高中数学第3章数系的扩充与复数3.2.2复数的乘法学案新人教B版选修2_2.doc

3.2.2 复数的乘法
1．能运用复数的乘法运算法则进行简单的计算．
2．掌握虚数单位“i”的幂的规律进行化简求值．
复数的乘法
(1)两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是在遇到i2时，要把______换成______，并把最后的结果写成a＋b i(a，b∈R)的形式．
(2)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的______．
(1)两个复数的积仍为复数．
(2)复数的乘法运算满足：①交换律：z1·z2＝z2·z1；②结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③乘法对加法的分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.
(3)对复数z1，z2，z和自然数m，n有：z m·z n＝z m＋n，(z m)n＝z m·n，(z1·z2)n＝z n1·z n2.实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．
【做一做1－1】计算(1－i)4得( )．
A．4 B．－4
C．4i D．－4i
【做一做1－2】(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)的运算结果是________．
共轭复数有哪些运算性质？
剖析：(1)z·z＝|z|2＝|z|2；
(2)z2＝(z)2；
(3)z1·z2＝z1·z2；
(4)z1±z2＝z1±z2.
题型一复数乘法运算【例题1】计算：(2－3i)(3＋2i)
分析：根据运算法则计算即可．
反思：复数的乘法与多项式乘法类似，在计算两个复数相乘时，先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可．
题型二i的幂的运算
【例题2】已知等比数列z1，z2，z3，…，z n，其中z1＝1，z2＝x＋y i，z3＝y＋x i(x，y∈R，且x＞0)．
(1)求x，y的值；
(2)试求使z1＋z2＋z3＋…＋z n＝0的最小正整数n；
(3)对(2)中的正整数n，求z1·z2·z3·…·z n的值．
分析：借助等比数列建立等式关系，利用复数相等的充要条件，将复数问题转化成实数问题来求解，进而得到数列通项公式，然后便使问题逐步得以解决．
反思：(1)1,i,
i 1,i,n
⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩＝4414243.
n k k n k k n k k n k k ∈∈∈∈Z Z Z Z ＝，，＝＋，，＝＋，，＝＋，
(2)i n
＋i n ＋1
＋i n ＋2
＋i n ＋3
＝0，n ∈Z .
题型三 共轭复数的性质
【例题3】若z ，z 0∈C ，z ≠z 0，且|z |＝2，求
4z z zz --的值.
分析：要用z 表示
004z z zz --比较困难，z 0没有具体给出，要想求0
4z z zz --的值，必须充
分利用|z |＝2，为此要考虑用|z |的性质|z |2
＝2
z zz = 反思：2
2
z z zz ==是在求解复数问题时常用的一个公式.
题型四 易错辨析
易错点：有些同学总认为只要是复数式子就不能比较大小，这种观点是错误的.错误原因是：若两复数经化简后为实数，则能比较大小，因此要注意运算时式子中的隐含条件. 【例题4】已知z 1，z 2∈C ，且z 1·z 2≠0，1212,A z z z z =⋅+⋅1122·B z z z z +⋅＝，问A ，B 可否比较大小？并说明理由.
错解：因为z 1，z 2∈C ，且z 1·z 2≠0，所以A ∈C ，而B ＝|z 1|2＋|z 2|2
∈R ，所以A ，B 不能比较大小
.
1设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于( ). A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2
2
设复数1z =+则z 2
－2z 等于( ).
A ．－3
B ．3
C ．－3i
D ．3i
3设z ∈C ，2212i z z z ＝－,2z z z =⋅,则复数z 1与z 2的关系是( ).
A ．z 1≤z 2
B ．z 1≥z 2
C ．z 1＝z 2
D ．不能比较大小
4已知复数z 与(z ＋2)2
－8i 均是纯虚数，则z ＝________.
5已知复数z 1＝cos θ－i ，z 2＝sin θ＋i ，则z 1·z 2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________. 答案：
基础知识·梳理
1．(1)i 2
－1 (2)平方
【做一做1－1】B (1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2
＝－4.
【做一做1－2】－20＋15i (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.
典型例题·领悟
【例题1】解：(2－3i)(3＋2i)＝6＋4i －9i －6i 2
＝6＋4i －9i ＋6＝12－5i.
【例题2】解：(1)由z 1z 3＝z 22，得(x ＋y i)2
＝y ＋x i ，
根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
－y 2
＝y ，2xy ＝x
(x ＞0)．解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
2，
y ＝12.
(2)z 1＝1，z 2＝
32＋12i ，q ＝32＋12i ，则z n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＋12i n －1
，于是z 1＋z 2＋…＋z n ＝1＋q ＋q 2
＋…＋q n －1
＝1－q n
1－q ＝0，则q n
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＋12i n ＝1，即n 既是3的倍数又是4的倍数．
故n 为12的倍数，所求最小的正整数n 为12.
(3)z 1·z 2·…·z 12＝1·⎝
⎛⎭⎪⎫32＋12i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 11＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫32＋12i 1＋2＋…＋11
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 66＝(－i)66⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－12＋32i 66＝－1. 【例题3】解法一：∵|z |＝2，|z |2
＝z z ＝4，
∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z 04－z z 0
＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z 0
z z －z z 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z 0z z －z 0＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1z ＝1
2. 解法二：⎪⎪⎪⎪
⎪⎪z －z 04－z z 0
2＝z －z 0
4－z z 0·z －z 04－z z 0＝|z |2＋|z 0|2
－z z 0－z z 016＋|z |2|z 0|2－4z z 0－4z z 0＝4＋|z 0|2
－z z 0－z z 0
＋|z 0|2
－z z 0－z z 0
＝14
， ∴⎪⎪⎪⎪
⎪⎪z －z 04－z z 0
＝12. 【例题4】错因分析：错解中直接由z 1C ，z 2C 得A C 是不严密的，事实上只要求出
A 就能发现A 为实数．
正解：因为A ＝z 1·z 2＋z 1·z 2，故A ＝z 2·z 1＋z 1·z 2＝A ，即A R ，而B ＝z 1·z 1
＋z 2·z 2＝|z 1|2
＋|z 2|
2
R ，所以A ，B 可以比较大小，且有
A －
B ＝z 1·z 2＋z 2·z 1－(z 1·z 1＋z 2·z 2)＝z 1(z 2－z 1)＋z 2(z 1－z 2)＝－(z 1
－z 2)(z 1－z 2)＝－|z 1－z 2|2
≤0，
故有A －B ≤0，即A ≤B . 随堂练习·巩固
1．A ∵z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i R ，∴x ＋2＝0，∴x ＝－2.
2．A z 2－2z ＝(1＋2i)2
－2(1＋2i)＝－1＋22i －2－22i ＝－3.
3．A 设z ＝a ＋b i(a ，b R )，则z 2
＝a 2
－b 2
＋2ab i ，z 2
＝a 2
－b 2
－2ab i ，z 2
－z 2
＝4ab i ，所以2i z 1＝4ab i ，∴z 1＝2ab ，z 2＝z ·z ＝a 2
＋b 2
≥2ab .
4．－2i 设z ＝b i(b R ，且b ≠0)，则(b i ＋2)2
－8i ＝(4－b 2
)＋(4b －8)i 为纯虚数．所
以⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－b 2
＝0，4b －8≠0，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝±2，
b ≠2.即b ＝－2.
5．3
2
2 z 1·z 2＝(cos θ·sin θ＋1)＋(cos θ－sin θ)i ，实部为cos θsin θ
＋1＝1＋12sin 2θ≤32，故实部的最大值为32，虚部为－sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ≤2，故虚部的最大值为 2.。