例谈“放缩法”证明不等式的基本策略

“
例1、已知a n=2-1(n∈N).求证：-<1+2+...+
=
k+1=-=-≥-.
-1-1)2 3.2+2-2232k 222(2
∴+2+...+≥-(+
2+...+
n
)=-(1-
n
)>-,
a n111111
n1a a n
缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。

本题在放缩时就舍去了2-2，从而是
>1-
1+42⋅2n
+L+
n-1)=n+
n+1
-
例谈“放缩法”证明不等式的基本策略
江苏省苏州市木渎第二高级中学母建军215101
近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。

特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思
想和基本出发点,有极大的迁移性,对它的运用往往能体现出创造性。

放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。

因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。

下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）
n*
证明：Q
a k
a k+1
2k-11111111
k+1k k
,k=1,2,...,n,
a1a n n n1 a2a3a n+12322223223
∴-<1+2+...+< 23a23a n+1n
2
(n∈N*).
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或
k
使和式得到化简.
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
例2、函数f（x）=4x
1+4x ，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+
2
1
n+1
-
1
2
(n∈N*).
证明：由f(n)=4n
1+4n =1-
11
n
得f（1）+f（2）+…+f（n）>1-1
2⋅21+1-
1
2⋅22
+L+1-
1
2⋅2n
=n-1
4
(1+1
2
+
1
42
2
111
2
(n∈N*).
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进
k ∑ 1 ∑ 1
∑
1
∑n
k ∑
2 =1+
∑k
∑ 2 ( 例 4、已知数列{a n }满足 a n +1 = a n , 0 < a 1 ≤ , 求证： ∑(a k - a k +1)a k +2 < , a n +1 = a n 2 ,∴ a 2 = a 12 ≤ , a 3 ≤ k ∴∑(a k - a k +1)a k +2 ≤ ∑=k 1(a k - a k +1) = 16 (a 1 - a n +1) < 32 . ∑
(a 行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之 一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。

如需放大，则只要把分子放大 或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） 例 3、已知 a n =n ，求证： n = ＜3．
n n 证明：k = = = a 2 k 3
＜1＋k = 2 n ＜１＋k =
n k =2
=1＋
n = － )
=1＋1＋
2 － ＜2＋ 2 ＜3． 本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.
4、放大或缩小“因式”；
2 1 2 n k =1 1 32 .
证明 Q 0 < a 1 ≤ 1 1 1 2 4 16 L . ∴当时≥ 1 , 0 < a k +2 ≤ a 3 ≤ 1 16
, n k =1
1 n 1 1 16 本题通过对因式 a k +
2 放大，而得到一个容易求和的式子
5、逐项放大或缩小
n k =1 k - a k +1) ，最终得出证明. 例 5、设 a n = 1⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + 3 ⨯ 4 + L + n (n + 1) 求证：
n (n + 1) 2 < a n < (n + 1) 2
2
n (
n + 1)
< ∴ 1 + 2 + 3 +
L
+ n
< a
n <
<
a n
<
本题利用 n
< ，对 a n 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的 + 2 + 2 +L + 2 < 例 6、求证： 2 < = - n (n -1) n -1 n n ∴ + 2 + 2 +L + 2 < 1+ 2 + ( - +L + - ) = + ( - ) < . n n -1 n n 1 2 3 2 2 3 4
2 4 n
证明：∵
∴ n < n (n + 1) > n 2 = n 2n + 1
n (n + 1) <
2
2n + 1 2
1 + 3 + L + ( 2n + 1) n (n + 1) (n + 1)
2 ， ∴ 2 2 2
2n +1 2 数列，达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项；
1 1 1 1 7 1
2
3 n
4 证明：Q 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 7
2 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须 根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩
例 7、已知 a n = 5n - 4 ，证明：不等式 1 对任何正整数 m ， 都成立.
1 ，只要证 5a mn > 1 + a m a n + 2
因为 a mn = 5mn - 4 ， a m a n = (5m - 4)(5n - 4) = 25mn - 20(m + n ) + 16 ，
故只要证 5(5mn - 4) > 1 + 25mn - 20(m + n ) + 16 + 2
即只要证 20m + 20n - 37 >
因为 a m + a n = 5m + 5n - 8 < 5m + 5n - 8 + (15m + 15n - 29) = 20m + 20n - 37 ，
所以命题得证.
本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由 a m + a n 放大即可.
m
⋅
n
⋅
n m
n n
12
n n n
1
n
2 n n
1
8、先适当组合,排序,再逐项比较或放缩
例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.
(1)证明：n i A im＜m i A in；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m
证明：(1)对于1＜i≤m，且A im=m·…·(m－i+1)，
A im
i =m m-1
m m
⋅L⋅m-i+1
m
,同理A im
i
=n n-1
n n
⋅L⋅n-i+1
n
，
由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有n-k
n
>m-k
m
，
所以A in
i
>
A im
i
,即m i A in>n i A im
(2)由二项式定理有：
(1+m)n=1+C1m+C2m2+…+C nn m n，(1+n)m=1+C m n+C m n2+…+C mm n m，
由(1)知m i A in＞n i A im(1＜i≤m＜n)，而C im=A im
i!,C in=A in
i!
∴m i C in＞n i C im(1＜m＜n)
∴m0C0=n0C0=1，m C1=n C m=m·n，m2C2＞n2C m，…，
m m C mn＞n m C mm，m m+1C mn+1＞0，…，m n C nn＞0，
∴1+C1m+C2m2+…+C nn m n＞1+C m n+C2m n2+…+C mm n m，
即(1+m)n＞(1+n)m成立.
以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。

因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。

要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。

掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.。