四川省2017-2018学年高三名师领航高考联考模拟预测卷(四)文数试题 Word版含答案

2017-2018学年模拟能力测试文科数学（四）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知集合}032|{≥-∈=x R x A ，集合}023|{2<+-=x x x B ，则=B A （ ） A ．}23|{≥x x B ．}223|
{<≤x x C ．}21|{<<x x D ．}22
3
|{<<x x 2.如图是2016年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，六位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（ ）
A ．84，85
B ．84，84.5
C ．85，84
D ．85，85 3.要得到函数)3
2cos(π
-=x y 的图象，可由函数x y 2cos =的图象（ ）
A ．向左平移3π个单位
B ．向右平移3π个单位
C ．向左平移6
π
个单位 D ．向右平移
6
π
个单位 4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．180
B ．240
C ．276
D ．300
5.设R d c b a ∈,,,，且b a >，d c >，下列结论中正确的是（ ） A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．
c
b d a > 6.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为（ ） A ．0.5 B ．1 C ．2 D ．4
7.已知10<<a ，3log 2log a a
x +=，5log 2
1
a y =
，3log 21log a a z -=，则（ ） A ．z y x >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．y x z >>
8.如图，设B A ,两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，若测出AC 的距离是m 50，
45=∠ACB ，
105=∠CAB ，则计算出B A ,两点的距离为（ ）
A ．m 250
B ．m 350
C ．m 225
D ．
m 2
2
25 9.已知直线l ：09=-+y x 和圆M ：0188222
2=---+y x y x ，点A 在直线l 上，C
B ,为圆M 上两点，在AB
C ∆中，
45=∠BAC ，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的取值范围为（ ）
A ．]6,2[
B ．]6,0[
C ．]6,1[
D ．]6,3[
10.已知抛物线x y 42
=与双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 有相同的焦点F ，点A 是两曲线
的一个交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．22+ B ．15+ C ．13+ D ．12+
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.已知i 是虚数单位，则
=+-i
i
21 . 12.已知0>x ，0>y ，62=++xy y x ，则y x 2+的最小值为 .
13. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=5
),1(5
,8
sin )(x x f x x x f π
，则=)6(f . 14.已知单位向量b a ,，它们的夹角为
60，若b t a c )1(2-+=，⊥，则t 的值为 . 15.若函数)(x f 满足R m ∈∃，0≠m ，对定义域内的任意x ，)()()(m f x f m x f +=+恒成立，则称)(x f 为m 函数，现给出如下函数：①x
y 1
=
；②x y 2=；③x y sin =；④x y ln =.其中为m 函数的序号是 .（把你认为所有正确的序号都填上）
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,的值；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级不相同的概率.
17.（本小题满分12分）函数x f ⋅=)(，其中)cos 32,cos (sin x x x ωωω+=，
)sin ,sin (cos x x x ωωω-=，其中0>ω，若)(x f 相邻两对称轴间的距离不小于
2
π. （1）求ω的取值范围；
（2）在A B C ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，3=a ，
3=+c b ，当ω最大时，1)(=A f 求ABC ∆的面积.
18.（本小题满分12分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形，⊥ED 平面ABCD ，3
π
=
∠BAD .
（1）证明：平面//BCF 平面ADE ；
（2）若a BD BF ==，求四棱锥BDEF A -的体积.
19.（本小题满分12分）数列}{n a 中，t a =1，22t a =，其中0>t 且1≠t ，t x =是函数
)2(1])1[(3)(131≥+-+-=+-n x a a t x a x f n n n 的一个极值点.
（1）求证：数列}{1n n a a -+是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式；
（3）设n t n n a a b log =，数列}{n b 的前n 项和为n S ，求n S .
20.（本小题满分13分）如图，已知椭圆)1(1:2
22>=+a y a
x C 的上顶点为A ，右焦点为F ，
直线AF 与圆M ：072622=+--+y x y x 相切. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于Q P ,两点，且0=⋅，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标.
21. （本小题满分14分）已知函数2
ln )(x x a x f +=（a 为实常数）. （1）若2-=a ，求证：函数)(x f 在),1(+∞上是增函数； （2）求函数)(x f 在],1[e 上的最小值及相应的x 值；
（2）若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．
i 5
3
51-； 12．4； 13．1； 14．0； 15．②③ 三、解答题：本大题共6个题，共75分．
16．解：（1）由频率分布表得135.015.005.0=++++n m ，则0.45=+n m .由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，则0.120
2
==
n ，故35.01.045.0=-=m （2）由题意得等级为3的零件有32051.0=⨯（个），记作321,,x x x ，等级为5的零件有2个，记作21,y y .
故所求概率5
3
106)(==A P . 17
．
解
：
（
1
）
∵
)6
2s
i n (
22s i n 32c o s c o s s i n 32s i n c
o s )(22
π
ωωωωωωω+=+=+-=x x x x x x x x f ，
0>ω，∴函数)(x f 的周期ωπ=
T .由题意可知22π≥T ，即
2
2π
ωπ≥，解得10≤<ω，即ω的取值范围是}10|{≤<ωω
（2）由（1）可知ω的最大值为1，)6
2sin(2)(π
ω+
=x x f .∵1)(=A f ，∴2
1
)6
2sin(=
+
π
A . 又∵613626ππ
π<+<A ，∴6562ππ=+A ，3π=A .由余弦定理知bc
a c
b A 2cos 2
22-+=，
∴32
2
=-+bc c b .又3=+c b ，联立解得⎩⎨⎧==12c b 或⎩
⎨⎧==21c b .∴23sin 21==∆A bc S ABC .
18．（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∴AD BC //.又∵⊄BC 平面ADE ，⊂AD 平面ADE ，∴//BC 平面ADE .∵四边形BDEF 是矩形，∴DE BF //.又∵⊄BF 平面ADE ，⊂DE 平面ADE ，∴//BF 平面ADE .∵⊂BC 平面BCF ,⊂BF 平面BCF ,B BF BC = ，∴平
面//BCF 平面ADE .
（2）解：如图，连结AC ，O BD AC = .由四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥. 由⊥ED 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴AC ED ⊥.
∵⊂BD ED ,平面BDEF ，D BD ED = ，∴⊥AO 平面BDEF ，则AO 为四棱锥
BDEF A -的高.
由四边形ABCD 是菱形，3
π
=
∠BAD ，得ABD ∆为等边三角形.
由a BD BF ==得a AD =，a AO 2
3
=
，2a S BD EF =四边形， ∴3
2632331a a a V BDEF A =⋅⋅=
-，即四棱锥BDEF A -的体积为36
3a .
19．（1）证明：])1[(33)('112
+--+-=n n n a a t x a x f .根据已知，得0)1(11=++-+-n n n a a t ta ，
即)(11-+-=-n n n n a a t a a .∵0>t 且1≠t ，∴0)1(2
12≠-=-=-t t t t a a ，
∴数列}{1n n a a -+是以)1(-t t 为首项，t 为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知n n n t t a a )1(1-=-+，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
n n n n t t t
t t t t t t t
t t
t =+---=+-++-+-=---1)
1()1()1()1()1(12
1
.即数列}{n a 的通项公
式为n n t a =.
（3）解：由（2）知n n t a =，所以n
n t n n nt
a a
b ==log ，所以
n n nt t t t S ++⨯+⨯+⨯= 32321，则1432321+++⨯+⨯+⨯=n n nt t t t tS ，所以
11
3
2
1)1()1(++---=-++++=-n n n n
n nt t
t t nt
t t t t S t .
20．解：（1）将圆M 的一般方程07262
2=+--+y x y x 化为标准方程
3)1()322=-+-y x （，则圆M
的圆心
)1,3(M ，半径3=r .由
)1)(0,(),1,0(2-=a c c F A ，
得直线AF ：1=+y c
x
，即0=-+c cy x .由直线AF 与圆M 相切，得
31
|3|2=+-+c c c ，
解得2=c 或2-=c （舍去）.当2=c 时，312
2=+=c a ，故椭圆C 的方程为13
22
=+y x . （2）证明：（方法一）由0=⋅，知AQ AP ⊥，故直线AP 与坐标轴不垂直.由)1,0(A 可设直线AP 的方程为1+=kx y ，直线AQ 的方程为)0(11
≠+-
=k x k
y .将1+=kx y 代入椭圆C 的方程1322
=+y x 并整理，得06)31(22=++kx x k ，解得0=x 或2316k k x +-=.因
此点P 的坐标为)1316,316(22++-+-k k k k ，即)3131,316(2
2
2k
k k k +-+-.将上式中的k 换成k 1-，得)33,36(222+-+k k k k Q .直线l 的方程为33)36(316363131332
222
2
22
22+-++-++++--+-=k k k k x k k k k k k k k y .化简得直线l 的方程为2
1
4142--=
x k k y ，因此直线l 过定点)21,0(-N . （方法二）①若直线l 存在斜率，则可设直线l 的方程为m kx y +=.因为l A ∉)1,0(，所以
1≠m .将m kx y +=代入椭圆C 的方程13
22
=+y x 并整理，得
0)1(36)31(222=-+++m mkx x k ，
由直线l 与椭圆C 相交于),(),,(2211m kx x Q m kx x P ++两点，则21,x x 是上述关于x 的方程两个不相等的实数解，从而
0)13(12)1()31(46222222
>-+=-⋅+-=∆m k m x k mk ）（，则2
21316k
mk
x x +-
=+，2
22131)1(3k m x x +-=
.由
=⋅，
得
)1())(1()1()1)(1(2212122121=-++-++=-+-++m x x m k x x k m kx m kx x x ，则
2
22
31)
1(3)1(k
m k +-+0)1()316)(1(22=-++--+m k mk m k ，整理得0122=--m m ，即0)1)(12(=-+m m ，又由1≠m ，知2
1
-=m ，此时0)14(92>+=∆k .因此直线l 过定点
)2
1
,0(-N .②若直线l 不存在斜率，则可设直线l 的方程为n x =，因为l A ∉)1,0(，所以0≠n .
将n x =，因为l A ∉)1,0(，所以0≠n .将n x =代入椭圆C 的方程1322
=+y x 并整理，得3
122
n y -=.当32≥n 时，02≤y ，直线l 与椭圆C 相交于Q P ，两点矛盾；当302
<<n 时，
直线l 与椭圆C 相交于),(),,(21y n Q y n P 两点，则21,y y 是关于y 的方程3
12
2
n y -=的两个
不相等实数解，从而
21=+y y ，
1
3
2
21-=n y y ，但
03
4)1)(1(2
212>=
--+=⋅n y y n ，这与0=⋅AQ AP 矛盾. 综上所述，直线l 过定点)2
1,0(-N .
21．（1）证明：当2-=a 时，x x x f ln 2)(2
-=，当),1(+∞∈x 时，0)
1(2)('2>-=x
x x f ， ∴函数)(x f 在),1(+∞上是增函数.
（2）)0(2)('2>+=
x x
a
x x f ，当],1[e x ∈时，]2,2[222e a a a x ++∈+. ①若2-≥a ，)('x f 在],1[e 上非负（仅当2-=a ，1=x 时，0)('=x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时1)1()(min ==f x f . ②若222
-<<-a e ，当2a x -=
时，0)('=x f ；当2
1a
x -<≤时，0)('<x f ，此时)(x f 是减函数；当
e x a
≤<-2
时，0)('>x f ，此时)(x f 是增函数.故2
)2ln(2)2(
)(min a a a a f x f --=-=.
③若22e a -≤，)('x f 在],1[e 上非正（仅当2
2e a -=，e x =时，0)('=x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时2min )()(e a e f x f +==.
综上所述，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222
-<<-a e 时，)
(x f 的最小值为
2)2ln(2a a a --，相应的x 值为2
a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2
e a +，相应的x 值为e .
（3）由不等式x a x f )2()(+≤得]),1[(ln 22e x x x x x a ∈--≥
.令]),1[(ln 2)(2e x x
x x
x x g ∈--=， 则2
)
ln ()
ln 22)(1()('x x x x x x g --+-=
.当],1[e x ∈时，01≥-x ，0ln 22>-+x x ，故0)('≥x g （当且仅当1=x 时取等号），∴)(x g 在],1[e 上是增函数，故)(x g 的最小值为1)1(-=g .∴实数a 的取值范围是),1[+∞-.。