江西省赣州市南康区2019年高二第二学期线上教学检测试卷(三)理科数学试题及解析

南康区2019－2020学年第二学期线上教学检测试卷(三)
高二数学(理)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)
1.已知集合{}|14A x x =<<,{}|2,B y y x x A ==-∈,集合2|ln 1x C x y x -⎧⎫
==⎨⎬+⎩⎭
,则集合B C ⋂=( ) A.{}|11x x -<< B.|1
1
x x
C.{}
|12x x -<<
D.{}|12x x -<≤
【参考答案】A 【试题解答】 由
已
知
{|21}
B y y =-<<,
20{|12}
1x C x x x x ⎧⎫-==-<<⎨⎬+⎩⎭
,所以
{|11}B C x x ⋂=-<<,故选A.
2.命题“[2,)x ∀∈-+∞,31x +≥”的否定为( ) A.0[2,)x ∃∈-+∞031x +<， B.0[2,)x ∃∈-+∞,031x +≥ C.(,-2]x ∀∈-∞,31x +< D.(,-2]x ∀∈-∞,31x +≥
【参考答案】A 【试题解答】
根据含有一个量词命题的否定规则:全称量词变为特称量词,同时结论否定即可求解. 因为全称命题的否定是特称命题,同时结论否定,
所以命题“[2,)x ∀∈-+∞,31x +≥”的否定为0[2,)x ∃∈-+∞031x +<，. 故选:A
本题考查含有一个量词命题的否定;考查逻辑思维能力;属于基础题. 3.下列说法中错误．．的是( ) A.“3
sin 2
θ=
”是“3πθ=”的必要不充分条件.
B.当0a <时,幂函数a y x =在区间(0,)+∞上单调递减.
C.设命题:p 对任意2
,10x R x x ∈++>;命题:q 存在,cos sin 2x R x x ∈-=,则()()
p q ⌝∨⌝为真命题.
D.命题“若,x y 都是偶数,则x y +是偶数”的否命题是“若x y 、都不是偶数,则x y +不是偶数”. 【参考答案】D 【试题解答】
“3
π
θ=
”⇒“sin θ=
”; “sin θ=”π2π=2π2π,(k )33k k θθ⇒+=
+∈Z 或 ,
所以“sin 2
θ=
”是“3πθ=”的必要不充分条件.由幂函数定义知:当0a <时,
a y x =在区间()0,+∞上单调递减.对任意2
,10x R x x ∈++>,命题p 为真命题; 不存在
,cos sin 2x R x x ∈-=, 命题q 为假命题,因此()()p q ⌝∨⌝为真命题.命题“若,x y 都是偶
数,则x y +是偶数”的否命题是“若x y 、不都是偶数,则x y +不是偶数”.因此D 错误. 点睛:1.命题的否定与否命题区别
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p 的结论.2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题,是正确写出命题的否定的前提;(2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定;(3)注意“或”“且”的否定,“或”的否定为“且”,且”的否定为“或”. 4.在平面直角坐标系中,点22(cos
,sin )55
P ππ
是角α终边上的一点,若[0,)απ∈,则α=( )
A.
5
π B.
25
π C.35
π
D.
310
π 【参考答案】B 【试题解答】 首先根据
2
5
π的余弦值和正弦值的符号,判断出点P 所属的象限,再根据三角函数的定义确定
出角的大小,得出结果. 因为22
cos
0,sin 055
ππ>>,所以角α的终边落在第一象限, 并且根据角的三角函数值的定义,22(cos ,sin )55
P ππ
, 结合[0,)απ∈,得出2
5
απ=, 故选B.
该题考查的是有关根据角的终边上一点的坐标确定角的大小的问题,涉及到的知识点有三角函数的定义,属于简单题目.
5.在ABC ∆中,若AB AC AB AC +=-,则A ∠=( ) A.π
B.
2
π C.
3
π D.
6
π 【参考答案】B 【试题解答】
∵AB AC AB AC +=- ∴0AB AC ⋅= ∴2
A π
∠=
故选B
6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若321440a a a -+=,则8
4
S S =( ) A.17
B.18
C.19
D.20
【参考答案】A 【试题解答】
很明显等比数列的公比1q ≠,
由题意结合等比数列的通项公式有:2
111440a q a q a -+=,
则:()2
2440,20,2q q q q -+=∴-==,
据此有:
()
()
8
1
8
44
8
4
4
41
1
1
1
11217
1
1
1
a q
S q
q
q
S q
a q
q
-
-
-
===+=+=
-
-
-
.
本题选择A选项.
7.若双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的一条渐近线与直线6310
x y
-+=垂直,则该双曲线的离心率为( )
A.2
B.5
C.
10
D.23
【参考答案】B
【试题解答】
由题中垂直关系,可得渐近线的方程,结合222
c a b
=+,构造齐次关系即得解
双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的一条渐近线与直线6310
x y
-+=垂直.
∴双曲线的渐近线方程为
1
2
y x
=±.
1
2
b
a
∴=,得22222
1
4,
4
b a
c a a
=-=.
则离心率
5
2
c
e
a
==.
故选:B
本题考查了双曲线的渐近线和离心率,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.
8.若函数()
f x的图象如图所示,则()
f x的解析式可能是( )
A.()x e x
f x x
+=
B.()2
1x f x x
-=
C.()x e x
f x x
-=
D.()21
x f x x
+=
【参考答案】A 【试题解答】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.
对于选项B, ()2
1x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;
对于选项C,当1x <-时, ()0x e x
f x x
-=<,可判断C 错误;
对于选项D, ()22111
=+x f x x x x
+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A.
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
9.已知三棱锥P-ABC 中,PA ABC ⊥平面,且,2,1,33
BAC AC AB PA BC π
∠====,则该
三棱锥的外接球的体积等于( )
C.
【参考答案】A 【试题解答】
由正弦定理可求出
ABC
外接圆的半径r =,设ABC 外接圆的圆心为1O ,根据题意可
得三棱锥的外接球的球心在过1O 且与平面ABC 垂直的直线1HO 上,结合勾股定理可求得球
的半径R =
于是可得外接球的体积. 如图,设
ABC 外接圆的圆心为1O ,半径为r ,
则
2sin
3
BC r π
=
=
r =
由题意得球心O 在过1O 且与平面ABC 垂直的直线1HO 上, 令111,HO PA OO d ===,则1OH d =-, 设球半径为R ,
则在1Rt OO B ∆中有222R d r =+,① 在Rt OHP ∆中有2
2
2
(1)R d r =-+,② 由①②两式得12
d =
, 所以2
2
2
113()(3)2
4R =+=
,13R =所以该三棱锥的外接球的体积为3344131313(3326
V R π
ππ==⨯⨯=
. 故选A.
解答几何体的外接球的问题时,关键在于如何确定外接球球心的位置和半径,其中球心在过底面多边形的外接圆的圆心且与底面垂直的直线上,且球心到几何体各顶点的距离相等,再在直角三角形中结合勾股定理求解可得球的半径.
10.过抛物线C :2
4y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点,且
124
3
x x +=
,则弦AB 的长为( ) A.
163 B.4
C.
103
D.83
【参考答案】C 【试题解答】
抛物线的焦点弦公式为:12x x p ++,
由抛物线方程可得:2p =,则弦AB 的长为12410233
x x p ++=+=. 本题选择C 选项.
点睛:有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
11.椭圆C 的焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c (0)c >,过2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的
A 点,点A 关于坐标原点的对称点为
B ,且1120AF B ∠=︒,12
33
F AB S ∆=
,则椭圆方程为( )
A.22143
x y +=
B.2
213
x y +=
C.22132
x y +=
D.2
212
x y += 【参考答案】C 【试题解答】
根据12
33
F AB S ∆=
,1120AF B ∠=︒,过2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点,列方程求解椭圆方程基本量a ,b ,c 即可.
由题意设椭圆C 的方程:22
221x y a b
+=(0)a b >>,
连结2BF ,由椭圆的对称性易得四边形12AF BF 为平行四边形,
由1120AF B ∠=︒得2160F AF ∠=︒, 又212AF F F ⊥,
设21AF BF m ==,则123F F m ,
12AF m =, 又1
1121123
322F AB S BF F F m m ∆=⋅⋅=⨯=
,
解得m =
,
又由1222c F F ===
,
1223a AF AF m =+==,
解得1c =
,a =
b ==则椭圆C 的方程为22
132
x y +=.
故选:C.
本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质,属于一般题. 在求解椭圆标准方程时,关键是求解基本量a ,b ,c .
12.若函数3
2
()f x x ax x =++在区间(0,)+∞上存在极值点,则a 的取值范围是( ) A .
(,-∞
B.(,-∞
C.)
+∞
D.)+∞
【参考答案】A 【试题解答】 【
分析】
根据题意问题转化为23210x ax ++=在(0,)+∞上有变号的解. 求出导函数2
()321f x x ax '=++,
根据题意可得23210x ax ++=在(0,)+∞上有变号的解,
∴24120a ∆=->,203
a
->, 解得a <故选A
本题考查函数的极值,考查二次方程根的分布问题,考查转化思想,属于中档题. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且1a =,45B ∠=,2ABC
S
=,则
b =______.
【参考答案】5
【试题解答】
由,sin a B 和三角形的面积的值,利用三角形的面积公式求出c 的值,然后由,a c 及cos B 的值,利用余弦定理,即可求出b 的值. 由三角形的面积公式1sin 22S ac B =
=,
由1,sin a B ==,
所以c =
又由1,cos 2
a B ==,由余弦定理得2222cos 132825
b a
c ac B =+-=+-=, 解得5b =.
在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. 14.曲线()12f x x x
=-
在点()()1,1f 处的切线与圆222
x y R +=相切,则R =______.
【试题解答】 求切线
的
斜率和切点,由点斜式方程得切线方程,再由圆心到切线的距离等于半径,计算可得
所求值.
()12f x x x
=-的导数为()21
'2f x x =+,
可得切线的斜率为3k =,切点为()1,1,
即有在1x =处的切线方程为()131y x -=-, 即为320x y --=,
由切线与圆2
2
2
x y R +=相切,可得d R =
=,可得R =
. .
本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查直线和圆相切的条件:d r =,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
15.过点()1,1的直线l 与圆()()2
2
239x y -+-=相交于A ,B 两点,当4AB =时,直线l 的
方程为__________. 【参考答案】230x y +-= 【试题解答】
当直线斜率不存在时,x ＝
1,||AB =.
设直线方程1(x 1)y k -=-,
由题意可知圆心到直线的距离为d =
=,解得
1
2k =-,所以直线方程11(1)2
y x -=--,即x 2y 30+-=.填x 2y 30+-=.
直线与圆相交的弦长问题,我们常用垂径定理解决,而不用弦长公式,这样可以简化运算.
16.设03F -（，）
是椭圆()22
2210y x a b a b
+=>>的一个焦点,点()02A ，,若椭圆上存在点P 满足9PA PF +=,则椭圆离心率的取值范围是_____________. 【参考答案】3354⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
【试题解答】
设椭圆上焦点为E,利用椭圆定义可得2PE PF a +=,即可得29PA PE a -=-,若点
,,P A E 三点不共线即构成三角形,则PA PE AE -<,若点,,P A E 三点共线,则
PA PE AE -=,即可求出a 的范围,进一步可求出离心率的范围.
设椭圆的上焦点()03E ，
,由椭圆的定义可知2PE PF a +=,又9PA PF +=,所以29PA PE a -=-,又1EA =,所以291a -≤,得45a ≤≤,以椭圆的离心率
3354c e a ⎡⎤
=
∈⎢⎥⎣⎦
，.
本题考查椭圆的定义和几何性质,涉及圆锥曲线上的点与焦点的距离问题往往利用定义解决. 三.解答题(本题6小题,共70分)
17.已知数列{}n a 是公差为2的等差数列,它的前n 项和为n S ,且1+1a ,31a +,71a +成等比数列.
(1)求{}n a 的通项公式. (2)求数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【参考答案】(1)21n a n =+;(2)()()
3234212n n n +-++ 【试题解答】
(1)根据等差数列的通项公式,分别表示出31a +与71a +,由等比中项定义即可求得首项,进而求得{}n a 的通项公式.
(2)根据等差数列的首项与公差,求出{}n a 的前n 项和()2n S n n =+,进而可知
111122n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
,再用裂项法可求得n T . (1)由题意,得3115a a +=+,71113a a +=+, 所以由()()()2
317111a a a +=+⋅+, 得()()()2
1115113a a a +=+⋅+, 解得13a =,
所以()321n a n =+-, 即21n a n =+. (2)由(1)知21n a n =+, 则()2n S n n =+,
111122n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
,
1111111112324352n T n n ⎛⎫=
-+-+-+⋯+- ⎪-⎝⎭
111112212n n ⎛⎫=
+-- ⎪++⎝⎭
()()
3234212n n n +=
-++. 本题考查了等差数列通项公式的应用,等比中项的定义,裂项法求数列前n 项和的简单应用,属于基础题.
18.已知函数()4cos sin()(0)6
f x x x π
ωωω=-
>的最小正周期是π.
(Ⅰ)求函数()f x 在区间(0,)x π∈的单调递增区间;
(Ⅱ)求()f x 在3,88ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上的最大值和最小值.
【参考答案】(I)(0,]3
π
和5(
,)6
ππ;(II)最大值和最小值分别为11.
【试题解答】 试题分析:
(1)化简函数的解析式为()2sin 216f x x π⎛
⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
.可得函数()f x 在()0,x π∈上的单调递增区间为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6
π
π⎛⎫
⎪⎝⎭. (2)结合(1)中的结论当3,88x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时,72,61212x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
,
即:2sin 2262x π⎤⎛
⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
.
试题解析:(Ⅰ)函数()4cos sin 6f x x x πωω⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
1
4cos cos 2x x x ωωω⎫=-⎪⎪⎝⎭
2cos 2cos 11x x x ωωω=-+- cos21x x ωω=-- 2sin 216x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭.
且()f x 的最小正周期是
22π
πω
=,所以1ω=,
从而()2sin 216f x x π⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
. 令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+,解得6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+(k Z ∈), 所以函数()f x 在()0,x π∈上的单调递增区间为0,
3π⎛⎤
⎥⎝
⎦
和5,6ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
. (Ⅱ)当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,32,44x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
, 所以72,61212x π
ππ⎡⎤
-
∈⎢⎥⎣⎦
, 622sin 2,26x π⎡⎤-⎛
⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
,
所以当26
12
x π
π
-=
,即8
x π
=
时,()f x 取得最小值１,
当26
2
x π
π
-
=
,即3
x π
=
时,()f x 取得最大值
62
1--; 所以()f x 在3,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为１,621--.
19.如图,在四棱锥V ABCD -中,底面ABCD 为正方形,侧面VCD 为正三角形,侧面VCD ⊥底面ABCD ,P 为VD 的中点.
(1)求证:AD ⊥平面VCD ; (2)求二面角P
AB C 的正弦值.
【参考答案】(1)见解析57
【试题解答】
(1)根据题意可证明平面VCD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质可证明AD ⊥平面VCD ; (2)由题意可证明VO OE ⊥,则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,并求得平面PAB 和平面ABCD 的法向量,即可利用法向量法求得两个平面形成二面角的余弦值大小,结合同角三角函数关系式,即可求得求二面角P AB C 的正弦值.
(1)证明:∵底面ABCD 是正方形, ∴AD CD ⊥,
∵侧面VCD ⊥底面ABCD ,侧面VCD
底面ABCD CD =,
∴由面面垂直的性质定理,得AD ⊥平面VCD . (2)设2AB =,CD 的中点为O ,AB 的中点为E ,
则OE CD ⊥,VO CD ⊥.由面面垂直的性质定理知VO ⊥平面ABCD , 又OE ⊂平面ABCD ,故VO OE ⊥.
以O 为坐标原点,OE 的方向为x 轴正方向,OC 的方向为y 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.
∵侧面VCD 为正三角形,
∴sin 60sin 603VO VD AB =⋅︒=⋅︒=则(3V ,()0,1,0D -,()2,1,0A -,()2,1,0B , ∵P 为VD 的中点,
∴130,2P ⎛- ⎝⎭
, ∴132,,2PA ⎛=- ⎝⎭
,()0,2,0AB =,
设平面PAB 的法向量(),,m x y z =,
则00AB m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,
即20
12022y x y z =⎧⎪⎨--
=⎪⎩
,
即4x =, 所以可取(
)
3,0,4m =
,
平面ABCD 的法向量可取()0,0,1n =, 于是4
cos ,19
m n m n m n
⋅=
=
⋅由同角三角函数关系式可求得sin ,1m n =
-=
所以,二面角P
AB C 本题考查了平面与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定,利用法向量法求二面角夹角的余弦值,同角三角函数关系式的应用,属于中档题.
20.设函数3
2
()f x x ax bx =++的图象与直线38y x =-+相切于点(2,2)P . (1)求函数()f x 的解析式;
(2)求函数()f x 在区间[1,4]-上的最值; 【参考答案】(1)32
()69f x x x x =-+;(2)最大值4,最小值为16-
【试题解答】
(1)求导得到2
'()32f x x ax b =++,根据(2)2f =,'(2)3f =-,解方程得到答案.
(2)2
'()3129f x x x =-+,得到函数在[]1,1-上单调递增,在()1,3上单调递减,在[]3,4上单调
递增,计算极值和端点值,比较大小得到答案. (1)3
2
()f x x ax bx =++,2
'()32f x x ax b =++,
根据题意3
2
(2)2222f a b =+⋅+=,2
'(2)3243f a b =⨯++=-,解得6a =-,9b =. 故32
()69f x x x x =-+.
(2)2'()3129f x x x =-+,取2
'()30291f x x x -=+=,解得11x =,23x =.
故函数在[]1,1-上单调递增,在()1,3上单调递减,在[]3,4上单调递增.
()116f -=-,(1)4f =,()30f =,()44f =.
故函数的最大值为4,最小值为16-.
本题考查了函数的切线问题,最值问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.
21.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,其焦点与双曲线2
2
:12
y C x -=的焦点重合,且椭圆E
的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形. (1)求椭圆E 的方程;
(2)过双曲线C 的右顶点A 作直线l 与椭圆E 交于不同的两点,P Q .设(,0)M m ,当·MP MQ 为定值时,求m 的值;
【参考答案】(1) 2214
x y +=;(2)178m =.
【试题解答】
(1)设方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,确定c =,利用椭圆的短轴的两个端点与2F 构成正
三角形,所以2a b =,进而求得,a b 的值,即可得到答案.
(2)设l 的方程为()1y k x =-代入椭圆的方程,利用根与系数的关系,结合向量的数量积公式,化简,即可得到结论.
(1)由题意得椭圆的焦点在x 轴上,设方程为22
221(0)x y
a b a b
+=>>,
其左右焦点为()
1F ,)
2
F ,所以c =又因为椭圆的短轴的两个端点与2F 构成正三角形,所以2a b = 又因为222a b c =+,所以2
2
4,1a b ==.
所以椭圆的方程为2
214
x y +=.
(2)①双曲线C 右顶点为()1,0A .
当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为()1y k x =-
由()22
141x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得()2222418440k x k x k +-+-= 设直线l 与椭圆E 交点()11,P x y ,()22,Q x y ,
则2122841k x x k +=+,21224441
k x x k -=+,
则()11,PM m x y =--,()22,QM m x y =--,
所以()()()2
1212121212·
PM QM m x m x y y m m x x x x y y =--+=-+++ 222
22
22222844448141414141k k k k m m k k k k k ⎛⎫--=-++-+ ⎪++++⎝⎭ ()()2222481441
m m k m k -++-=+
()()()
222221148144814441
m m k m m m k ⎛⎫-+++---+ ⎪⎝⎭=
+ ()
2217
214481441m m m k -
=-+++ 当17204m -
=,即178m =时·PM QM 为定值33
64
. 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为1x =
由2
2141
x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得1,2x y ==±,
不妨设P ⎛ ⎝⎭
,1,Q ⎛ ⎝⎭,由17,08M ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得
. 9,82PM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
,9,82QM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
,所以81333·64464PM QM =-= 综上所述当17
8
m =
时·PM QM 定值
3364
. 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 22.已知2
()(1)(1),[1,)x
f x x e a x x =--+∈+∞. (1)讨论()f x 的单调性;
(2)若()2ln f x a x ≥-+,求实数a 的取值范围. 【参考答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)1
2
e a -≤. 【试题解答】 试题分析:
(Ⅰ)由函数的解析式可得()'2x
f x xe ax =- ()
2x
x e a =-,当2
e
a ≤
时,()'0f x ≥,()f x 在[
)1,+∞上单调递增;当2
e
a >时,由导函数的符号可知()f x 在()()1,2ln a 单调递减;在()()2,ln a +∞单调递增.
(Ⅱ)构造函数()()()
2
11x
g x x e a x lnx =----,问题转化为()0g x ≥在[
)1,x ∈+∞上恒成
立,求导有()1'2x
g x xe ax x =--
,注意到()10g =.分类讨论:当12
e a ->时,不满足题意.当1
2
e a -≤时,()'0g x >,()g x 在[)1,+∞上单调递增;所以()()10g x g ≥=,满足题意. 则实数a 的取值范围是1
2
e a -≤.
试题解析:
(Ⅰ)()'2x
f x xe ax =- ()
2x
x e a =-,
当2e
a ≤
时,[)1,x ∈+∞,()'0f x ≥.∴()f x 在[)1,+∞上单调递增; 当2
e
a >时,由()'0f x =,得()2x ln a =.
当()()
1,2x ln a ∈时,()'0f x <;当()()
2,x ln a ∈+∞时,()'0f x >. 所以()f x 在()()
1,2ln a 单调递减;在()()
2,ln a +∞单调递增. (Ⅱ)令()()()
2
11x
g x x e a x lnx =----,
问题转化为()0g x ≥在[
)1,x ∈+∞上恒成立, ()1
'2x g x xe ax x
=--
,注意到()10g =. 当1
2
e a ->
时,()'1210g e a =--<, ()()()()
1
'212121g ln a ln a ln a +=+-
+,
因为21a e +>,所以()211ln a +>,()()
'210g ln a +>, 所以存在()()
01,21x ln a ∈+,使()0'0g x =, 当()01,x x ∈时,()'0g x <,()g x 递减, 所以()()10g x g <=,不满足题意.
当12e a -≤
时,()()1'1x g x xe e x x
≥--- ()11x
x e e x ⎡⎤=---⎣⎦, 当1x >时,()11x
x e e ⎡⎤-->⎣⎦,101x
<<, 所以()'0g x >,()g x 在[
)1,+∞上单调递增;所以()()10g x g ≥=,满足题意. 综上所述:12
e a -≤.。