人教版高中数学《等比数列的前n项和公式》教学课件

五 公式推导过程欣赏
等比数列的前n项和
已知等比数列 an 的首项为 a1 ，公比为 q ，则 Sn=？
当q 1时 1 q= (1 q)(1 q) 1 q2
1 q
1 q
1 q q2 = (1 q q2 )(1 q) 1 q3
1 q
1 q
1 q q2
q n 1
=
(1 q
1 qn
q2
1
(1)
(1)×q , 得
qSn
a1q a1q2
a1qn2 a1qn1 a1qn. (2)
(1)-(2)，得 1 q Sn a1 a1qn ,
因此，当q≠1时，Sn
a1 1 qn 1 q
；当q=1时， Sn na1
整体运用 构造方程
定义+ 累加法
定义+ 比例性质
三 学以致用，解决问题
等比数列的前n项和
在等比数列 an 中，
S3
7 2
,
S6
63 2
,求公比
q.
当q不确定时，
不要忘了对q进
行分类讨论哦！
三 学以致用，解决问题
等比数列的前n项和
我国明代数学家程大位著的《算法统宗》中有 如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯。”
意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两 层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶 层共有多少盏灯？
四 小结
等比数列的前n项和
等比数列的前n项和公式
知识、方法
思想、情感
五 作业
等比数列的前n项和
1.必做题：课本37页，第1题，第3题。
2.选做题：已知等比数列{an}的公比q ≠-1，前n 项和为Sn，证明Sn , S2n-Sn , S3n-S2n成等比数列， 并求这个数列的公比.
3.研究性作业：利用元旦假期，以小组为单位
三 学以致用，解决问题
等比数列的前n项和
设等比数列{an},设首项为a1,公比为q,其前n项和为
Sn
a1
(1 q 1 q
n）
na1
(q 1) (q 1)
【已知a1、q、n，求Sn】
Sn
a1 an 1 q
q
na1
(q 1) (q 1)
【已知a1、q、an，求Sn】
三 学以致用，解决问题
等比数列的前n项和
引例. S64 1 2 22 263
S64
1
(1-264 ) 1-2
264
1
=18 446 744 073 709 551 615 （粒）
如果把这些麦粒依次排列,它的长度就相当于地球 到太阳距离的2万倍。若按万粒400克计算，可达 7000亿吨.
据私营分析机构Informa经济公司发布的报告显 示，2016年全球粮食总产量预计为7.08亿吨 。
等比数列的前n项和 公式
一 创设情境，引入新课
等比数列的前n项和
“棋盘上的麦粒”
国际象棋的棋盘是正方形，黑白相间共64格，传说在很久 以前，古印度国王在宫廷单调的生活中，发现了也就是现今 的国际象棋如此的有趣之后，决定要重赏发明者——他的宰 相，让他随意选择奖品，宰相说：“请在棋盘的第1个格子里 放1颗麦粒，第2个格子里放2颗麦粒，第3个格子里放4颗麦粒， 依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦 粒数的2倍，直到第64格。请给我足够的麦粒以实现上述要 求。”国王一听，几颗麦粒，加起来也不过一小袋，他就答 应了宰相的要求。请你想一想国王能实现他的诺言吗？
q
q n 1
)(1
q)
=
Sn
a1
a1q
a1q 2
1 q
a1q n 1 =
a（1 1 qn） 1 q
q
(1 q)Sn a1 anq
公式推导过程欣赏
等比数列的前n项和
等比数列 an 的首项为 a1 ，公比为 q ，则 Sn=？
由等比数列的定义知， a2=a1q a3=a2q
a4=a3q
an=an-1q 以上各式累加，得
a2+a3+…+an=q(a1+ a2+a3+…+an-1)
即，Sn-a1=q(Sn-an) (1 q)Sn a1 a1qn
na1 an 化简（项由多变少）
Sn
n a1 an
2
关键量（首项、末项）
公式推导过程欣赏
等比数列的前n项和
等比数列 an 的首项为 a1 ，公比为 q ，则 Sn=？
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1 q(a1 a1q a1qn3 a1qn2 ) a1 q (Sn a1qn1)
，通过查阅资料或研究创新，以“等比数列前n
项和的证明方法及其思维逻辑”为题写一篇研
究性小论文。
等比数列的前n项和
等差数列前n 项和——求法
{Sn a1 a2 a3 an1 an 构造 Sn an an1 an2 a2 a1
以上两式相加，得 方程思想
2Sn a1 an (a2 an1) (an1 a2) (an a1)
定义+ 累加法
定义+ 比例性质
二 合作探究，推导公式
等比数列的前n项和
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1.
(1)
(1)×q , 得
qSn a1q a1q2
a1qn2 a1qn1 a1qn.
(2)
二 合作探究，推导公式
等比数列的前n项和
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1.
S64= 1 2 2 2 2 63
二 合作探究，推导公式
等比数列的前n项和
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,其前n项和为
Sn a1 a2 a3 an
由等比数列通项公式，
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
等差数列 倒序相加
整体运用 构造方程
(1 q)Sn a1 a1qn
公式推导过程欣赏
等比数列的前n项和
等比数列 an 的首项为 a1 ，公比为 q ，则 Sn=？
Sn a1 a2 a3 an1 an
a2 a3 an q
a1 a2
an1
a2 a3 an q
a1Sn an