【真题】2014-2015学年云南省曲靖市罗平县环城二中九年级(上)期末数学试卷及参考答案PDF

2014-2015学年云南省曲靖市罗平县环城二中九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．（3分）下列事件为不可能事件的是（）
A．某射击运动员射击一次，命中靶心
B．掷一次骰子，向上一面是3点
C．找到一个三角形，其内角和是200°
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到绿灯
2．（3分）已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
3．（3分）方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定是否有实数根
4．（3分）如图所示的图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（）
A．B．C． D．
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
6．（3分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷这个骰子一次，则掷得面朝上的点数为奇数的概率是（）A．B．C．D．
7．（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）
A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2
﹣3
8．（3分）如图，等边△ABC边长为2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点A时停止．设运动时间为x秒，y=PC，则y关于x函数的图象大致为（）
A．B．C．
D．
二、填空题：（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为．10．（3分）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有队参加比赛．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=，在下列结论中，唯一正确的是．（请将正确的序号填在横线上）
①a＜0；②c＜﹣1；③2a+3b=0；④b2﹣4ac＜0；⑤当x=时，y的最小值为．
12．（3分）若关于x的方程（a﹣1）=1是一元二次方程，则a的值是．13．（3分）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB于M，OM=4，则弦CD
的长是．
14．（3分）已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为度．15．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=130°，则∠BOD的度数是度．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，﹣1）．我们规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换．
（1）如果正方形ABCD经过1次这样的变换得到正方形A1B1C1D1，那么B1的坐标是．
（2）如果正方形ABCD经过2014次这样的变换得到正方形A2014B2014C2014D2014，那么B2014的坐标是．
三、解答题：（共72分）
17．（8分）解方程．
（1）x2+4x+1=0
（2）4x（3x﹣2）=6x﹣4．
18．（7分）已知抛物线y=x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）直接写出当x满足什么条件时，函数y＜0．
19．（6分）已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式
的值．
20．（10分）二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．
（1）确定二次函数与直线AB的解析式．
（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．
21．（10分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．
23．（9分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；
（3）在（2）的条件下，将关于x的二次函数y=mx2+（3m+1）x+3的图象在x 轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．24．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年云南省曲靖市罗平县环城二中九年级
（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．（3分）下列事件为不可能事件的是（）
A．某射击运动员射击一次，命中靶心
B．掷一次骰子，向上一面是3点
C．找到一个三角形，其内角和是200°
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到绿灯
【解答】解：A、某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项错误；
B、掷一次骰子，向上一面是3点，是随机事件，故此选项错误；
C、找到一个三角形，其内角和是200°，是不可能事件，故此选项正确；
D、经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到绿灯，是随机事件，故此选项错误；故选：C．
2．（3分）已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
【解答】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故选A．
3．（3分）方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定是否有实数根
【解答】解：x2﹣3x﹣5=0，
△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选A．
4．（3分）如图所示的图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（）
A．B．C． D．
【解答】解：A、由基本图案连续旋转180°得到，故本项错误；
B、由基本图案连续旋转45°得到，故本项正确；
C、由基本图案连续旋转60°得到，故本项错误；
D、由基本图案连续旋转90°得到，故本项错误；
故选：B．
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，
∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°．
故选B．
6．（3分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷这个骰子一次，则掷得面朝上的点数为奇数的概率是（）A．B．C．D．
【解答】解：∵正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，奇数为1，3，5，
∴点数为奇数的概率为：=．
故选：C．
7．（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）
A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2
﹣3
【解答】解：抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点的坐标为（﹣2，3），所以新抛物线的表达式是y=5（x+2）2+3．
故选A．
8．（3分）如图，等边△ABC边长为2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点A时停止．设运动时间为x秒，y=PC，则y关于x函数的图象大致为（）
A．B．C．
D．
【解答】解：当0≤x≤2时，作PQ⊥AC，
∵AP=x，∠A=60°
∴AQ=，PQ=，
∴CQ=2﹣，
∴PC==，
∴PC2=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3；
当2＜x＜4时，PC=4﹣x，
当4＜x≤6时，PC=2﹣（6﹣x）=x﹣4，
故选：C．
二、填空题：（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为6π．
【解答】解：弧长是：=6π．
故答案是：6π．
10．（3分）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有10队参加比赛．
【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：=45，
整理，得：x2﹣x﹣90=0，
解得：x1=10，x2=﹣9（不合题意舍去），
所以，这次有10队参加比赛．
答：这次有10队参加比赛．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称
轴是直线x=，在下列结论中，唯一正确的是③⑤．（请将正确的序号填在横线上）
①a＜0；②c＜﹣1；③2a+3b=0；④b2﹣4ac＜0；⑤当x=时，y的最小值为．
【解答】解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，故本选项错误；
②∵二次函数的图象与y轴的交点在点（0，﹣1）的上方，
∴c＞﹣1，故本选项错误；
③、∵二次函数的图象的对称轴是直线x=，
∴﹣=，
﹣3b=2a，
2a+3b=0，故本选项正确；
④∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
⑤∵二次函数的图象的对称轴是直线x=，
∴﹣=，
∴﹣3b=2a，b=﹣a，
=a+b+c=a+×（﹣a）+c=；
∴y
最小值
即y的最小值为，故本选项正确；
故答案为：③⑤．
12．（3分）若关于x的方程（a﹣1）=1是一元二次方程，则a的值是﹣1．
【解答】解：由关于x的方程（a﹣1）=1是一元二次方程，得
，解得a=﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（3分）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB于M，OM=4，则弦CD 的长是6．
【解答】解：连接OC，
∵直径AB=10，
∴半径为5，
在Rt△OCM中，CM==3，
∵OB⊥CD，
∴CD=2CM=6．
故答案为：6．
14．（3分）已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为160度．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠A=80°，
∴∠BOC=2∠A=160°，
故填：160．
15．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=130°，则∠BOD的度数是100度．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠A=180°﹣∠C=50°
∴∠BOD=2∠A=100°．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，﹣1）．我们规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换．
（1）如果正方形ABCD经过1次这样的变换得到正方形A1B1C1D1，那么B1的坐
标是（﹣1，1）．
（2）如果正方形ABCD经过2014次这样的变换得到正方形A2014B2014C2014D2014，那么B2014的坐标是（4025，﹣1）．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD，点A、B的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣3，﹣1），
∴根据题意得：第1次变换后的点B的对应点的坐标为（﹣3+2，1），即B1（﹣1，1），
（2）第2次变换后的点B的对应点的坐标为：（﹣1+2，﹣1），即（1，﹣1），第3次变换后的点B的对应点的坐标为（1+2，1），即（3，1），
第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为（2n﹣3，1），当n为偶数时为（2n﹣3，﹣1），
∴把正方形ABCD经过连续2014次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，则点B的对应点B′的坐标是：（4025，﹣1）．
故答案为：（﹣1，1）；（4025，﹣1）．
三、解答题：（共72分）
17．（8分）解方程．
（1）x2+4x+1=0
（2）4x（3x﹣2）=6x﹣4．
【解答】解：（1）∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=﹣1，
∴x2+4x+4=3，
∴（x+2）2=3，
∴x+2=或x+2=﹣，
∴x1=﹣2，x2=﹣﹣2；
（2）∵4x（3x﹣2）=6x﹣4，
∴4x（3x﹣2）﹣2（3x﹣2）=0，
∴（3x﹣2）（4x﹣2）=0，
∴3x﹣2=0或4x﹣2=0，
∴x1=，x2=．
18．（7分）已知抛物线y=x2﹣4x+3．
（1）用配方法将y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）直接写出当x满足什么条件时，函数y＜0．
【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x2﹣4x+4）﹣4+3=（x﹣2）2﹣1；
（2）∵y=（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）；
（3）解方程x2﹣4x+3=0，得x=1或3．
∵y=x2﹣4x+3，a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当1＜x＜3时，函数y＜0．
19．（6分）已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式
的值．
【解答】解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，
则原式===3．
20．（10分）二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．
（1）确定二次函数与直线AB的解析式．
（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）把A（0，﹣1）代入y1=a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即a=﹣，∴二次函数解析式为y1=﹣（x﹣2）2=﹣a2+a﹣1；
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（0，﹣1），B（2，0）代入得：，
解得：k=，b=﹣1，
则直线AB解析式为y=x﹣1；
（2）根据图象得：当y1＜y2时，x的范围为x＜0或x＞2；y1=y2时，x=0或x=2，y1＞y2时，0＜x＜2．
21．（10分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
【解答】（1）证明：连接OC，交BD于E，
∵∠B=30°，∠B=∠COD，
∴∠COD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠OCA=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，
∴∠OED=∠OCA=90°，
∴DE=BD=，
∵sin∠COD=，
∴OD=2，
在Rt△ACO中，tan∠COA=，
∴AC=2，
=×2×2﹣=2﹣．
∴S
阴影
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．
【解答】解：如图，在y轴上截取OD=2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD，
∵点A的坐标为（﹣，1），
∴tan∠AOE==，
∴AO=OD=2，∠AOE=30°，
∴∠AOD=60°．
∴△AOD是等边三角形，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，
∴∠CAB﹣∠DAB=∠OAD﹣∠DAB，即∠DAC=∠OAB，
在△ADC和△AOB中，
，
∴△ADC≌△AOB（SAS）．
∴∠ADC=∠AOB=150°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠CDF=30°．
∴DF=CF．
∵C（x，y）且点C在第一象限内，
∴y﹣2=x，
∴y=x+2（x＞0）．
23．（9分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；
（3）在（2）的条件下，将关于x的二次函数y=mx2+（3m+1）x+3的图象在x 轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴mx2+（3m+1）x+3=0是关于x的一元二次方程．
∴△=（3m+1）2﹣12m
=（3m﹣1）2．
∵（3m﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：由求根公式，得x1=﹣3，x2=﹣．
∵方程的两个根都是整数，且m为正整数，
∴m=1．
（3）解：∵m=1时，
∴y=x2+4x+3．
∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（﹣1，0）．
依题意翻折后的图象如图所示，
当直线y=x+b经过A点时，可得b=3．
当直线y=x+b经过B点时，可得b=1．
∴1＜b＜3．
当直线y=x+b与y=﹣x2﹣4x﹣3
的图象有唯一公共点时，
可得x+b=﹣x2﹣4x﹣3，
∴x2+5x+3+b=0，
∴△=52﹣4（3+b）=0，
∴b=．
∴b＞．
综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞．
24．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值
并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），
将C点坐标（0，﹣3）代入，得：
a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得a=1，
则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，
所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．
设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得
，解得，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），
∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．
∵S
=S△PAN+S△PCN，
△PAC
∴S=PN•OA
=×3（﹣x2﹣3x）
=﹣（x+）2+，
∴当x=﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；
（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），
∵A（﹣3，0），
∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，
所以点M的坐标为（0，）；
②当D为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，解得t=﹣，
所以点M的坐标为（0，﹣）；
③当M为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=﹣1或﹣3，
所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．。

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