菲翔学校高三数学元月调研考试试题理含解析试题

墨达哥州易旺市菲翔学校2021届高三数学元月调研考试试题理〔含解析〕
一､选择题:此题一共12小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.
5i
z i =
+上的虚部为〔〕 A.526 B.
526
i C.526
-
D.526
i -
【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到15
2626
z
i =
+计算虚部得到答案. 【详解】()515
262626
i i z i -=
=+，所以5i z i =
+的虚部为526. 应选：
A
【点睛】此题考察了复数虚部的计算，属于简单题.
{}()(){}2|9,|2140A x x B x x x =>=+-<，那么()R C A B =〔〕
A.
{}|34x x -<<
B.1|32x x ⎧
⎫-
<≤⎨⎬⎩⎭ C.
{}
|34x x -≤<
D.1|32x x ⎧⎫-
<<⎨⎬⎩
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得集合
,A B ，由此求得()R C A B ⋃.
【详解】由29x >解得3x <-或者3x >，所以{}|33R C A x x =-≤≤.由()()2140x x +-<解
得142x -
<<，所以1|42B x x ⎧⎫
=-<<⎨⎬⎩⎭
，所以(){}|34R C A B x x ⋃=-≤<.
应选：C.
【点睛】本小题主要考察集合补集和并集的概念和运算，考察一元二次不等式的解法，属于根底题. 3.,αβ是两个不同的平面，,m l 是两条不同的直线，且,,m l αβααβ⊥⊂⋂=，那么“m l ⊥〞
是“m β⊥〞的〔〕条件 A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也
不必要 【答案】C 【解析】 【分析】
由面面垂直的性质定理、线面垂直的概念，结合充分、必要条件，判断出正确选项. 【详解】假设m l ⊥，根据面面垂直的性质定理可知m β⊥；假设m β⊥，那么由l β
⊂可得m l ⊥.
所以“m l ⊥〞是“m β⊥〞的充要条件 应选：C.
【点睛】本小题主要考察面面垂直的性质定理，考察充分、必要条件的判断，属于根底题.
4.某地有两个国家AAAA 级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2021年1月至6月的月客流量〔单位：百人〕，得到如下列图的茎叶图.关于2021年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的选项是．．．．．．
〔〕
A.甲景区月客流量的中位数为12950人
B.乙景区月客流量的中位数为12450人
C.甲景区月客流量的极差为3200人
D.乙景区月客流量的极差为3100人
【解析】 【分析】
分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案. 【详解】根据茎叶图的数据：
甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人. 甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人. 应选：D
【点睛】此题考察了茎叶图中位数和极差的计算，意在考察学生的应用才能. 5.执行下边的程序框图，假设输入的x 的值是5，那么输出的n 的值是〔〕 A.2 B.3
C.4
D.5
【答案】C 【解析】 【分析】
根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】执行程序框图：(),x n 依次为()5,0，()7,1，()9,2，()11,3，()13,4∵21313132+>
∴输出的n 的值是4. 应选：C
【点睛】此题考察了程序框图的计算，意在考察学生对于程序框图的理解才能.
{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，那么15S =〔〕
A.16
B.19
C.20
D.25
【答案】B
【分析】 利用5S ，10
5S S -，1510S S -成等比数列求解
【详解】因为等比数列
{}n a 的前
n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为
54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.
应选：B
【点睛】此题考察等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是根底题
sin 2y x =向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到曲线5cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，那么tan ϕ=〔〕
B. D.-
【答案】B 【解析】 【分析】
变换得到sin 2cos 22x
x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，根据平移得到()23k k πϕπ=+∈N ，计算得到答案.
【详解】sin 2cos 22x
x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以52cos 2cos 2632x x πππ⎡⎤
⎛
⎫
⎛⎫+
=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦
，
所以()23
k k π
ϕπ=
+∈N ，那么tan ϕ= 应选：B
【点睛】此题考察了三角函数的平移，变换sin 2cos 22x
x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭是解题的关键.
8.
()()
5
2122x x --的展开式中8x 的项的系数为〔〕
A.120
B.80
C.60
D.40
【答案】A
【分析】 化简得到()()()()
5
5
5
212222222x x x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.
【详解】
()()()()5
5
5
212222222x x x x x =⋅-----
展开式中8x 的项为()()
2
3
23
32
5
5
2C 22
C 22
1208x
x x x ---=⨯.
应选：
A
【点睛】此题考察了二项式定理，意在考察学生的计算才能.
()1cos 2cos x
f x x
+=
+，()()20g x ax a =->.假设1x R ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，那
么a 的取值范围是〔〕
A.21,
3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B.2,23⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C.4,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.4,3⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
【答案】C 【解析】
【分析】
根据条件求出
()f x 的值域，与()g x 的值域，由1x R ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，可得两
值域的包含关系，即可求得参数a 的取值范围. 【详解】解：因为
()2cos 11
12cos 2cos x f x x x
+-=
=-
++，1
2cos 3x +，所以()f x 的值域为
20,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 因为0a
>，所以()g x 在[]1,2上的值域为[]2,22a a --，依题意得[]20,2,223a a ⎡⎤
⊆--⎢⎥⎣⎦
，那
么
20,
222,3a a -⎧⎪
⎨
-⎪⎩
解得423a .
【点睛】此题考察函数方程思想的综合应用，属于中档题.
1所示，它的盛酒局部可以近似地看作是半球与圆柱的组合体〔如图2)．当这种酒杯内壁外表积〔假设内壁外表光滑，外表积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米〕固定时，假设要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，那么R 的取值范围为(
)
A.⎛ ⎝
B.⎫
+∞⎪⎪⎭ C.
D. 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，酒杯内壁外表积为圆柱与半球的外表积，列出S 的表达式，再求出体积V ，解不等式即可． 【详解】解：设圆柱的高度与半球的半径分别为
h
，
R
，那么
222S R Rh
ππ=+，那么
22
S
Rh R ππ=
-， 所以酒杯的容积323233224
()332323
S S V R R h R R R R R R ππππππ=
+=+-=-+， 又0h >，所以
202
S
R π->， 所以2
252
3S R
R ππ<
2S R ππ
<，
应选：D ．
【点睛】考察了组合体的体积和外表积计算，属于中档题．
()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的
直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，假设12PQ F P =，那么双曲线的离心率为〔〕
C.2
D.3
【答案】B 【解析】 【分析】
设
1
l ：
b
y x
a
=-，
2
l ：
b y x
a
=，联立方程得到
2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，再计算
2PQ b
=
，
OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.
【详解】记O ()1,0F c -，不妨设1l ：
b y x a =-
，2l ：b y x a
= 那么直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
那么2,a ab P c c ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =，所以12PQ PF = 所以
2PQ b =
，OQ =
2222
1
cos QOF ∠=
.
因为2
tan b QOF a ∠=
，所以2cos a
QOF c
∠=，
2222
0a
c
=，整理得4224430c a c a -+=，那么42430e e -+=
解得e =.
应选：B
【点睛】此题考察了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考察学生的综合应用才能和计算才能.
()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，
()()
cos 0sin x f x f x x '-<，那么不等式(
)sin 3f x f x π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
的解集为〔〕
A.,00,33ππ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B.,0,332πππ⎛⎫⎛⎫
-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C.,,2332ππππ⎛⎫⎛⎫
-
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ D.,0,233πππ⎛⎫⎛⎫
-
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】
令
()()
sin f x h x x
=
，易得
()()sin f x h x x
=
是定义在
,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上的偶函数，因为
()()
cos 0sin x f x f x x '-<，可知()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增，从而可以根据
函数的单调性，确定不等式的解.
【详解】令()()sin f x h x x
=，∵()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，
∴()()sin f x h
x x
=
是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数．
当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，sin 0x
>，由()()
cos 0sin x
f x f x x
'-<，得()()sin cos 0f x x f x x '⋅-⋅<， ∴()()()2
sin cos 0sin f x x f x x h x x
'⋅-⋅'
=<
，那么()h x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减． 将
()sin 33f x f x π⎛⎫
<
⎪⎝⎭
化为()3
sin sin 3
f f x x ππ⎛⎫
⎪
⎝⎭<，即()3h x h π⎛⎫< ⎪⎝⎭，那么32x ππ<<．
又()()sin f x h
x x
=
是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数．
∴()h x 在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增，且33h h ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
当,02x π⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭时，sin 0x <，将(
)sin 33f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭
化为()3
sin sin 3
ππ⎛⎫
⎪
⎝⎭>f f x x ，
即()33h
x h h ππ⎛⎫
⎛⎫
>=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，那么03x π-<<． 综上，所求不等式的解集为,0,332πππ⎛⎫⎛⎫
-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 应选：B
【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单调性以及利用函数的单调性解不等式，构造函数是解决此题的关键.
二､填空题:本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分.
28x y =上的点P 到焦点的间隔为8，那么P 到x 轴的间隔是________.
【答案】6 【解析】 【分析】
由抛物线的焦半径公式得那么()00,P x y 的坐标，那么到x 轴的间隔可求．
【详解】设点()00,P x y ，那么028y +=，即06y =，即P 到x 轴的间隔是6.
故答案为：6
【点睛】此题考察抛物线的HY 方程，着重考察抛物线定义的应用，是根底题．
ABC ∆满足“勾3股4弦5〞，其中“股〞4AB =，D 为“弦〞BC 上一点〔不含端点〕，且ABD
∆满足勾股定理，那么()CB CA AD -⋅=______.
【答案】
144
25
【解析】 【分析】
先由等面积法求得
AD ，利用向量几何意义求解即可.
【详解】由等面积法可得
3412
55
AD ⨯=
=，依题意可得，AD BC ⊥， 所以()
2144
25
CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==.
故答案为：144
25
【点睛】此题考察向量的数量积，重点考察向量数量积的几何意义，属于根底题.
22log ,02()69,2
x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩假设()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<,那么
()1234x x x x ⋅⋅+的值是_____.
【答案】6 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据图像知346x x +=，计算得到121x x ⋅=，计算得到答案.
【详解】如下列图：
34
32
x x +=,那么346x x +=. 2122log log x x -=,所以()212log 0x x ⋅=,即121x x ⋅=,故()12346x x x x ⋅⋅+=.
故答案为：6
【点睛】此题考察了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
{}n a 中，13a =，且()()12(1)22n n n a n a n +-=++-
〔1〕
{}n a 的通项公式为________；
〔2〕在
1a ，2a ，3a ，，2019a 这2021项中，被10除余2的项数为________.
【答案】(1).222n a n n =-+(2).403
【解析】 【分析】
〔1〕等式两边同除()1n
n +构造数列为等差数列即可求出通项公式；
〔2〕利用通项公式及被10除余2的数的特点即可求解 【详解】〔1〕因为()()12(1)22n n n
a n a n +-=++-，所以
12222
1n n n a a n a n n n
+-+--==+
2+，即
12221n n a a n n +---=+，那么2n a n -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列且首项为1，差为2，所以
2
12(1)n a n n
-=+- 21n =-，故222n a n n =-+
〔2〕因为(21)2n n n a =-+，所以当n 能被10整除或者n 为偶数且21n -能被5整除时，n a 被10除余2，所以8,10,18,20,
,2010,2018n
=，故被10除余2的项数为
2010
14035
+=. 故答案为：222n
a n n =-+；403
【点睛】此题考察数列的通项，考察构造法，注意解题方法的积累，属于中档题． 三､解答题:一共70､证明过程或者演算步骤,第17~2122､23题为选考题,考生根据要求答题. (一)必考题:一共60分.
23
()cos sin 2
f x x x x =+-
，a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.()0f A =，2b =.
〔1〕假设a
=B ；
〔2〕假设2a c =，求ABC ∆的面积.
【答案】(1)6
B π
=
.(2)
6
【解析】 【分析】
〔1〕运用二倍角正余弦公式和辅助角公式，化简f 〔x 〕，并求得
3
A π
=
，再利用正弦定理求得
1
sin 2
B =
，可得结论；
〔2〕由三角形的余弦定理得c =
结合面积公式，求得b ，c 的关系，即可得到所求三角形的周
长．
【详解】
〔1〕1cos23()2sin 21226x f x x x π-⎛
⎫=+-=-- ⎪⎝
⎭， 因为
()0f A =，所以26
2
A π
π
-
=
，即
3
A π
=
.
因为
sin sin a b A B
=
，所以sin 1sin 2b A B a ==， 因为(0,)B π∈，所以6
B π
=或者
56
π， 又b a <，所以6
B π
=
.
〔2〕由余弦定理，可得2
22(2)
222cos 3
c c c π
=+-⨯⨯，
即23240c c +-=，解得13
c -+=
〔负根舍去〕，
故ABC ∆的面积为
11sin 2sin 223bc A π=⨯=
【点睛】此题考察三角函数的恒等变换，正弦函数的图形和性质，考察解三角形的余弦定理和面积公式，考察化简整理的运算才能，属于中档题．
18.某土特产超为预估2021年元旦期间游客购置土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购置情况进展统计，得到如下人数分布表.
〔1〕根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购置金额是否少于60元与性别有关.
〔2〕为吸引游客，该超推出一种优惠方案，购置金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p〔每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购置金额不少于60元的频率〕，中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.假设游客甲方案购置80元的土特产，请列出实际付款数X〔元〕的分布列并求其数学期望.
附：参考公式和数据：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，n a b c d
=+++.
附表：
)
2
k
【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购置金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75
【解析】
【分析】
〔1〕完善列联表，计算21440
3.841 247
K=>得到答案.
〔2〕先计算
1
3
p=，分别计算()1
65
27
P X==，()2
70
9
P X==，()4
75
9
P X==，
()8
80
27
P X==，得到分布列，计算得到答案.【详解】〔1〕22
⨯列联表如下：
()2
2
901220401814405 3.84130605238247
K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，
因此有95%的把握认为购置金额是否少于60元与性别有关. 〔2〕
X
可能取值为65，70，75，80，且
10201
903
p +=
=. ()3
331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2
2312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪
⎝⎭， ()2
13
12475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3
032880327
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以
X
的分布列为
6570758075279927
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察了列联表，分布列，意在考察学生的应用才能和计算才能. 19.如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90C
∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，
G 在线段BC 上，且3BG CG =。

将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到1A 的位置〔如图2所示〕，且
1A F CD ⊥。

〔1〕证明：//BE 平面1A FG ；
〔2〕求平面
1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值
【答案】〔1〕证明见解析
〔2【解析】
【分析】
〔1〕要证明线面平行，需证明线线平行，取
BC
的中点
M
，连接
DM
，根据条件证明
//,//DM BE DM FG ，即//BE FG ；
〔2〕以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立
空间直角坐标系F
xyz -，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.
【详解】〔1〕证明：取BC 的中点M ，连接DM . ∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点. 又F 为CD 的中点，∴//FG DM .
依题意可知//DE BM ，那么四边形DMBE 为平行四边形， ∴//BE DM ，从而//BE FG . 又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ， ∴//BE 平面1A FG .
〔2〕
1,DE AD DE DC ⊥⊥，且1A D
DC D =，
DE ∴⊥平面ADC ，1A F ⊂平面ADC ， 1DE A F ∴⊥，
1A F DC ⊥，且DE DC D ⋂=， 1A F ∴⊥平面BCDE ，
∴以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空
间直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =，
那么()0,0,0F
，(1A ，()1,4,0B ，()1,2,0E -，()1,1,0G ，
(
1FA =，()1,1,0FG =，(1
1,2,A E =-，()2,2,0EB =.
设平面
1A FG 的法向量为()1111,,n x y z =，
那么100
n FA n FG ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
，即1110
x y =+=⎪⎩，
令1
1x =，得()1,1,0n =-.
设平面
1A BE 的法向量为()222,,m x y z =，
那么100m A E m EB ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
，即2222220
220
x y x y ⎧-+=⎪⎨
+=⎪⎩，
令2
1x =
，得(1,1,m =-.
从而cos ,m n <>=
= 故平面
1A FG 与平面1A BE
【点睛】此题考察线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考察空间想象才能，推理证明和计算才能，属于中档题型，证明线面平行，或者证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或者证明时，需考虑构造中位线或者平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.
22
22:1(0)x y a b a b
Ω+=>>
的焦距为
短轴长为
(1)求Ω的方程; (2)直线1:
(0)l y kx m k =+≠与Ω相切于点M ,1l 与两坐标轴的交点为A 与B ,直线2l 经过点M 且与1l 垂
直,2l 与Ω的另一个交点为N .当AB 获得最小值时,求
ABN 的面积.
【答案】(1)22182
x y +=
(2)【解析】 【分析】
〔1
〕直接计算得到b
=2228a b c =+=，得到椭圆方程.
〔2〕联立22
18
2y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，计算0∆=得到2282m k =+，
||AB =不等式得到2
1
2
k
=
，26m =，再计算面积得到答案.
【详解】(1)因为2
c =,所以
c =
2b
=,所以b =
所以2228a b c =+=,
所以Ω的方程为22
182
x y +=.
(2)联立22
18
2y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()222
148480k x kmx m +++-=. 因为直线l 与Ω相切,所以()()2
22(8)414480km k m ∆=-+-=,
即2
282m k =+.
1l 在x 轴､y 轴上的截距分别为,m
m k
-
,
那么
||AB ===
=≥= 当且仅当2
2
28k k
=
,即k =时取等号.
所以当2
1
2
k
=
时,AB 获得最小值,此时26m =.
根据对称性,
不妨取2k
m =
=
此时2
8214M km x k =-=+
即M
x =
从而2M y =+=
联立22
18
2y x x y ⎧=+⎪⎪⎭⎨
⎪+=⎪⎩消去
y ,得29160x ++=,
那么M
N N x
x x +=+=,解得N
x =
所以8||3M N MN
x =-=
,故ABN 的面积为18
23
⨯⨯=【点睛】此题考察了椭圆方程，面积的计算，意在考察学生的计算才能和转化才能.
()()()1ln 1f x x x m n =++++⎡⎤⎣⎦，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =+.
〔1〕求m ，n 的值和
()f x 的单调区间；
〔2〕假设对任意的[)0,x ∈
+∞，()f x kx >恒成立，求整数k 的最大值.
【答案】〔1〕1m =，0n =，
()f x 的单调递增区间为211,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为211,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
；
〔2〕3. 【解析】 【分析】 〔1〕求导得到
()()'ln 11f x x m =+++，根据切线方程计算得到1m =，0n =，代入导函数得到函
数的单调区间.
〔2〕讨论0x
=，0x >两种情况，变换得到()11
1ln 11x x k x
⎛⎫++++ ⎪⎝
⎭
<，设
()()111ln 11h x x x x ⎛⎫
=++++ ⎪⎝⎭
，求函数的最小值得到答案.
【详解】〔1〕()()'ln 11f
x x m =+++，由切线方程，知()01f m n =+=，()'012f m =+=，
解得1m =，0n =. 故()()()1ln 11f x x x x =++++，()()()'ln 121f x x x =++>-， 由
()'0f x >，得211x e >
-；由()
'0f x <，得2
1
11x e -<<-. 所以
()f x 的单调递增区间为211,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为211,1e ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
.
〔2〕①当0x
=时，()0100f k =>⨯=恒成立，那么k ∈R .
②当0x
>时，()f x kx >恒成立等价于()111ln 11x x k x ⎛⎫
++++ ⎪⎝⎭
<对()0,∞+恒成立.
令()()111ln 11h
x x x x ⎛⎫=+
+++ ⎪⎝
⎭，()()2ln 11
'h x x x x
-+-=，()0,x ∈+∞. 令()()ln 11u
x x x =-+-，()0,x ∈+∞，
那么()1'1101
x
x u x x =-
=>++对()0,x ∈+∞恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递增. 又()21ln30u
=-<，()32ln 40u =->，所以()02,3x ∃∈，()00u x =.
当()00,x x ∈
时，()'0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >.
所以()()()min 000011
1ln 11h x x h
x x x ⎛⎫==++++ ⎪⎝⎭
，又()()000ln 110u x x x =-+-=， 那么
()()()min
0000111ln 11h x x h x x x ⎛⎫==++++ ⎪⎝⎭()()000011
11113,4x x x x ⎛⎫=+-++=+∈ ⎪⎝⎭
，
故01k
x <+，整数k 的最大值为3.
【点睛】此题考察了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键. (二)选考题:一共10分,请考生在第22､23题中任选一题答题,假设多做,那么按所做的第一题计分.
xOy 中，直线l
的参数方程为12x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
〔t 为参数〕，曲线C 的参数方程为cos sin x m y a n αα=⎧⎨
=+⎩〔0m >，0n >，α为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为8sin ρ
θ=.
〔1〕求a ，m ，n 的值； 〔2〕点P 的直角坐标为
()0,1，l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +.
【答案】〔1〕4a m n ===；〔2
.
【解析】
【分析】
〔1〕根据极坐标方程得到()2
2
416x
y +-=，根据参数方程得到答案.
〔2
〕将参数方程代入圆方程得到270t --=
，根据韦达定理得到120t t +=>，
1270t t =-<，计算12
PA PB t t +=-得到答案.
【详解】〔1〕由8sin ρ
θ=，得28sin ρρθ=，那么228x y y +=，即()2
2416x y +-=.
因为0m >，0n >，所以4a m n ===.
〔2
〕将212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入()22
416x y +-=
，得270t --=.
设
A ，
B 两点对应的参数分别为1t ，2t
，那么120t t +=>，1270t t =-<. 所以
12t t P PB A =-=
=
+.
【点睛】此题考察了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.
()3124f x x x =+--.
〔1〕求不等式
()3f x >的解集；
〔2〕假设对任意x ∈R ，不等式
()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围.
【答案】〔1〕
()
4,10,5⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
；〔2〕1t ≤-或者9t ≥. 【解析】 【分析】
〔1〕分别计算1x <-，12x -≤≤，2x >三种情况，综合得到答案.
〔2〕化简得到
()23336f x x x x --=+--，利用绝对值三角不等式得到
()29f x x --≤，解不等式289t t -≥计算得到答案.
【详解】〔1〕当1x <-时，
()()()31243f x x x =-++->，解得10x <-；
当12x -≤≤时，()()()31243f x x x =++->，解得45
x >，那么425x <≤； 当2x >时，()()()31243f x x x =+-->，解得4x >-，那么2x >.
综上所述：不等式
()3f x >的解集为()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 〔2〕()231242f x x x x x --=+----3132x x =+--3336x x =+-- ()33369x x ≤+--=，当2x ≥时等号成立.
假设对任意x ∈R ，不等式
()228f x x t t --≤-恒成立，即289t t -≥， 解得1t ≤-或者9t ≥.
【点睛】此题考察理解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考察学生的综合应用才能.。