限180立方米,水费价格为5元/立方米;第二阶梯为180以上至260立方米,水费价格为7元/立方米;分段计价问题的分析方法和分段函数的应用阶梯水价问题的理解和分段函数的应用。

八年级数学上册4.4一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式教学设计 (新版北师大版)

八年级数学上册4.4一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式教学设计 (新版北师大版)

八年级数学上册4.4一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式教学设计(新版北师大版)一. 教材分析本次教学的内容是北师大版八年级数学上册的4.4一次函数的应用,第1课时。

这部分内容主要让学生掌握一次函数的表达式,并且能够运用一次函数解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题,帮助学生理解和掌握一次函数的基本概念和应用。

二. 学情分析学生在学习了初中数学基础知识之后,已经掌握了代数的基本概念,对函数有了初步的了解。

但是对于一次函数的表达式,可能还存在着一些困惑。

因此,在教学过程中,需要注重引导学生理解一次函数的表达式,并且通过实际例子,让学生感受一次函数在生活中的应用。

三. 教学目标1.让学生掌握一次函数的表达式。

2.能够运用一次函数解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.一次函数的表达式。

2.如何运用一次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法,通过丰富的例题和练习题,引导学生自主探究一次函数的表达式,并且在实际问题中运用一次函数。

同时,采用小组合作学习,让学生在讨论中加深对一次函数的理解。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT。

2.准备一些实际问题,用于引导学生运用一次函数解决。

3.准备一些练习题,用于巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题,引导学生思考一次函数的表达式。

例如,假设某商品的售价为80元,如果老板给出8折优惠,那么顾客需要支付多少钱?让学生思考这个问题,引出一次函数的表达式。

2.呈现(15分钟)通过PPT,呈现一次函数的表达式,并且解释一次函数的各个部分的含义。

同时,通过例题,让学生理解一次函数的表达式是如何得出的。

3.操练(15分钟)让学生分组讨论,每组选择一个实际问题,运用一次函数的表达式进行解决。

教师在旁边进行指导,解答学生的疑问。

4.巩固(10分钟)让学生独立完成一些练习题,巩固对一次函数的理解。

教师在旁边进行解答和指导。

八年级数学上册 一次函数的图象(第一课时)教案 北师大版【精品教案】

八年级数学上册 一次函数的图象(第一课时)教案  北师大版【精品教案】

一次函数的图象教学设计(第一课时)一、教学设计思想本节课共两课时,第1课时本节交代了函数图象的概念和作图的一般步骤,目的是为后继学习反比例函数、二次函数的图像作必要的知识准备。

根据教学目标,结合学生心理特点,这节课采用在教师引导下,学生主动探索发现的教学方法.即教师创设问题情景,引导学生观察、比较、自学、思考并展开讨论,使学生作为学习主体参与知识发生、发展的全过程,体验揭示规律,发现真理的乐趣,从而产生巨大的内驱力,提高课堂教学效率,充分发挥教师主导作用和学生的主体作用.二、教学目标知识与技能1.总结作一次函数图像的一般步骤,能熟练作出一次函数图像.2.总结归纳出一次函数的性质———k>0或k<0时图像变化的情况.过程与方法经历作图过程,归纳总结作作函数图像的一般步骤,发展总结概括能力,培养数形结合的意识.情感态度与价值观加强新旧知识的联系,促进新的认知结构的建构.三、教学重点1.能熟练地作出一次函数的图象.2.归纳作函数图象的一般步骤.3.理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.四、教学难点理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.五、教学方法讲、议结合法.六、教具准备投影片两张:第一张:补充练习(§6.3.1 A );第二张:补充练习(§6.3.1 B).七、教学过程Ⅰ.导入新课[师]上节课我们学习了一次函数及正比例函数的概念,正比例函数与一次函数的关系,并能根据已知信息列出x 与y 的函数关系式,本节课我们来研究一下一次函数的图象及性质.Ⅱ.讲授新课 一、函数图象的概念[师]要研究一次函数的图象,首先应知道什么叫图象?把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象(graph ). 假设在代数表达式y =2x 中,自变量x 取1时,对应的因变量y =2,则我们可在直角坐标系内或描出表示(1,2)的点,再给x 的另一个值,对应又一个y ,又可知直角坐标系内描出一个点,所有这些点组成的图形叫该函数y =2x 的图象.由此看来,函数图象是满足函数表达式的所有点的集合.那么应如何作函数的图象呢? 二、作一次函数的图象 [例1]作出一次函数y =21x +1的图象. [师]根据图象的定义,需要先找点.所以要先列表,找满足条件的点,再描点,连线. 解:列表描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点. 连线:把这些点依次连接起来,得到y =21x +1的图象如下,它是一条直线.[师]从刚才我们作图的情况来总结一下,作一次函数的图象有哪些步骤呢?[生]①列表;②描点;③连线.三、做一做(1)作出一次函数y=-2x+5的图象.(2)在所作的图象上取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,并验证它们是否满足关系式y=-2x+5.[生]列表描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.连线:把这些点依次连接起来,得到y=-2x+5的图象,它是一条直线.图象如下:在图象上找点A(3,-1),B(4,-3)当x=3时,y=-2×3+5=-1.当x=4时,y=-2×4+5=-3.∴(3,-1),(4,-3)满足关系式y=-2x+5.四、议一议(1)满足关系式y=-2x+5的x、y所对应的点(x,y)都在一次函数y=-2x+5的图象上吗?(2)一次函数y=-2x+5的图象上的点(x,y)都满足关系式y=-2x+5吗?(3)一次函数y=kx+b的图象有什么特点?[师]请大家分组讨论,然后回答.[生]满足关系式y=-2x+5的x,y所对应的点(x,y)都在一次函数y=-2x+5的图象上.(2)一次函数y =-2x +5的图象上的点(x ,y )都满足关系式y =-2x +5.[师]由此看来,满足函数关系式y =-2x +5的x ,y 所对应的点(x ,y )都在一次函数y = -2x +5的图象上;反过来,一次函数y =-2x +5的图象上的点(x ,y )都满足关系式y =-2x +5.所以,一次函数的代数表达式与图象是一一对应的.即满足一次函数的代数表达式的点在图象上,图象上的每一点的横坐标x ,纵坐标y 都满足一次函数的代数表达式.(3)[生]一次函数的图象是一条直线. [师]非常正确.一次函数的图象是一条直线.由直线的公理可知:两点确定一条直线,所以作一次函数的图象时,只要确定两个点,再过这两个点作直线就可以了,一次函数y =kx +b 的图象也称为直线y =kx +b .Ⅲ.课堂练习 分别作出一次函数y =31x 与y =-3x +9的图象. [师]根据刚才的讨论可知,我们在画一次函数的图象时,只要确定两个点就可以了. [生]作函数y =31x 的图象时,找点(3,1),(6,2)图象如下.作函数y =-3x +9的图象时,找点(1,6),(2,3) 图象如下:补充练习投影片(§6.3.1A )[生](1)作一次函数y =-x +21的图象时,取点(0, 21)和(1,-21),然后过这两点作直线即可.图象如下:(2)在图象上取点A (23,-1),B (-1,23) 当x =23时,y =-23+ 21=-1 当x =-1时,y =1+21=23∴A 、B 两点的坐标都满足关系式y =-x +21. 投影片(§6.3.1 B )[生]解:(1)作一次函数y =4x +3的图象时,找点(0,3),(1,7),然后过这两点作直线即可.图象如下:(2)当x =0时,y =4×0+3=3; 当x =-1时,y =4×(-1)+3=-1; 当x =21时,y =4×21+3=5; 当x =1时,y =4×1+3=7; 当x =-23时,y =4×(-23)+3=-3. ∴每对数都满足关系式y =4x +3.由前面的议一议可知,以这些数对为坐标的点在所作的函数图象上. Ⅳ.课时小结本节课主要学习了以下内容: 1.函数图象的概念;2.作一次函数图象的步骤以及熟练地作出一次函数的图象,并能验证某些数对是否在函数图象上.3.明确一次函数的图象是一条直线,因此在作一次函数的图象时,不需要列表,只要确定两点就可以了.Ⅴ.课后作业 习题6.3 Ⅵ.活动与探究1.已知函数y =(m -2)x 552+-m m+m -4,问当m 为何值时,它是一次函数?解:根据一次函数的定义,有⎩⎨⎧≠-=+-021552m m m解得⎩⎨⎧≠==241m m m 或∴m =1或m =42.如果y +3与x +2成正比例,且x =3时,y =7. ①写出y 与x 之间的函数关系式; ②求当x =-1时,y 的值; ③求当y =0时,x 的值.分析:①y +3与x +2成正比例,就是y +3=k ·(x +2),根据x =3时,y =7,求k 的值,从而确定y 与x 之间的函数关系式.②把x =-1代入所求函数关系式,求出y 的值. ③把y =0代入函数关系式,求出x 的值. 解:①∵y +3与x +2成正比例 ∴y +3=k (x +2)把x =3,y =7代入得:7+3=k (3+2) ∴k =2,∴y =2x +1②把x =-1代入y =2x +1中,得y =-2+1=-1③把y =0代入y =2x +1中,得 0=2x +1,∴x =-21. 说明:若y 与x 成一次函数关系式,那么函数关系式要写成y =kx +b (k ≠0)的形式. 3.如果y =mx 82-m是正比例函数,而且对于它的每一组非零的对应值(x ,y )有xy <0,求m 的值.分析:按正比例函数y =kx (k ≠0)中对于k 及x 的指数的要求决定m 的值. 解:根据题意得,y =mx 82-m 是正比例函数,故有:m 2-8=1且m ≠0即m =3或m =-3又∵xy <0,∴x ,y 是异号.∴m =xy<0 ∴m =3不合题意,舍去. ∴m =-3.常见错误:忽略m ≠0的要求,在解题过程不写这一条件. 4.已知y +b 与x +a (a ,b 是常数)成正比例. 求证:y 是x 的一次函数.分析:由y +b 与x +a 成正比例,设立解析式,分析此解析式为x 的一次函数. 解:∵y +b 与x +a 成正比例 ∴可设y +b =k (x +a )(k ≠0) 整理,得y =kx +ka -b =kx +(ka -b ) ∵k ,a ,b 都是常数. ∴ka -b 也是常数. 又∵k ≠0∴y 是x 的一次函数.常见错误:整理得到y =kx +ka -b 时不会把ka -b 看作一个整式.说明:在叙述函数的,一定要说清楚谁是谁的什么名称函数,否则容易发生混淆现象.如本题中,y +b 是x +a 的正比例这个说法是正确的,同时,y 是x 的一次函数的说法也是正确的.八、板书设计。

2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第四章一次函数4.4一次函数的应用(第1课时)教案

2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第四章一次函数4.4一次函数的应用(第1课时)教案

第四章一次函数4一次函数的应用第1课时确定一次函数表达式教学目标教学反思1.了解确定一次函数的条件,能用待定系数法求出一些简单的一次函数的表达式;2.能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题;3.在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立各种知识的联系.教学重难点重点:1.了解确定一次函数的条件;2.能用待定系数法求出一些简单的一次函数的表达式.难点:能利用一次函数解决简单的实际问题.教学过程导入新课知识回顾1.什么是一次函数?什么是正比例函数?2.一次函数的图象是什么?正比例函数的图象呢?3.表示函数的方法有哪些?4.画出y=-2x-4的图象,根据图象回答下列问题:(1)y的值随x值的增大而__________;(2)图象与x轴的交点坐标是________,与y轴的交点坐标是_________;(3)判断下列各点是否在函数y=-2x-4的图象上.A(1,-6);B(-3,1)学生思考,给出答案.1.若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.当b=0时,即y=kx,称y是x的正比例函数.2.一次函数的图象是一条直线;正比例函数的图象是过原点的一条直线.3.列表法、图象法和关系式法.4.(1)减小;(2)(-2,0),(0,-4);(3)A.探究新知假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间的关系如图所示.(1)这是一次多少米的赛跑?(2)甲、乙二人谁先到达终点?(3)甲、乙二人的速度分别是多少?(4)求甲、乙二人y与x的函数关系式.想一想:1.确定正比例函数的表达式需要几个条件?(1个)2.确定一次函数的表达式呢?(2个)例1某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式.(2)下滑3秒时物体的速度是多少?【解】(1)设函数表达式为v=kt (k为常数且k≠0).∵(2,5)在图象上,把点(2,5)的坐标代入,得5=2k,∴ k=2.5,∴v=2.5 t.(2)当t=3s时,v=2.5×3=7.5(m/s).所以下滑3s时物体的速度是7.5 m/s.例2在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数,一根弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.【解】设y=kx+b(k≠0),由题意,得14.5=b, 16=3k+b,解得b=14.5 ,k=0.5.所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5.当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5(cm).即当所挂物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm.教师总结:教学反思求一次函数表达式的步骤 :1.设——设一次函数表达式为y =kx +b (k ≠0);2.代——将点的坐标代入y =kx +b 中,列出关于k ,b 的方程组;3.解——解方程组求出k ,b 值;4.定——把求出的k ,b 值代回到表达式中即可.像这种求函数表达式的方法叫做待定系数法.课堂练习 1.若一次函数y =2x +b 的图象经过A (-1,1),则=b ,该函数图象经过点B (1, )和点C ( ,0).2.如图,直线l 是一次函数y =kx +b 的图象,填空:(1)=b ,=k ,所以函数关系式为___________;(2)当x =30时,=y ;(3)当y =30时,=x .3.如图,直线l 是一次函数y =kx +b 的图象,求它的表达式.4.已知一次函数的图象过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2,求此一次函数的表达式.5.某市出租车计费方法如图所示,x (km )表示行驶里程,y (元)表示车费,请根据图象回答下列问题:(1)求出租车的起步价是多少元,并求当x >3时,y 关于x 的函数表达式;(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元,求这位乘客乘车的里程.参考答案1.3,5,-1.5教学反思2.(1)2,23-,y =23x -+2 (2)-18 (3)-423.解:y =-3x4.解:设一次函数的表达式为y =kx +b (k ≠0), ∵一次函数y =kx +b 的图象过点(0,2),∴ b =2.∵一次函数的图象与x 轴的交点是2,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴ 12222k⨯-⨯=,解得k =1或-1.∴ 一次函数的表达式为y =x +2或y =-x +2. 5.解:(1)8,y =2x +2;(2)令y =32,则2x +2=32,x =15,∴ 这位乘客乘车的里程为15 km.课堂小结(学生总结,老师点评)用待定系数法确定一次函数表达式的步骤布置作业习题4.5 必做题:第2题 选做题:3,4题任选一题板书设计第四章 一次函数4 一次函数的应用第1课时 确定一次函数表达式用待定系数法确定一次函数表达式的步骤: 1.设—— 设一次函数表达式为y =kx +b (k ≠0);2.代—— 将点的坐标代入y =kx +b 中,列出关于k ,b 的方程组;3.解—— 解方程组求出k ,b 值;4.定—— 把求出的k ,b 值代回到表达式中即可.。

新北师大版数学八年级上《4.4一次函数的应用》精品教案

新北师大版数学八年级上《4.4一次函数的应用》精品教案

4.4 一次函数的应用(第1课时)一、学生起点分析本节课之前,学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质,并了解了函数的三种表达方式:图象法、列表法、解析式法。

在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法,并进一步感受数形结合的思想方法.二、教学任务分析本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时,主要内容是利用图象、表格等信息,确定一次函数的表达式.与原教材相比,新教材更注重与实际联系,更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法;并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件,这个问题虽然简单,但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量.值得一提的是确定一次函数表达式,需要根据两个条件列出关于k、b的方程组,而二元一次方程组是下一章的学习内容,因此本节所研究的一次函数,某个参数应较易于从所给条件中获得,从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题.因此,在教学中要注意控制问题的难度,对于一般问题,可在下一章的学习中再加强训练.本节课的教学目标是:①了解两个条件可确定一次函数;能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式;并能利用所学知识解决简单的实际问题.②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达式,进一步发展数形结合的思想方法;③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维.三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节:本节课设计了六个教学环节:第一环节:复习引入;第二环节:初步探究;第三环节:深入探究;第四环节:反馈练习与知识拓展;第五环节:课时小结;第六环节:作业布置.第一环节复习引入内容:提问:(1)什么是一次函数?(2)一次函数的图象是什么?(3)一次函数具有什么性质?目的:学生回顾一次函数相关知识,温故而知新.第二环节初步探究内容1:展示实际情境提供两个问题情境,供老师选用.实际情境一:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式;(2)下滑3秒时物体的速度是多少?分析:要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定函数的类型,然后根据函数的类型设它对应的解析式,再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可.实际情境二:假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y与时间x的关系如图所示.(1)这是一次多少米的赛跑?(2)甲、乙二人谁先到达终点?(3)甲、乙二人的速度分别是多少?(4)求甲、乙二人y与x的函数关系式.目的:利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式,一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法,即待定系数法,另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件.情景一、二可根据学生情况进行选取,情景二几个问题有一定的梯度,学生可能更易写出函数关系式.教学注意事项:学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式,如先求出速度,再写表达式,教师应给予肯定,但要注意比较两种方法异同,并突出待定系数法.内容2:想一想:确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?目的:在实践的基础上学生加以归纳总结。

北师大版数学八年级上册4.3一次函数的图像(第1课时)教学设计

北师大版数学八年级上册4.3一次函数的图像(第1课时)教学设计
3.提问引导:在学生思考的基础上,提问:“这种关系能否用数学模型来描述?”从而引出一次函数的定义。
4.导入新课:通过以上环节,自然地导入本节课的主题——一次函数的图像。
(二)讲授新知
在这一环节中,我将详细讲解一次函数的定义、图像特点及其增减性。
1.一次函数定义:讲解一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0,k、b是常数),并解释k、b的含义。
4.培养学生运用描点法绘制一次函数图像的方法,培养学生数形结合的数学思想。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和爱好,激发学生的学习积极性,使学生树立学习数学的信心高学生对数学价值的认识。
3.通过一次函数图像的学习,培养学生勇于探索、善于发现的精神,增强学生的创新意识。
1.分组:将学生分成若干小组,确保每个小组成员在数学水平上具有一定的互补性。
2.讨论任务:让各小组讨论一次函数图像的绘制方法、增减性及其在实际问题中的应用。
3.交流分享:在各小组讨论的基础上,组织学生进行班级分享,互相学习、取长补短。
4.教师点评:对各小组的讨论成果进行点评,强调重点、难点,并解答学生在讨论过程中遇到的问题。
北师大版数学八年级上册4.3一次函数的图像(第1课时)教学设计
一、教学目标
(一)知识与技能
1.理解一次函数的定义,掌握一次函数的一般形式:y=kx+b(k≠0,k、b是常数),并能够识别实际问题中的一次函数关系。
2.能够通过描点法绘制一次函数的图像,了解一次函数图像的特点,即直线图形。
3.能够根据一次函数的图像,判断函数的增减性,理解当k>0时,函数图像呈现上升趋势;当k<0时,函数图像呈现下降趋势。
1.基础巩固题:
(1)请同学们回顾一次函数的定义,并用自己的话简要解释一次函数中k和b的含义。

北师大版八年级数学上册4.1一次函数的应用优秀教学案例

北师大版八年级数学上册4.1一次函数的应用优秀教学案例
2.学生通过合作交流,分享解题思路,互相学习,培养团队协作能力。
3.教师巡回指导,解答学生疑问,给予鼓励和评价,提高学生的自信心。
(四)总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容,总结一次函数在购物、出行等方面的应用。
2.学生总结一次函数的图像特征和性质,加深对一次函数的理解。
3.教师强调一次函数在实际生活中的重要性,激发学生的学习兴趣。
三、教学策略
(一)情景创设
1.利用多媒体展示购物、出行等实际场景,让学生身临其境,引发学生的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的数学问题,激发学生的求知欲。
3.以生活实例为载体,引导学生发现数学规律,感知数学与生活的紧密联系。( Nhomakorabea)问题导向
1.引导学生提出问题,激发学生的思考,培养学生的问题意识。
五、案例亮点
1.生活情境导入:通过购物、出行等生活场景的展示,引导学生发现数学问题,激发学生的学习兴趣,增强学生的数学应用意识。
2.问题导向:本节课以问题为导向,引导学生主动探究、积极思考,培养学生的问题意识和解决问题的能力。
3.小组合作:组织学生进行小组讨论,培养学生的团队协作能力和沟通能力,提高学生的学习效果。
(四)反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思,总结经验,提高学生的学习能力。
2.组织学生进行自我评价、同伴评价,培养学生的评价能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行多元化评价,激发学生的学习动力。
本节课的教学策略旨在充分发挥学生的主体作用,引导学生主动探究、积极思考,提高学生的数学素养。通过情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价等策略,培养学生的问题意识、团队协作能力和自我评价能力,使学生在学习一次函数的应用过程中,既能掌握数学知识,又能培养良好的学习习惯和价值观。

北师大版八年级数学上册《一次函数的应用》第1课时示范课教学设计

北师大版八年级数学上册《一次函数的应用》第1课时示范课教学设计

第四章一次函数4 一次函数的应用第1课时一、教学目标1.了解两个条件可确定一次函数;一个条件确定正比例函数.2.能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式.3.从一次函数“数”的角度入手,转移到“形”,让学生进一步体会数形结合的思想,发展数形结合解决问题的能力.4.初步体会函数与方程的联系.二、教学重难点重点:了解两个条件可确定一次函数,一个条件确定正比例函数.难点:利用待定系数法确定一次函数的表达式.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【探究】某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如右图所示:(1)请写出v与t的关系式;(2)下滑3 s时物体的速度是多少?教师活动:图象过原点,所以是正比例函数.预设答案:解:(1)设v=kt,将点(2,5)代入得5=2k,k=2.5,∴v=2.5t;(2)当t=3时,v=2.5×3=7.5 (m/s).∴下滑3 s时物体的速度是7.5m/s.【想一想】问题一:确定正比例函数的表达式需要几个条件?预设答案:y=kx,要求出k值,只需要一个点的坐标.问题二:确定一次函数的表达式呢?预设答案:y=kx+b,要求出k、b值,需要两组对应变量值(两点的坐标).【探究】在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.预设答案:解:设y=kx+b(k≠0),根据题意,得:14.5=b①16=3k+b②将①代入②,得:k=0.5.所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5(cm).即物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm.【问题】怎样求一次函数的表达式?教师活动:这种求函数表达式的方法叫做待定系数法.【典型例题】教师提出问题,学生先独立思考,然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程,其余题目可由学生代表板书完成,最终教师展示答题过程.【例1】如图,直线l是某正比例函数的图象,点A(-4,12),B(3,-9)是否在该函数的图象上?教师给出练习,随时观察学生完成情况并相应指导,最后给出答案,根据学生完成情况适当分析讲解.1.已知正比例函数y =kx (k ≠0)的图象经过点(-1,-2),则这个正比例函数的关系式为( )A.y =2xB.y =-2xC.12y x = D.12y x =-教师活动:根据y =kx (k ≠0)的图象经过点(-1,-2)得:-2=-k ,所以k =2,选A2.如图,直线AB 对应的函数表达式是( )A.y=-x+2B.y=x+2C.y=-2x+4D.y=2x+4预设答案:C3. 如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象.填空:(1)b=_____,k=______;(2)当x=30时,y=______;(3)当y=30时,x=______.预设答案:2;23;-18;-42.4.若一次函数y=2x+b的图象经过A(-1,1),则点B(1,5),C(-10,-17),D(10,17)是否在该函数的图象上?解:把点A代入解析式得:1=2×(-1)+b解得:b=3;∴一次函数的关系式为y=2x+3.当x=1时,y=5,则点B(1,5)在该函数的图象上;当x=-10时,y=-17,则点C(-10,-17)也在该函数的图象上;当x=10时,y=23≠17,则点D(10,17)不在该函数的图象上.5.已知一次函数的图象经过点(0,1)和(-1,-3).(1)求此一次函数的解析式;(2)求此一次函数与x轴的交点坐标.解:(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).∴图象经过点(0,1),∴b=1.4思维导图的形式呈现本节课的主要内容:。

北师大版数学八年级上册4《一次函数的应用》教学设计1

北师大版数学八年级上册4《一次函数的应用》教学设计1

北师大版数学八年级上册4《一次函数的应用》教学设计1一. 教材分析《一次函数的应用》是北师大版数学八年级上册第4章的内容。

本节课的主要内容是一次函数在实际生活中的应用,通过实例让学生了解一次函数的性质,学会用一次函数解决实际问题。

教材通过丰富的实例,引导学生探究一次函数的图象和性质,培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了函数的概念、一次函数的定义和图象,具备了一定的函数知识基础。

但学生对实际问题与函数关系的理解还不够深入,解决实际问题的能力有待提高。

因此,在教学过程中,教师需要关注学生的认知基础,通过实例引导学生将实际问题转化为函数问题,培养学生解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能:让学生了解一次函数在实际生活中的应用,学会用一次函数解决实际问题。

2.过程与方法:通过实例分析,让学生掌握一次函数的图象和性质,提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观:培养学生对数学的兴趣,增强学生运用数学解决实际问题的意识。

四. 教学重难点1.重点:一次函数在实际生活中的应用。

2.难点:如何将实际问题转化为函数问题,并运用一次函数解决。

五. 教学方法1.情境教学法:通过生活实例,引导学生了解一次函数在实际中的应用。

2.启发式教学法:引导学生主动探究一次函数的图象和性质,培养学生解决问题的能力。

3.小组合作学习:让学生在小组内讨论实际问题,共同寻找解决方法,提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示一次函数的图象和实例。

2.实例材料:准备一些实际问题,作为教学案例。

3.练习题:准备一些练习题,巩固学生对一次函数应用的理解。

七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过展示一些生活中的实例,如身高与年龄的关系、商品价格与数量的关系等,引导学生思考这些实际问题是否可以用一次函数来表示。

2.呈现(10分钟)教师展示一次函数的图象,引导学生观察图象,了解一次函数的性质。

北师大版数学八上 4.4 一次函数的应用 教案

北师大版数学八上 4.4 一次函数的应用 教案

分课时教学设计学习活动设计教师活动学生活动环节一:情境导入教师活动1:由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.干旱持续时间t(天)与蓄水量V(立方万米)的关系如下图所示,回答下列问题:(1)水库干旱前的蓄水量是多少?【 1200立方万米】(2)干旱持续10天,蓄水量为多少?连续干旱23天呢?解:从图像上可知当t=10时,V约为1000立方万米.一次函数直线经过(60,0)和(0,1200)用待定系数法求出函数表达式y=-20x+1200.当t=23 y=-20x+1200=740立方万米.所以干旱持续10天,蓄水量为10000立方万米。

连续干旱23天蓄水量为740立方万米(3)蓄水量小于400立方万米时,将发生严重干旱警报.干旱多少天后将发出严重干旱警报?解:当蓄水量小于400立方万米时,将发出严重干旱警报,也就是当V 等于400立方万米时,求所对应的t的值.当V 等于400立方万米时,400=-20x+1200, x=40所以干旱40天后发出严重干旱警报。

(4)按照这个规律,预计持续干旱多少天水库将干涸?解;水库干涸也就是V 为0,所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求.当学生活动1:学生从图像中发现问题、提出问题、解决问题V 为0时,所对应的t 的值约为60天活动意图说明:学生在独立思考的基础上,进行合作交流。

老师可在学生分工合作交流的过程中参与到学生的学习之中并作适时的指导,鼓励学生充分的交流,表白自己的见解。

同时要求学生学会聆听,培养学生的合作意识。

环节二:探究一条直线解决实际问题教师活动2:例题2;某种摩托车的油箱最多可储油10升,加满油后,油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题:(1)油箱最多能储油多少升?一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?解:观察图象可知当x=0时y=10;当y=0时,x=500,因此油箱最多能储油10升,一箱汽油可供摩托车行驶500千米.(2)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油?解:行驶500千米耗油10升,每行驶100千米耗油10÷5=2,因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油.(3)油箱中的剩余油量小于1升时,摩托车将自动报警,行驶多少千米后,摩托车将自动报警?解析:直线经过(0,10)和(500,0)用待定系数法求出一次函数的解析式为y=-0.02x+10,当y=1时,x=450,所以行驶450千米后,摩托车将自动报警?学生活动2:对例题2的分析,抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质,进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题.活动意图说明:在传统教学中,教师是权威的向征,在具体的教学中老师总是以一种居高临下的传道者的身份出现,老师讲,学生学。

北师大版八年级数学上册 (一次函数的应用)一次函数教育教学课件(第1课时)

北师大版八年级数学上册 (一次函数的应用)一次函数教育教学课件(第1课时)

复习导入
1. 一次函数的表达式为:
y=kx+b (k, b为常数,k≠0)
2. 正比例函数的表达式为:
y=kx(k为常数,k≠0) 3. 直线y=3x+1与直线y=3x-2有什么样的位置关系?
平行
新知讲解
由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量 随着时间的增加而减少.蓄水量V(万m3)与 干旱持续时间 t( 天) 的关系如图所示.
归纳总结
1.理解横轴、纵轴分别表示的实际意义;进一步理解k,b的实 际意义; 2.通过已知条件,在图象上找到对应的点,由点的横坐标或者纵坐标的 值读出要求的值.
典例精析
例2.某种摩托车的油箱加满油后,油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x ( km )之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题: (1)油箱最多可储油多少升? (2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米? (3)摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油?
x为何值y= ax+b
的值为0
从形的角度看
求ax+b=0(a, b是 常数,a≠0)的解
确定直线y= ax+b 与x轴交点的横坐标
课堂练习 C
No Image
C
课堂练习
3.甲骑摩托车从A地去B地,乙开汽车从B地去A地,同时出发,匀速
行驶,各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s(单位:km),
一次函数的应用
第1课时
北师大版八年级上册
教学目标
1.了解两个条件可以确定一个一次函数,一个条件可以确定一个正比例函 数,并能由此求出表达式. 2.会用待定系数法解决简单的实际问题. 3.能根据函数的图象确定一次函数的表达式.
情景导入
前面,我们学习了一次函数及其图象和性质,你能写出两个具 体的一次函数解析式吗?如何画出它们的图象?

北师大版八年级上册4.4一次函数的应用(教案)

北师大版八年级上册4.4一次函数的应用(教案)
此外,学生在解决实际问题时,对于待定系数法的应用还不够熟练,这也是我需要在课后重点辅导的部分。我将通过更多具体例子的讲解,帮助他们理解待定系数法的原理,并能够灵活运用到解题过程中。
-强调将实际问题抽象成数学模型的过程。
2.教学难点
-待定系数法求解一次函数解析式的理解和应用。
-难点在于如何从实际问题中抽象出两个方程组成,进而求解k和b的值。
-通过具体例子,解释如何列出方程组,并指导学生进行求解。
-一次函数在实际问题中的应用,如最值问题、效益问题和路程问题。
-难点在于如何将实际问题转化为数学表达式,并找出函数的最大值或最小值。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调一次函数的斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分,如待定系数法求解一次函数解析式,我会通过具体例子和逐步解析来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与一次函数相关的实际问题,如归一问题或计算公式问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一次函数图象的绘制及其性质。
-通过案例分析,指导学生如何确定变量之间的关系,并求解最值。
-对一次函数性质的理解,尤其是斜率k对图象的影响。
-难点在于理解斜率k与函数增减性之间的关系。
-通过图象观察和实例分析,帮助学生理解斜率k的正负如何决定函数的增减性。
-数形结合的解题思路。
-难点在于如何将抽象的数学问题与直观的图象结合起来,以简化问题解决过程。
-在求解一次函数解析式的过程中,培养逻辑推理和数学运算能力
-通过对一次函数性质的学习,提升抽象逻辑思维能力
4.增强学生的几何直观和空间观念,提高数形结合的解题能力。

北师大版八年级数学上册《一次函数的图象》第1课时示范课教学设计

北师大版八年级数学上册《一次函数的图象》第1课时示范课教学设计

第四章一次函数3 一次函数的图象第1课时一、教学目标1.经历函数图象的作图过程,初步了解作函数图象的一般步骤:列表、描点、连线,能熟练画出正比例函数的图象.2.能根据正比例函数的图象和表达式y=kx(k≠0)理解k>0和k<0时,函数的图象特征与增减性,培养学生数形结合的意识和能力.3.理解正比例函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系.4.掌握正比例函数的性质,并能灵活运用解答有关问题.二、教学重难点重点:能熟练画出正比例函数的图象.难点:理解函数的图象特征与增减性,掌握正比例函数的性质.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计(4)y=8x; (5)y=5x2-4x+1. (6)y=(x+1)2预设答案:(1)(2)(4)是一次函数.(1)(4)是正比例函数.问题3:若函数y=(6-3m)x+4n-4是一次函数,则m,n满足什么条件?若是正比例函数,则m,n应满足什么条件?预设答案:解:根据y=(6-3m)x+4n-4是一次函数得:6-3m≠0,则m≠2,n取任何实数;若是正比例函数,得6-3m≠0且4n-4=0,则m≠2,n=1.【思考】把摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t (min)之间的函数关系通过下列图形表示:教师活动:如何定义这种图形?【探究】把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.教师活动:这是摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间函数关系的图象.【例1】画出正比例函数y=2x的图象.解:列表:描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.连线:把这些点依次连接起来,得到y=2x的图象,它是一条直线.画函数图象的步骤可以概况为三步:教师活动:这种画函数图象的方法叫做描点法.【做一做】画出正比例函数y=-3x的图象.列表:描点:连线:在所画的图象上任意取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,并验证它们是否都满足关系y=-3x.教师活动:通过两个点(-1.5,4.5),(0.5,-1.5)得出结论:它们都满足关系y=-3x.正比例函数的表达式与图象是一一对应的.【议一议】(1) 满足关系式y=-3x的x,y所对应的点(x,y)都在正比例函数y=-3x的图象上吗?预设答案:都在正比例函数y=-3x的图象上.(2) 正比例函数y=-3x的图象上的点(x,y)都满足关系式y=-3x吗?预设答案:都满足.(3) 正比例函数y=kx的图象有何特点?你是怎样理解的?预设答案:都经过原点.【探究】观察上述两组正比例函数图象,说一说正比例函数y=kx的图象有何特征?特征:正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线.因此,画正比例函数图象时,只要再确定一个点,过这点与原点画直线就可以了.不同点:函数y=2x的比例系数k>0,图象经过第一、三象限;函数y=-3x的比例系数k<0,图象经过第二、四象限.【归纳】教师活动:由于两点确定一条直线,画正比例函数图象时我们只需描点(0,0)和点(1,k),连线即可.【做一做】在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x,y=3x,12y x=-和y=-4x的图象.教师活动:这四个函数中,随着x的增大,y 的值分别如何变化?相应图象上的点的变化趋势如何?当k>0时,x增大时,y的值也增大;y随x的增大而增大.当k<0时,x增大时,y的值反而减小;y随x的增大而减小.【归纳】在正比例函数y=kx中:1. 当k>0时,y的值随着x值的增大而增大,相应图象上的点从左往右呈上升趋势;2. 当k<0时,y的值随着x值的增大而减小,相应图象上的点从左往右呈下降趋势.【想一想】正比例函数y=x和y=3x中,随着x值的增【典型例题】教师活动:教师提出问题,学生先独立思考,然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程,其余题目可由学生代表板书完成,最终教师展示答题过程.【例2】 在同一直角坐标系内画出正比例函数12y x =与13y x =-的图象,并指出随着x 值的增大,y 的值分别如何变化?解:画图:对于函数12y x =,y 的值随着x 值的增大而 增大;对于函数13y x =-,y 的值随着x 值的增大而减小.所以-6=4k,解得32k=-,所以32y x=-.当x=-4时,y=6,所以点(-4,6)在此正比例函数图象上.故选B.4.在正比例函数y=-3mx中,y随x的增大而增大,则点P(m,5)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B.解析:因为y随x的增大而增大,所以-3m>0,所以m<0,所以点P(m,5)在第二象限.故选B.5.画出函数y=-2x的图象.解:列表,描点、连线,得到y=-2x的图象如图所示:6.已知正比例函数y=mx的图象经过点(m,9),且y的值随着x值的增大而减小,求m的值.解:因为正比例函数y=mx的图象经过点(m,9)所以9=m∙m,解得m=±3.又因为y的值随着x值的增大而减小,所以m<0,故m=-3.。

北师大版数学 八年级上册 一次函数的应用(第1课时)

北师大版数学 八年级上册   一次函数的应用(第1课时)

探究新知 整理归纳:从两方面说明:
从数到形
函数解析 式y=kx+b
选取 解出
满足条件的两定点 画出 (x1, y1)与(x2 , y2 )
选取
从形到数
一次函数的
l 图象直线
数学的基本思想方法: 数形结合
探究新知 素养考点 1 已知两点利用待定系数法求一次函数的解析式
例1 一次函数图像经过点(2,0)和点(0,6),写出函数解析式.
解:设y=kx+b(k≠0) 由题意得:14.5=b,16=3k+b, 解得:b=14.5 ; k=0.5.所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5, 当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5(厘米). 即物体的质量为4千克时,弹簧长度为16.5厘米.
探究新知
像这样先设出_函__数_解__析__式____ ,再根据条件确定 _解__析__式__中__未_知__的__系__数____ ,从而具体写出这个式子的方 法,叫做待定系数法.
解:(1)设v=kt, 因为(2,5)在图象上, 所以5=2k, k=2.5,即v=2.5t.
(2,5)
(2,5)
(2) v=7.5 米/秒
t/秒
探究新知
例 在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米)是所挂物体质量 x(千克)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米;当 所挂物体的质量为3千克时,弹簧长16厘米.请写出y与x之 间的关系式,并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
答案:y=-4x+2
课堂检测Biblioteka 拓广探索题已知一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是- 3≤x≤ 6,
相应函数值的范围是- 5≤y≤ - 2 ,求这个函数的解析式.
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第一环节 复习引入
内容:提问:(1)什么是一次函数?
(2)一次函数的图象是什么?
(3)一次函数具有什么性质?
目的:学生回顾一次函数相关知识,温故而知新.
第二环节 初步探究
内容1:
展示实际情境
提供两个问题情境,供老师选用.
实际情境一:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式;
(2)下滑3秒时物体的速度是多少?
分析:要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定函数的类型,然后根据函数的类型设它对应的解析式,再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可.
实际情境二:假定甲、乙二人在一项赛跑中路程 与时间
的关系如图所示.
(1)这是一次函数的观点来考虑这个问题之外,还有学生是用推理的方式:挂3千克伸长了1.5厘米,则每千克伸长了0.5厘米,同样可以得到 与 间的关系式.对此,教师应给予肯定,并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同.
内容2:
想一想:大家思考一下,在上面的两个题中,有哪些步骤是相同的,你能否总结出求一次函数表达式的步骤.
2.本节课用到的主要的数学思想方法:数形结合、方程的思想.
目的:
引导学生小结本课的知识及数学方法,使知识系统化.
内容:
1.如图,直线 是一次函数 的图象,求它的表达式.
2.若一次函数 的图象经过A(-1,1),则 ,该函数图象经过点B(1,)和点C(,0).
3.如图,直线 是一次函数 的图象,填空:
(1) , ;
(2)当 时, ;
(3)当 时, .
4.已知直线 与直线 平行,且与y轴交于点(0,2),求直线 的表达式.
将 代入②,得 .
所以在弹性限度内, .
当 时, (厘米).
即物体的质量为 千克时,弹簧长度为 厘米.
目的:
引例中设置的是利用函数图象求函数表达式,这个例子选取的是弹簧的一个物理现象,目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式,进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型.这道例题关键在于求一次函数表达式,在求出一般情况后,第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解.
依据新课程标准制定教学重点:一次函数图象的应用.
依据学情制定教学难点:确地根据图象获取信息,并解决现实生活中的有关问题.
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节:
本节课设计了六个教学环节:第一环节:复习引入;第二环节:初步探究;第三环节:深入探究;第四环节:反馈练习与知识拓展;第五环节:课时小结;第六环节:作业布置.
第五环节 课时小结
内容:
总结本课知识与方法
1.本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式,在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法,即先设出解析式,再根据题目条件(根据图象、表格或具体问题)求出 , 的值,从而确定函数解析式。其步骤如下:(1)设函数表达式;(2)根据已知条件列出有关k,b的方程;(3)解方程,求k,b;4.把k,b代回表达式中,写出表达式.
1.教学目标:了解两个条件可确定一次函数;能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式;并能利用所学知识解决简单的实际问题.
2.知识目标:经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达式,进一步发展数形结合的思想方法;
3.能力目标:经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维.
第四章 一次函数
4.4.1一次函数的应用(第1课时)
一、学生起点分析
本节课之前,学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质,并了解了函数的三种表达方式:图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法,并进一步感受数形结合的思想方法.
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时,主要内容是利用图象、表格等信息,确定一次函数的表达式.与原教材相比,新教材更注重与实际联系,更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法;并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件,这个问题虽然简单,但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量.值得一提的是确定一次函数表达式,需要根据两个条件列出关于 、 的方程组,而二元一次方程组是下一章的学习内容,因此本节所研究的一次函数,某个参数应较易于从所给条件中获得,从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题.因此,在教学中要注意控制问题的难度,对于一般问题,可在下一章的学习中再加强训练.
(2)甲、乙二人谁先到达终点?
(3)甲、乙二人的速度分别是多少?
(4)求甲、乙二人 与 的函数关系式.
目的:利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式,一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法,即待定系数法,另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件.情景一、二可根据学生情况进行选取,情景二几个问题有一定的梯度,学生可能更易写出函数关系式.
求函数表达式的步骤有:1.设一次函数表达式.
2.根据已知条件列出有关方程.
3.解方程.
4.把求出的k,b值代回到表达式中即可.
目的:对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上,教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来,再根据条件求出这个未知系数,这种方法称为待定系数法.
第四环节 反馈练习
第三环节 深入探究
内容1:
例1在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数,一根弹簧不挂物体时长14.5cm;当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式,并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.
解:设 ,根据题意,得
14.5= , ①
16=3 + ,②
教学注意事项:学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式,如先求出速度,再写表达式,教师应给予肯定,但要注意比较两种方法异同,并突出待定系数法.
内容2:
想一想:确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?
目的:在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量.由于一次函数有两个基本量 、 ,所以需要两个条件来确定.
答案:
1.
2. .
3.(1) ;
(2) ;
(3) .
4. .
目的:
四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈,以便及时调整教学进程.
效果:
四个不同类型的问题由浅入深,学生能从不同角度掌握求一次函数的方法.对于问题4,教师可引导学生分析,并教学生要学会画图,利用图象分析问题,体会数形结合方法的重要性.学生若出现解题格式不规范的情况,教师应纠正并给予示范,训练学生规范答题的习惯.
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