湖北省八校2013届高三第一次联考数学文(附答案) (1)

湖北八校
2013届高三第一次联考
数学（文）试题
试卷满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的. 1．复数1i
z i
=-的实部为
A ．
1
2
B ．
2
i
C ．－
12
D ．－
2
i 2．集合A={
}
1610-2-+=x x y x ，集合B={}
A x x y y ∈=,log 2，则=⋂
B
C A R
A ．[]32，
B ．(]21，
C ．[]83，
D ．(]83，
3．若命题p:[]012,3,3-02
00≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是
A []2
-3,3,210x x x ∀∈++>
B ()()2
-,-33,,210x U x x ∀∈∞+∞++>
C ．()()2
-,-33,,210x U x x ∃∈∞+∞++≤
D ．[]012,3,3-02
00<++∈∃x x x
4．某实心几何体件的三视图如图所示，该几何体的体积为 A ．π236+ B ．π436+ C ．π836+ D ．π1036+
5．函数()sin()()2
f x A x π
ωϕϕ=+其中A >0,
||<的图象如上图所示，为了得到g （x ）＝
sin2x 的图象，则只要将f （x ）的图象
A ．向右平移6π
个单位长度 B ．向右平移12π
个单位长度
C ．向左平移6
π
个单位长度
D ．向左平移12
π
个单位长度
6．已知两个正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．7．等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列．n S 为{}n a 的前n 项和，则
3
6
S S = A ．2 B ．
87
C ．
9
8
D ．4
5
8．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P （a ，b ）落在区域｜x ｜＋｜y ｜≤3
中的概率为
A ．
25
36
B ．
1
6
C ．
1
4
D ．
112
9．如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB∥CD，若双曲线以A ，B 为焦点且过C ，
D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为
A 1
B 1
C
D 10．已知函数(0)
()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩
，则实数2t ≤-是关于x 的方程
2()()0f x f x t ++=．有三个不同实数根的
A ．充分非必要条件
B ．必要充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知抛物线2
2y ax =的准线为x ＝－
1
4
，则其焦点坐标为＿＿＿
12．三角形ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，
c ，若a =b ＝1，∠A ＝
3
π
，则∠B＝＿＿＿ 13．已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则
该长方体的外接球的半径为＿＿
14．超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属
于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过
70km/h,否则视为违规。

某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规的汽车大约为＿＿＿辆。

15．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，输出结果n = ．
16．已知扇形OAB 的半径为1，面积为
3
π
，设弧AB 上有异于A ，B 的动点C ，线段OC 与线段AB 交于点M ，N 为OM 的中点，则∠AOB＝＿＿＿＿
若(,)ON xOA yOB x y R =+∈则x ＋y ＝＿＿＿＿
17．已知点P （a ，b ）与点Q （1,0）在直线2x －3y ＋1＝0的两侧，则下列说法正确的序号
是＿＿＿＿
④2310a b -+>②0a ≠时，
b
a
有最小值，无最大值
③01,0,
1
b
a a
b a >≠>-且的取值范围为
三、解答题：本大题共6小题，共65分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知()2cos
(sin cos )222
x x x
f x =+ (1)求出)(x f 的单调递增区间； (2)若关于x 的方程f （x ）＝a 在
上有且仅有一个根，求a 的值．
19．（本小题满分12分）如图．在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底 面
ABCD, PD = DC = 2，E 是PC 的中点．
（1）证明：PA ／／平面EDB ； （2）证明：平面PA C⊥平面PDB ； （3）求三梭锥D 一ECB 的体积．
20．（本小题满分13分）大学生自主创业已成为当代潮流．长江学院大三学生夏某今年一月
初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年 后一次还清贷款，已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15％，每月月底需要 交纳个人所得税为该月所获利润的20%,当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全 部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出．
（1）设夏某第n 个月月底余n a 元，第n+l 个月月底余1n a +元，写出a 1的值并建立1n a +与n a 的递推关系； （2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．
21．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2
222y x a b
+1（a ＞b ＞0）经过点M （1，32），F 1，F 2是
椭圆C 的两个焦点，且｜MF 1｜＋｜MF 2｜＝4．O 为椭圆C 的中心。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P ，Q 是椭圆C 上不同的两点，且O 为△MPQ 的重心，试求△MPQ 的面积．
22．（本小题满分14分）已知函数2()ln ,()()f x x g x ax x a R ==-∈ （1）求f （x ）的单调区间和极值点；
（2）求使()()f x g x ≤恒成立的实数a 的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n ，不等式1
ln(1)n
n
e n e +<+
恒成立．
参考答案
一 ．选择题
1-10 CDAAA CCDBC
二．填空题 11．)0,41( 12．6π 13．2
25 14．110 15．3 16．
2
1
;32π 17．③④
三．解答题 18．（本小题12分）
解：（1）1)4
sin(21cos sin )(++
=++=π
x x x x f ……………………………2分
令)(2
24
2
2Z k k x k ∈+
≤+
≤-
π
ππ
π
π得)(x f 的单调增区间为
)(42,432Z k k k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-ππππ ……………………………6分 （2）由)(x f 在[]π2,0上的图象分析可知 当4
24
π
π
π
=
=
+
x x 即时，12+=a ……………………………9分
或当4
5234π
ππ
==
+
x x 即时，21-=a 综上21±=a ……………………………12分 19（本小题12分）
（1）证明：设O BD AC =⋂,连结EO
底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点
在PAC ∆中，EO 是中位线，PA EO ∴∥． ………………2分 而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，
所以PA ∥平面EDB ． ………………4分 （2）证明：底面ABCD 是正方形
BD AC ⊥， ………………5分
又⊥PD 底面ABCD
PD AC ⊥∴，又D BD PD =⋂ ………………7分 ⊥∴AC 面PDB ，而PAC AC ⊂
故⊥PAC 面PDB ………………8分 （3）D CB E ECB D V V --= ………………9分 故作DC EF ⊥于F ．
B
P
PD ⊥底面ABCD ,.PD DC ∴⊥
,EF PD F ∴∥为DC 的中点．
EF ∴⊥底面ABCD ………………10分
3
2
1222131=⨯⨯⨯⨯=-DCB E V ………………12分
20．（本小题13分）解：（1）151(200001+=a ％)-20000⨯15％⨯20％-1500=20900（元） ………………………………………2分
151(1+=+n n a a ％）-n a ⨯15％⨯20％-1500=1．12n a -1500（111,≤≤∈*n N n ）
………………………………………6分
（2）方法1：（构造）
令)(12.11λλ+=++n n a a ，则1+n a =λ12.012.1+n a ，对比得12500-=λ ………………………………………8分
则112.1)1250020900(12500--=-n n a ，即1250012.184001+⨯=-n n a
则1250012.184001112+⨯=a ≈41732（元） ……………………………11分 又年底偿还银行本利总计20000（1+6％）=21200（元）…………………………12分 故该生还清银行贷款后纯收入41732-21200=20532（元） ………………………13分 方法2：（列举）
150012.112-=a a
1500150012.112.11500)150012.1(12.1150012.112123-⨯-=--=-=a a a a
…… ……
1500150012.1150012.1150012.112.191011112-⨯-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯-⨯-=a a
417321
12.11
12.115002090048.311=--⨯-⨯=（元） …………………………11分
又年底偿还银行本利总计20000（1+6％）=21200（元）…………………………12分 故该生还清银行贷款后纯收入41732-21200=20532（元） ………………………13分
21．（本小题14分）解：（1）由椭圆的定义知2,42=∴=a a ，……………………3分
椭圆C 的方程为
1422
2=+b
y x ，带入点)23,1(M ，求得32=b ……………………5分
故椭圆13
4:2
2=+y x C …………………6分 （2）方法1：
若O 点为MPQ ∆的重心，设PQ 的中点为N ，则ON MO 2=，
则)4
3,21(--N ， ……………………8分
显然直线PQ 的斜率存在，不妨设为,k 联立
⎪⎩⎪⎨⎧=++=+1
34
)21(432
2y x x k y 消去y 得：04393)64()43(222=--+-++k k x k k x k )(* ………………………9分
点N 在椭圆内，0>∆恒成立，设),(),,(2211y x Q y x P ，则 由)(*式22143)64(k k k x x +--=
+，则=+=221x x x N 2
1
)43(2)64(2
-=+--k k k 2
1
-=∴k ， ……………………11分
即)(*式化简为2,022
-=∴=-+x x x 或1=x
不妨)23,1(),0,2(--Q P ，由椭圆对称性知2
9233212=⨯⨯⨯=∆MPQ S ． ……………………14分
（注：若联立方程组但)(*式未化简完全正确而后面由两根之和正确计算出2
1
-=k 时，统一扣2分．） （2）方法2：
另一方面，当Q P ,在椭圆上时，不妨),(),,(2211y x Q y x P ，则有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1
34
1342
2222
121y x y x ，两式相减得3))((4))((21212121y y y y x x x x -+-=-+ 则
2
1
22434321212121-=⨯-=++⨯-=--N N y x y y x x x x y y
即2
1
-=PQ k ， ……………………11分
∴直线PQ 的方程为)2
1
(2143+-=+
x y 即121--=x y ，
联立⎪⎩⎪
⎨⎧
=+--=1
34
12122y x x y 消去y 得2,022-=∴=-+x x x 或1=x
不妨)23,1(),0,2(--Q P ，由椭圆对称性知2
9
233212=⨯⨯⨯=∆MPQ S ．
……………………14分
22．（本小题14分）解：（1）令0)(/
=x f ，得e
x 1
=
， 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，0)(/
<x f 则)(x f 在)1,0(e
递减，
当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1e
x 时，0)(/
>x f ，)(x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1e 递增
综上)(x f 在)1,0(e
递减，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1e 递增，
)(x f 的极小值点为e
x 1
=
………………………3分 （注：极值点未正确指出扣1分） （2）方法1：
问题转化为1ln +≥x ax ， …………………………4分 令1ln )(--=x ax x h 则x
ax x a x h 11)(/
-=-
= ⅰ）当0≤a 时，0)(/
<x h ，)(x h 在0>x 单调递减，)(x h 无最小值，舍去；
…………………………5分
ⅱ）当0>a 时，令0)(/
=x h ，得a
x 1=
， 且a
x 10<
<时，0)(/
<x h ，)(x h 递减； a x 1≥
，0)(/
≥x h ，)(x h 递增，故故a a
h x h ln )1()(min == 只须0ln ≥a ，即1≥a ………………………8分 方法2：
问题转化为1ln +≥x ax
即x x x a 1
ln +≥
对0>∀x 恒成立 令x x x x h 1ln )(+=，则2/ln )(x
x
x h -=， …………………………4分 当10<<x 时，0ln <x ，则0)(/>x h ，故此时)(x h 单调递增
当1≥x 时，0)(/≤x h ，故此时)(x h 单调递减 …………………………6分 故1)1()(max ==h x h
故只须1≥a
综上1≥a ………………………8分 （3）要证明n
n
e n e 1)1ln(+
<+ 令e t e n
≥=，即证明t
t t 1ln )1ln(+<+
即证明t t t 1)1ln(<+，即证t
t 1
)11ln(<+ 即证1ln -<x x …………………………12分
而由（2）可知1=a 时，x x x x -≤2
ln ，
当1>x 时，1ln -<x x 故n n
e
n e 1
)1ln(+
<+是成立的，证毕。

…………………………14分。