2020年中考数学二轮复习重难题型类型六 二次函数与三角形相似问题

A(1，0)，，B(3 0) ．
令 x 0 ，得 y 3 ．C(0，3) ． 设过点 O 的直线 l 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E ． 点 B 的坐标为 (3，0) ，点 C 的坐标为 (0，3) ，点 A 的坐标为 (1，0) ．
AB 4，O，B OC 3 OBC 45. BC 32 32 3 2 ．
2 由 1 x 1 x2 x ,
24
y A
O
A'
B
E
x
得 x1 0, x 2 6 .∴P(6,－3)
图2
P
过 P 作 PE⊥x 轴,在 Rt△BEP 中,BE＝2,PE＝3,
∴PB＝ 13 ≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO 与△BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点. 所以在该抛物线上不存在点 P,使得△BOP 与△AOB 相似.
y
C 3
O
B
E
1 图1
2 D Ax
（2）∵tan EDA AE 3 ，∴设 AE=3t， AD 4
则 AD=4t。
由勾股定理得 DE=5t。
y
l
∴OC AB AE EB AE DE 3t 5t 8t 。
N
由（1） △O∽C△D
ADE ，得 OC CD ， AD DE
C
M
∴ 8t CD ，
当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为(2,1)
⑶如图 2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.
若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设 OP 交抛物线的对称轴于 A′点,显然 A′(2,－1) ∴直线 OP 的解析式为 y 1 x
C
·C
A OE
B
当 xp 5 时，锐角 PCO ACO ； 当 xp 5 时，锐角 PCO ACO ； 当 2 xp 5 时，锐角 PCO ACO ．
x 1
P
例 5 、如图所示，已知抛物线 y x2 1与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C．
（1）求 A、B、C 三点的坐标． （2）过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积．
QBP, BQ PB ，则有 3 n m
3
，即
OC CP
3
3
3
2 3
m2
53 3
m
m
3
3
3
解之得， m1 3 3， m2 3 ，当 m 3 时，即为 P 点，
当 m1 3 3 时， n 3 ，所以得 Q(3 3， 3) ．
故存在两个 Q 点使得 △OCP 与 △PBQ 相似．
Q 点的坐标为 (2 3，，2，) (3 3 3) ．
例 2、已知抛物线 y ax2 bx c 经过 P( 3，，3，)
E
5
3 2
0 及原点 O(0，0) ．
（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为 y 2 x2 5
3 x）
3
3
（2）过 P 点作平行于 x 轴的直线 PC 交 y 轴于 C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线
的直线 l ，使得以 B，O， D 为顶点的三角形与 △BAC 相似？若存在，求出该直线的函数 表达式及点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； A(1，0)，，B(，3 0),C(0 3) （3）若点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO 与 ACO 的大小（不必证明），并写出此时点 P 的横坐标 xp 的取值范围．
（3）是否存在过点 D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果 不存在，请说明理由。
y
C
B
E
O
Ax
【答案】解：（1） △OCD 与 △ADE 相似。
理由如下：
由折叠知， CDE B 90° ， ∴°1 2 90 ，1 3 90，2 3. 又∵°COD DAE 90 ， ∴△O∽C△D ADE 。
解得 BE DE 2 （负值舍去）．
OE OB BE 3 2 1．
点 D 的坐标为 (1，2) ．
将点 D 的坐标代入 y kx(k 0) 中，求得 k 2 ．
∴满足条件的直线 l 的函数表达式为 y 2x ．
存在直线 l : y 3x 或 y 2x 与线段 BC 交于点 D （不与点 B，C 重合），使得以
2020 年中考数学二轮复习重难题型类型六 二次函数与三角形相似
问题
例 1、如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 y 1 x 2 x ）
4 ⑵若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为 平行四边形，求 D 点的坐标； ⑶连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得△OBP 与△OAB 相似？ 若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。
y 3x ．此时易知 △∽BO△D BAC ，再求出直线 BC 的函数表达式为 y x 3 ．联
立
y
3x，y
x
3
求得点
D
的坐标为
3 4
，9 4
．］
若是②，则有 BD BO BA 3 4 2 2 ． BC 3 2
而 OBC 45， BE DE ．
在 Rt△BDE 中，由勾股定理，得 BE 2 DE 2 2 BE 2 BD 2 (2 2)2 ．
x
l
C D
AOE
By
要使 △∽BO△D BAC 或 △∽BD△O BAC ， BD BO
已有 B B ，则只需 ， ① BC BA
BO BD
或 .
②
BC BA
成立．
若是①，则有 BD
BO BC
33
2 9
2
．
BA
4
4
而 OBC 45， BE DE ．
在 Rt△BDE
中，由勾股定理，得
BE
B，O，
D
为顶点的三角形与
△BAC
相似，且点
D
的坐标分别为
3 4
，9 4
或
(1，2)
．
（3）设过点 C(0，3)，，E(1 0) 的直线 y kx 3(k 0) 与该二次函数的图象交于点 P ．
将点 E(1，0) 的坐标代入 y kx 3中，求得 k 3 ．
此直线的函数表达式为 y 3x 3 ．
设点 P 的坐标为 (x， 3x 3) ，并代入 y x2 2x 3 ，得 x2 5x 0 ．
解得 x1 5，x2 0 （不合题意，舍去）．
x 5，y 12 ．
x
点 P 的坐标为 (5，12) ．
此时，锐角 PCO ACO ． 又二次函数的对称轴为 x 1 ， 点 C 关于对称轴对称的点 C 的坐标为 (2，3) ．
设 Q 点的坐标为 (m， n) ，则 n 2 m2 5 3 m ，
3
3
要使 △O∽C△P
PBQ,
BQ
PB
3n
，则有
m
3
，即
CP OC
3
3
3
2 3
m2
53 3
m
m
3
3
3
解之得， m1 2 3， m2 2 ．
当 m1 2 3 时， n 2 ，即为 Q 点，所以得 Q(2 3， 2)
要使 △O∽C△P
4t 5t
O
∴CD 10t 。
在 △DCE 中，∵CD2 DE2 CE2 ，
B G
E
DA
P x
∴(10t)2 (5t)2 (5 5)2 ，解得 t=1。
∴OC=8，AE=3，点 C 的坐标为（0，8），
点 E 的坐标为（10，3）， 设直线 CE 的解析式为 y=kx+b，
∴
10k
b
b 8，
（3）在 Rt△OCP 中，因为．所以 COP 30 ． 当 Q 点的坐标为 (2 3， 2) 时 90 ． 因此， △O△P△C，△，， PQB OPQ OAQ 都是直角三角形． 又在 Rt△OAQ 中，因为．所以 QOA 30 ． 即有 POQ QOA QPB COP 30 ． 所以 △O∽P△C∽△∽PQ△B OQP OQA ， 又因为 QP ⊥⊥OP， QA OA POQ AOQ 30 ， 所以 △O≌Q△A OQP ．
A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，其顶点的横坐标为 1，且过点
(2，3) 和 (3，12) ．
（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为 y x2 2x 3 ）
（2）若直线 l : y kx(k 0) 与线段 BC 交于点 D （不与点 B，C 重合），则是否存在这样
PC 下方的抛物线上，任取一点 Q ，过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点，交直线
PC 于 B 点，直线 QA 与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 OABC ．是否存在点 Q ，使得
△OPC 与 △PQB 相似？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的 Q 点在 x 轴的上方，连结 OQ ，矩形 OABC 内的四个三角形
2
DE
2
2
BE
2
BD
2
9
2 4
2 ．
解得
BE
DE
9
（负值舍去）．
4
OE
OB
BE
3 9
3
．
44
点
D
的坐标为
3 4
，9 4
．
将点 D 的坐标代入 y kx(k 0) 中，求得 k 3 ．
满足条件的直线 l 的函数表达式为 y 3x ．
［或求出直线 AC 的函数表达式为 y 3x 3 ，则与直线 AC 平行的直线 l 的函数表达式为
例 3、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C
在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠 CE 5 5 ，且 tan EDA 3 。
4 （1）判断 △OCD 与 △ADE 是否相似？请说明理由；
（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；
y A
由0
1 (x
4
2) 2
1得 x1
0, x 2
4
,
O
B
x
∴B(4,0),OB＝4.
∴D 点的横坐标为 6 将 x＝6 代入 y 1 (x 2)2 1 ,得 y＝－3,
4
C
D
图1
∴D(6,－3);
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点 D,使得四边形 ODCB 是平行四边
形,此时 D 点的坐标为(－2,－3),
x
l
C
A
O
By
x 1
【答案】解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为 1，且过点 (2，3) 和 (3，12) ，
由
b 2a
4a
1， 2b c
3，
9a 3b 2 12.
a 1， 解得 b 2，
c 3.
此二次函数的表达式为 y x2 2x 3 ．
（2）假设存在直线 l : y kx(k 0) 与线段 BC 交于点 D （不与点 B，C 重合），使得以 B，O， D 为顶点的三角形与 △BAC 相似． 在 y x2 2x 3 中，令 y 0 ，则由 x2 2x 3 0 ，解得 x1 1，x2 3
y A
O
B
x
y A
O
B x
图1
例 1 题图
图2
【答案】解:⑴由题意可设抛物线的解析式为 y a(x 2)2 1
∵抛物线过原点， ∴ 0 a(0 2)2 1
∴a 1 . 4
抛物线的解析式为 y 1 (x 2)2 1 ,即 y 1 x 2 x
4
4
∥ ⑵如图 1,当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时,CD ＝ OB,
△O△P△C，△，， PQB OQP OQA 之间存在怎样的关系？为什么？
y CP
O
B
Q
E Ax
【答案】解：（1）由已知可得：
3a 3b 3
75
a
5
3b0
解之得， a 2，， b 5
3
4
2
3
3
c 0
c 0．
因而得，抛物线的解析式为： y 2 x2 5
3 x．
3
3
（2）存在．
3，
解得
k b
1， 2
8，
F 图2
∴ y 1 x 8 ，则点 P 的坐标为（16，0）。 2
（3）满足条件的直线 l 有 2 条：y=－2x+12， y=2x－12。 如图 2：准确画出两条直线。
例 4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与 x 轴交于
（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG x 轴于点 G，使以 A、M、G 三点 为顶点的三角形与 PCA 相似．若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由．