高中数学黄金100题系列第64题空间垂直关系的证明理

第64题空间垂直关系的证明
I •题源探究•黄金母题
【例1】如图，在正方体ABCD AiBGD i中，求证:
(1)B-i D 平面A1C1B ；
(2)B1D与平面AGB的交点H是AGB的重心 (三角形三条中线的交点)•
【解析】(1)连接B1D1, B1D1 AG ,
又DD1 丄面A] BG D1,.°. DD1 AC 1 ,
T B D1 AG , DD1 I B1D1 D1
--A j G 丄面D1DB，因此AC 1 B1D •
同理可证：B1D A1B ,••• B1D 平面AGB •
(2)连接A1H , BH , C1H ,
由A1B1 BB1 C1B1，得A,H BH C1H •
•••点H为A1BC1的外心.又A1BC1是正三角形，•••点H为A1BC1的中心，也为ABG的重心.
II •考场精彩•真题回放
【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中, AB//CD, 且BAP CDP 90°•
(2)若PA=PD=AB=DC APD 90°，求二面角
APBC的余弦值.
【解析】分析：(1 )根据题设条件可以得出
AB1AP CDL PD而AB// CD,就可证明出ABL平面PAD 进而证明平面PABL平面PAD试题解析：
(1)由已知BAP CDP 90，得ABLAP, CDL PD由于AB// CD，故AB丄PD，从而ABL平面PAD又AB平面PAB
所以平面PABL平面PAD
(2)略
【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD 中，△ ABC是正三角形，△ ACD是直角三角形，
/ ABD/ CBD AB=BD
(1)证明：平面ACDL平面ABC
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四
面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角
D- AE- C的余弦值•
(1)证明：平面PABL平面PAD
【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°,则可得到面面垂直；
解析：(1)由题设可得，ABD CBD，从而AD DC 又ACD是直角三角形，所以
ACD=900取AC的中点O,连接DQBO则
【答案】(1)证明略；⑵
DOL ACDOA （又由于△ AB （是正三角形，故 BO AC .
所以 DOB 为二面角D AC B 的平面角.
在Rt △ AO 中, BO 2 AO 2 AB 2 .又 AB BD , 所以 BO 2 DO
BO 2 AO AB 2 BD 2， 故 DOB 90° .所以平面ACDL 平面
ABC.
【例4】【2015高考新课标1理18】如图，，四边形 ABC
为菱形，/ AB （=120°, E , F 是平面ABC 同一侧的两点,
BE!平面 ABCD DF L 平面 ABCD BE=2DF, AE! EC
【答案】(I )证明见解析；(II )略.
D
【解析】(I )延长 D , , CF 相交于一点
：
如图所示•因为平面
CF 平面 C ，且
(I)证明：平面 AEC L 平面AFC
【解析】
ilWffi it I
BDTrfM.尊
胖”颐护
4】,由匕81V,
前斗［平尺幅8" 41T-«7^W. MUC. 屯丄 me ; e?-Ji. jra 丄JC . 隹
可再 JU"五”
—.
'2
形 BDFE 中，由 BD=2, BE= ,2 , DF=—^ 可得
2
••• EG 2 FG 2 EF 2 ,••• EGL FG C C ，所以， C 平面 C ,因此，
F
C •又
因
为
F
C ,
F FC 1 ,
C 2 ,所以
C 为等 边三角形，且F 为C 的中点，贝y F
C •所
以 F 平面 CFD .
【例6】【2015高考陕西 理18】如图1，在直角
梯形 CD 中，D// C , D -,
2
C 1,
D 2, 是D 的中点，
是 C 与 的交点•将
沿 折起到
1 的位置，如图
2 •
【例5】【2016高考浙江理数】如图，在三棱台ABC DEF
中，平面 BCFE 平面 ABC , ACB=90o ,BE=EF =FC=1, BC=2, AC=3. (I) 求证：EF 丄平面ACFD
•/ AC n FG=G - EGL 平面 AFC •「EG 面AEC 二平面 AFC L 平面 AEC
在直角梯
EF =31 ,
2
(II)求二面角B-ADF的平面角的余弦值
（I ）证明：CD平面
（II ）若平
面
平面CD ,
求平面i C与平面i CD夹角的余弦值.
J6
【答案】（I）证明见解析；（II ）6
3
【解析】分析：（I ）先证C，再可平面CD 平面 C ; ( II ) 建空间直角坐标系，再算出平面C和平面i CD的法所以AOC为二面角A-BE-C的平面角，所以
AOC -.如图，以为原点，建立空间直角
2
坐标系，因为A i B=A i E=BC=ED=i , BC//ED
,0,0), E(-子,0,0),A i(0,0，T C(0冷
uuu 2 ■ 2
得BC(-"0),
uur uuu —
CD = BE =(-.2,0,0)
,0),
向量，进而可得平面i C与平面i CD夹角的余弦值. 解析：（I）在图1中，因为1,
D的中点, 2，所以即在图中, 平面AOC 又CD// ，所以CD平面AOC .
圈2
uuuu .. 2 2
A
i
C(0,〒-寸，
.设平面ABC的法向量ir
n = (x n y i, Z|),平面ACD 的法向量
ui
n2 =(X2, y2,Z2)，平面A i BC与平面ACD夹角
ir uur
m n BC 0 则ur uuur
，得
n i A i C 0
ir
取n =(i,i,i),
uu uuLr
n2 CD 0 x20 廿uu
uu uuLT ，得，取n2(0,i,i), n2 A i C 0 y2 Z2 0
从而cos
ur ur
|cos n^n? |
即平面A BC与平面ACD夹角的余弦值为
平面CD ，又由（I ）知, OA i ,
3 .
【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.解题时一定要注意二面角的平面角是锐角
还是钝角，否则很容易出现错误.证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三
【名师点晴】由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂 直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂 直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所 在•证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交
线这一 条件.证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握
空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的 一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂 直关系的基础.
精彩解读
线合一”和菱形、正方形的对角线.
【例7】【2014江苏理16】如图在三棱锥 P-ABC 中， D,E,F 分别为棱PC, AC, AB 的中点，已知
PA AC,PA 6,BC 8,DF 5，
求证（1）直线PA//平面DEF ；
（2）平面BDE 平面ABC .
【答案】证明见解析.
【解析】（1）由于D,E 分别是PC, AC 的中点，则有
PA 〃 DE ，又PA 平面DEF , DE 平面DEF ，所
以PA//平面DEF .
(2)由(1) PA// DE ，又 PA AC ,
1
所以PE AC ，又F 是AB 中点，所以DE PA 3,
2
1 EF -BC 4，又 DF 5,
2
所以DE 2 EF 2 DF 2，所以DE EF , EF, AC 是平
面ABC 内两条相交直线，所以 DE
平面 ABC , 又DE 平面BDE ，所以平面BDE
平面ABC .
【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B 组第2题.
【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力.这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置.
【思路方法】两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面或垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。

这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”.
【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力.
【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中.
【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1 ）对几何体结构认识不透，空
间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化．
III •理论基础•解题原理考点直线、平面平垂直的判定及其性质
IV .题型攻略•深度挖掘
【考试方向】
在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中.
【技能方法】
(1)证明线线垂直转化为证明线面垂直或面面垂直；
(2)证明线面垂直转化为证明线线垂直或面面垂直；
(3)证明面面垂直转化为证明线线垂直或线面垂直.
【易错指导】
(1)忽视定理的关键条件，如忽视直线与平面垂直的判定定理中，两条直线相交的条
件；
(2)胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；
(3)受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论.
V.举一反三•触类旁通
考向1空间直线与直线垂直
【例1】【2017四川省遂宁市联考】如图三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB l C i C为菱形,
B1C的中点为O，且AO 平面BB1C1C .
(1)证明：B1C AB ；
(2)若AC AB1, CBB1 - , BC 1,求三棱柱ABC A1BQ1 的高.
3
【答案】(1)见解析(2)
7
【解析】试題分析：⑴连接月6则。

为吗u与月q的交点，证明吗亡丄平面血。

可得坯7丄⑵作OD丄SC｝垂足为Q ,连接血•作丄的，垂足为H “证明为竽边三角形求出点2到+直时距萬｝即可二f旋柱乂弹G的高.
试题解析：(1)连接BG，则O为BQ与BG的交点，因为侧面BB1C1C为菱形,
所以B1C BO •又AO 平面BB1C1C，所以B1C AO ,
且AO BO O故DC 平面ABO.由于AB 平面ABO,故B1C AB .
(2)作OD BC，垂足为D，连接AD .
作OH AD，垂足为H •由于BC AO , BC OD ,
故BC 平面AOD，所以OH BC •又OH AD，所以OH 平面ABC ,
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】分折：〔I )利用勾股定理的逆走理可得AC 丄事6別用线面垂直的性庚定理可得CC,丄AC r 再 利用线面垂直的判定定理即可证明结论I (C)利用直三棱桂的性质、三角形的中位第疋理即可得出
因为 CBB 1 ，所以 CBB 1为等边三角形，又 BC 1 ,
3
可得0D 严•由于AC AB 1，所以OA 1B 1C £
由 OH AD ODOA ，且 AD , 0D 2 0A 2
—，得 0H
4
21 14
又0为B 1C 的中点，所以点 B 到平面ABC 的高为一学
故三棱柱ABC A 1B 1C 1的高为手
【点睛】证明线线垂直常见的有两种途径: (1)通过证明线面垂直达到目的，然而在实际证明过程中常常
是转化为证明线面垂直后，又可转化为证明面面垂直或线线垂直; (2 )利用三垂线定理证明.
【例2J .【2018临海市级联考】如图,在三棱柱ABC A ,B 1C 1中,
CC 1 底面 ABC, AC 3, BC 4, AB 5,点 D 是 AB 的中点.
DE !1娅再利用绒面平彳亍的判定定理即可证明结论』
试题解析：(I) •••三棱柱ABC A1B1C1底面三边长AC 3,BC 4, AB 5
~yL j * AC BC 又•CC 1 底面 ABC • CC 1 AC . CC 1 BC C ••• AC 平面 BCC i B i AC BC i (n )设CB i 与C i B 的交点为E ,连结DE DE // AC i DE 平面 CDB 1 , AC 1 平面 CDB 1 /• AC 1 //平面 CDB 1. 【例3】【遵义市 2018届高三联考】如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2的菱形, BAD 60 .已知 PB PD 2， PA 、6. (I)证明： PC BD ； P BCE 的体积和四棱锥 P ABCD 的体积分别为 V 和V 2，当 【解析】(I )证明；连接BD.AC 交于O^：:PB = PD, 又・.1450 是菱形』「.RD 丄川C,而= 0尸 二 一平面 PAC 且 PCd 平面 PAC j :.BD 丄 PC
••• D 是 AB 的 中 点 E 是 GB 的 中 点 (n)若 E 为PA 上一点，记三棱锥
以上三个结论中正确的序号是
A.①
B. ①②
C. ①③
D. ②③
(H)由条件可知： ABD PBD ,••• AO PO .3
••• PA 、6,.・. PA 2 OA 2 OP 2 ,••• PO AC
由(I)知， BD 平面PAC , PO 平面PAC ,
• PO BD , • PO 平面 ABCD ，•平面 APC 平面 ABCD 过E 点
作EF AC ，交AC 于F ，则EF 平面ABCD ,
• EF PPO ,• EF , PO 分别是三棱锥 E ABC 和四棱锥P ABCD 的高.
又 V 1 V P ABC V E ABC 1
3S ABC PO EF ， ABC 1 V 2 3S 菱形ABCD PO
由％ 1，得4 po V 2 8 EF PO
，
所以PO
EF
又由 AEF 同时, PO AP 【跟踪练习】 1.【北京市朝阳区 EF AE AE EP AE ， EP
AE
2018届高三期末】如图矩形 ABCD 中, AD 3.点E 在AB 边上,
记二面角 A DE A ,的平面角为
，当
CE DE 且 AE DE A ,C ；
1， VADE 沿直线DE 向上折起成VADE . ③任意两个位置，直线 DE 和直线AC 所成的角都不相等
【答案】C
【解析】对于①「当平面丄面仞E吋P 丄DE;d面丄也S 故①正确』
对于②'若存在某个位蚤，使Q恵丄、 TDE丄EC^ .DEl面4EGDE丄出瓦。

医丄/近与4XE1 为報角相矛盾，二②错误旻对于③，设血?丄DE于0,则珂在臥0为圆心以Q 为半f仝的半圆上，且DE芍半圆所在的平面垂直』所灯皓半圆所在的圆为底面的圆锥博线成的角都相等，而直线任何位置都不是满足条件的13锥的两条母线，所以任意两个位蚤，n^DE与4C所成的角都不相等，故⑧正确』故选U
【方法点睛】主要综合考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质、异面直线所成的角以及空间想象能
力与抽象思维能力。

2.【2017昆明一中高考仿真】如图所示的三棱柱ABE D CF中，AB AF，
BE EF 2.
(I)证明：A E BF ;
(n)若BEF 60°, AE 2AB 2，求三棱柱ABE D FC的体积.
【解析】（I）证明：在图2中取BF的中点O,连接AO , EO ,
因为AB AF，所以BF AO，又因为BE EF ,所以BF EO .
因为AOI EO O，所以BF 平面AEO ,而AE 平面AEO，所以AE BF .
g F
(n)由(I)知BF A O , BF EO ,
因为BE EF 2 , BEF 60°，所以BF 2 ,
因为AE . 2 A B 2，所以AB AF .2 ,
所以ABF为等腰直角三角形，且AO 1, EO .3 ,
三角形ACM 底边AC 的高，••• S ACM 所以AO EO ,则AO 平面BEF , 故AO 为三棱锥A BEF 的高，则 V A BEF 1 1 2 2 Sin60o 3 , 3 2 3 因为三棱柱ABE D FC 与三棱锥F ABE 同底等高， 所以其体积为V A BEDFC 3V A BEF 3 • 3.【2017届四川省资阳市高三上学期期末】如图，矩形 ACEF 和等边三角形 ABC 中， AC 2,CE 1 , (2)求三棱锥C ABM 的体积. 【解析】试题分析；(1)分EF 的中点次利用三角形的中位结的性质弄卩可证明M 丄面 BOM ,进而得到月施丄心⑵ 先求得山仙的面积』进而利用体积公式求得笞案. 试题解析：(1)證为线段亦的中点，理由如下： 分别取血的中点6 M ,连接咖, 在等边三角形血亡中，M 丄BO f 又为矩形ACEF 的中位线， AC±OM ,而 OMr\OB^O ? 所V.AC 丄面BOM ,所以』M 丄AC) 1 (2)由题Vg V* 3S ACM h ，由("和三角形ABC 为等边三角形得°为AC 的中点, 为三棱锥B ACM 的高h ，于是h .3，又•••无论 M 是EF 上的何点， M 到AC 的距离不变，即为 【答案】(1)证明过程见解析; (2) V C ABM BO (1 )若BM AC ，确定M 的位置，并说明理由; 1 , — V C ABM
PA PE 10 AE 6,P在以A,E为焦点，长轴长为10的椭圆上, 由椭圆的简单的几何性质
知: 占P 八、、
为短轴端点时, P到AE的距离最大，此时PA PE 5, OA OE 3 ,（指出即可，未说明理由不扣分）
所以PO max 4 ,
1
所以V p ABCDE max §S ABCDE PO max
112
4
3
4.【2017届云南省师范大学附属中学高考适应性月考（八）】如图，矩形ABDE （AE 6, DE 5 ），被
截去一角（即BBC），AB 3，ABC 135o，平面PAE 平面ABCDE，PA PE 10.
（1 ）求五棱锥P ABCDE的体积的最大值；
（2 ）在（1）的情况下，证明：BC PB.
112
【答案】（1）上（2）见解析
3
【解析】（I）解；因为所以= ^ = ^-^ = 5-3=2,所以截去的罡等腰直角三角枚
所从S JB CPF= ~二6x5—可富2 兀2二2& ・
£
如附
过P作PO AE，垂足为O ,因为平面PAE 平面ABCDE，平面PAE 平面ABCDE AE，PO
平面PAE，所以PO 平面ABCDE，PO为五棱锥P ABCDE的高•在平面PAE内，
(II 》诳月;连接。

孔如圖泳I )知，OA=AB=y,故9曲是割MSES®M^ABO^45°, ^XORC= ZABC-ZAS O = 135°-45c,^90°,即刃C_LEO . 由于刊？丄平面ABCDE.所臥P0丄BG 而尸Or\BO^O f 所W^C_L 平面尸00, 肿u 平面Pt 爼7所臥丄肿. 考向2 空间直线与平面垂直 【例1】【2017武汉部分学校上期起点考】如图，四棱锥 P ABCD 中, 90 , BC 2AD 2 , △ PAB 与厶PAD 都是等边三角形.
ABC BAD (1)证明：CD 平面PBD ； (2 )求四棱锥P ABCD 的体
(2 )由 1 )知PO 为四棱锥P ABCD 的高. •/ BC 2AD 2 , ABC BAD 90 ,
S ABCD (1 2) 1 3
又 PA 1 , AO P 。

• PA 2 A02 牛, 定定理；二是利用面面垂 【解析】⑴证明：过戸作卩。

丄平面血CD 于6连血•依题^PA = Pn = PD MA = O^ = OD.^
A ABD 为左fA,故O 为RD 的中点.丁尸Ou 面刘D, 二面严BD 丄面zfBCD .在梯^ABCD 中，CZ>2十耳护=€3〉，仁CD 丄dff .
T 面拠仞fl 面PBD=BDdD 丄平面FBD ,
直的性质.
V p ABCD -S ABC D 3
PB ,【例2】【2018福建省厦门市高三质检】如图，四棱锥P ABCD中，侧面PAB 底面ABCD , PA
CD 2AB 4 , CD PAB, BPA BAD 90 .
(1)求证：PB 平面PAD ;
(2)若三棱锥C PBD的体积为2,求PAD的面积.
【答案】⑴证明见解析；(2)
【解析】•⑴ 丁平面丑曲丄平面平面PABd平面ABCD = AB, ADu平面ABCD,且血丄AB, .\AD丄平面匕£B・
又：PB u平面PAB , :.PB±AD.又丁尸B丄昭』
PAnAD^A , P&PD匚平面二刃丄平面MD・
(2)取AB 中点E，连接PE . ••• PA PB ,二PE AB .
平面PAB 平面ABCD AB，二PE 平面ABCD .
••• PE为三棱锥P
BCD的
高,
且
1
PE —AB 1 .
2
又••• CD PAB , AD CD , ••-
S
BCD ^CD AD 2AD .
2
…V C PBD V P BCD 1S
BCD
3
P
E2
AD 2，得AD
3
3.
PA AB cos45
2，又
•••
A
D平面
PAB且PA
平
面
• PA AD . • S
1
PAD —
PA
A
D
3 /2
又••• PE 平面PAB，平面PAB 平面ABCD ,
22PAB ,
D
【跟踪练习】
1.【2017福建泉州市高三5月质检】如图，三棱锥A BCD中，AB AD,BC CD ,平面ABD 平面
BCD,点E, F分别是BD,CD的中点•
（1）求证：CD 平面AEF ；
（2）已知AB 4, BC 2,CD 2 ,3 ,求三棱锥B AEF的高•
【解析为RD的中^：.AE±BD .
又丁平面ABD ±平面BCD^面血DC平面BCD=BD:AE CL平面ABD ,AE丄平面BCD .又CD匚平面BCD,故/E丄UD .
又点耳尸为棱月的中点.囲此EF” RG・
又迟C丄CD]蘭丄CD.又EFf\AE = E t EF/E匚平面AEF,二CD丄平面AEF.
（2）由（1）得AE 平面BCD, 线段AE的长就是点A到平面BCD的距离.
又由EF 平面BCD得AE EF •
在中，BC 2,CD 2,3, BD . BC2CD24, AB AD BD 4,
故ABD是边长为4的等边三角形.
又Q AE BD,E 为BD 中点，AE 、AB2BE2. 42222,3 .
2 .【2018辽宁省沈阳市联考】 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面为直角梯形，•‘ , BAD 90° , PA 垂直于底面 ABCD ，PA AD AB 2BC 6，M , N 分别为棱PC, PB 的中点• (1) 求证：PB 平面ANMD ； (2) 求截面ANMD 的面积• 【答案】⑴见解析；(2)色2 4 【解析因为尸/丄平面ABCD, AD 匚平0ABCD 所臥PA 丄AD,因为/BAD 二90：所L^BAIAD 因为PAc 曲二所以血)丄平面PAB s 1S s BEF s BCD 4 1 ^BC CD 4 2 1 2 8 2、、
3 2 V B AEF V A BEF 3S BEF AE 1 3 2 2 .3 1 、、3, 在 Rt AEF 中， S AEF 】AE EF 1 2 3 1 3 2 2 设三棱锥B AEF 的高为h .则由 -3 J 3,故三棱锥B AEF 的高为J3 . 1 又点巳F 为分别为棱BD ,CD 的中点,因此EF 〃 BC ,且EF 1BC 1 , V B AEF 3S AEF h 得 h 詈
PBu 平面PAB,所以AD_LPB,
因为PA=AB* N为PB的中点」所以AN丄PR 因为ADc的所以PB丄平面ANMD
3
⑵ 因为BC=3 M N分别为棱PC PB的中点，所以MN—，且MN//BC
2
因为AD/ /BC，所以MN //AD
由⑴知AD MN，所以四边形ANMD^直角梯形
因为AD=6 AN=3>/2，所以截面ANM啲面积为45叵
4
3.【2018黑龙江省哈尔滨市模拟】如图1，已知知矩形ABCD中，点E是边BC上的点,
于点H ,且BE . 5, AB 2,5, BC 4 5，现将ABD沿BD折起，如图2,点A的位置记为A，此时
【答案】（1）见解析；（2）16
3
【解析】（"证明：T/5CD为柜脇皿=岳朋=还眈=命,
.\AE丄妙」因此，團2中』丄却丄血
又.PE交HE于点丄面dJTE・
（2）T矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AE与BD相交于点H，且BE . 5, AB 2-、5, BC 4、5
AE、AB2BE2 5 , BD.AB2AD2
1
BEH s DAH
AH AD DH4
—AH AH 4 , EH1,DH 8
EH BE BH1
AE
〔17
,
••• A
H
EH ,
•
S AHE
1
4 12
18 / 25
AE与BD相交
AE .17 .
（1）求证：BD 面A HE ；
（2）求三棱锥D AEH的体积•
2
考向3 空间平面与平面垂直 【例1】【2017届陕西黄陵中学二模】如图，在四棱锥 E ABCD 中， ADE 是等边三角形，侧面 ADE 底面 ABCD ，其中 AB//DC ，BD (I) F 是EC 上一点，求证：平面 (n)求三棱锥C BDE 的体积• 【解析】(I)「在此1ED 中，占? 砸:. AB 1 = AD 2 rBD 2 ?:劭丄 4D.又 平面QE 丄平面ABCD ,平面ADEC\平面ABCD = AD } 二ED 丄平面ADE, 匸平面劲戸…I 平面去DF 丄平面血丘 (II 》取Q 中点町由3去为等边三角形得二观丄個 丁平面ADE 丄平面ABCD ，二购丄平面ABCD , 1 , 3^3 , V C BDE V E _BCD gEH ,又因为 ADE 中，EH ，在ABD 中，AB 边上的高 3 2 3 4 12 5 5 1 12 1 12 S BCD S ABCD S ABD -(2 5) 3 4 , 2 5 2 5 1 12 3「3 6 ：3 6亦 V C BDE _ ---- ■ 三棱锥C BD 的体积为 3 5 2 5 5 【点睛】应用平面与平面垂直的判定定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线，由线面垂直 推出面面垂直.特别要注意直二面角在平面与平面垂直中的应用. 【例2】「【2017安徽名校阶段性测试】如图所示，正方形 ABCD 所在平面与圆 0所在平面相交于 CD 线段 CD 为圆0的弦，AE 垂直于圆0所在平面，垂足 E 是圆0上异于C, D 的点，AE= 3,圆0的直径CE= 9.
•••三棱锥D AEH 的体积V AHE 16 ~3 BDF 平面 ADE ； 2DC 4，AD 3，AB 5.
(1)求证：平面ABEL平面ADE
(2)求五面体ABCD的体积.
【答案】（1）见解析（2）18、5
【解析】分折Q先由线面垂直性质走理得AE1CD.再由圆的性质得CD丄D鼠由线面垂直判1定理得
CD丄平面ADE.最后根据平行得血丄平面ADE.,由面面垂直判定走理得第沦］勾先将五面体分割成两个三機锥BADE和良CDE*两个三橫锥的高为AB.AE,最后代人锥体体积公式即得结果
解析:⑴证明：垂直于圆。

所在平面』仞匸圆0所在平面,.\AS1CD.
又CD1DE, AffC}DS=E f血u平面ADE,刀£匸平囲ADE t
二CD丄平面ADEM.正方KABCD中，CDifAB, J.AB丄平面皿民
又恥匚平面.45E,二平面的E丄平面卫
⑵连接AC BD设正方形ABC啲边长为a,则AO边a,
又A C= CE2+A E= 90,.・.a= 3诵,DE= 6,
•••M ADL BA- S A ADE= X3 X = 9..
又AB// CD CD?平面CDE
•••点B 到平面CDE 勺距离等于点 A 到平面CDE 勺距离，即AE \A BCDE = "CDE ^ \B ADE = 【跟踪练习】 1.【2017河南省天一大联考上期段测】 如图，已知等边 ABC 中，E , F 分别为AB , AC 边的中点，M
1 为EF 的中点，N 为BC 边上一点，且CN BC ，将 AEF 沿EF 折到 A'EF 的位置，使平面A'EF 4 平面EFCB .
.•. V?CD U AE- 18 .
(I)求证：平面A MN 平面A' BF ;
(n)设BF MN G，求三棱锥A BGN的体积.
【解析】(I)因対/ F问等边^ABC的心」/C边的中点，
所是等边三角形’且EF//BC.因为M是EF的中点，所以』M丄丽又由于平面圧丽丄平面EFCJJ r A'ifd平面A l EF ,所以才"丄平面也7伽_ 51BF匚平面EFCB f所V.A'AflBF.
因^}CN=-BC y所^AfFf/CN ?所^MN/JCF.
4 =
在正AAffC中知召”丄CF,所臥甘F丄磁一
而AMV^Af，所以0F丄平面A'MN.
又因为月Hu平面A'BF,所"平面占阿丄平面A BF.
(n)由(I)知A'M 平面EFCB，所以A'M为三棱锥A' BGN底面上的高•
根据正三角形的边长为4，知AE'F是边长为2的等边三角形，所以A'M , 3.
易知GN 3CF 3, BN 3BC 3.
4 2 4
又由(I)知BF MN，所以BG ■. BN 2NG
所以S BGN ^BGgNG 寸9,3
8
c
P—ABCDK 底面ABC［是菱形，/ ABC= 60°, PAB
为正三角形，且侧面PABL底面ABCD E, M分别为线段AB PD的中点•
(I )求证：PE!平面ABCD
(II )求证：PB/平面ACM
(III )在棱CD上是否存在点G使平面GAI VL平面ABCD请说明理由.
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析•
【解析】试题分析：(V要证线面垂直』可先证线线垂直，再根据线面垂直的判定得到线面垂直』⑵ 构适三甬夥的中位线得到线袋平行，进而得站辆平行！⑶在檯仞上存在点G, G対CD的中点时，平面G4W 丄平面4BGD,先措后证』先证线面垂直，由线面推出面面垂直解祈三
<1)证明：IS为AJ泗为正三角形』E为皿的中点』所以円丄眄
又因为面刊厅丄面ABCD J面JWfl面ABCI^AB, PEu平面RA3.
所以丹丄平面A^CD.
(II )证明：连接BD交AC于H点，连接MH
因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点•
又因为M为PD的中点，所以MH/ BP
又因为BP 平面ACM MH 平面ACM所以PB// 平面ACM
(III )在棱CD上存在点G G为CD的中点时，平面GAI L平面ABCD
证明：连接EC •由(I)得，PE L平面ABCD
所以PEI CD因为ABCD是菱形，/ ABC= 60°, E为AB的中点，
所以ABC是正三角形，EC L AB .因为CD // AB所以EC L CD
因为PE P EC=E所以CDL平面PEC所以CD L PC
因为M G分别为PD CD的中点，
所以MG PC所以CDL MG
因为ABCD是菱形，/ ADC= 60°,所以ADC是正三角形•
又因为G为CD的中点，所以CDLAG
因为M® AG=G所以CDL平面MAG
因为CD 平面ABCD所以平面MA L平面ABCD
3.【2017届甘肃省兰州第一中学高三冲刺模拟】在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
AB 3，AD 2.2，ABC 45，P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且PE 2，2
BE 2EA，M在线段CD 上，且CM —CD .
3
占c
(I)证明：CE 平面PAB ；
(H)在线段AD上确定一点F,使得平面PMF 平面PAB并求三棱锥P AFM的体
积.
1
【答案】(I)见解析；(n)-.
3
【解析】试题分析：(I片親余眩定理结合勾股定理可得皿丄©由皿丄平面亦仞t^PElEC. 从而由线面垂直的判定定理可得结果序(I门取卩是血的中点.，先证明俪丄平面,即可证明册平面PAS f然后根据檯锥的俸积公式可得结臬.
试题解析=(I〉证明：在中，BC = 2^2, ZASC=^ f由余弦定理得EC=2.
所以十・从而有月去丄去＜7.
由PE丄平^PE±EC.
所离CT丄平面尸血.
(n)取F是AD的中点，作AN//EC交CD于点N，则四边形AECN为平行四边形，
CN AE 1，则AN//EC.在AND中，F, M分别是AD , DN的中点，
则FM / /AN，所以FM / /EC .因为CE 平面PAB，所以FM 平面PAB .
又FM 平面PFM，所以平面PFM 平面PAB .
【解析】⑴ 证明；连接Q 也T6 M 分别为ED 」PD 的中為 二在XED 中， 又"疋面 HCM, QMu 面 HU 込 /. ⑵ 证明：连接 阳二在正四檯锥中」PA=PC, 0为』U 的中晟 .\P0丄』G BD1AC.又 POCiBD=O ?:.卫匸丄平面 PSD ? 又/Cu 平面丄 W ・平面』W 丄平面P 石门 ⑶ 如图，把△ PAD 与 △ PC ［沿PD 展开成平面四边形 PADC 由题意可知 A , M C 三点共线， •••△ PAD^A PCD M 为PD 的中点「， ••• AM =MC,即卩M 为AC 中点，•••平面四边形 PADC 为平行四边形， 又PA = PC •平面四边形 PADC 为菱形， •正四棱锥的侧棱长为 2 •/ POL AC POL BD, PO 丄面 ABCD • PO 为正四棱锥的高 PO . PA 2 AO 2 •. 22 <'2 2 .2
S VAFM 11 11 1 2 3 sin45 = .V = S VAFM PE 2 3 2 3 3 4.【辽宁省沈阳市 2017-2018高三月考】如图，已知在正四棱锥 P ABCD 中，M 为侧 棱PD 的中点，连接 AC 、BD 相交于点0。

（1） 证明：PB//平面ACM ； （2） 证明：平面ACM 平面PBD ； （3） 设AB 2,若质点从点 A 沿平面PAD 与平面PCD 的表 M ，求正四棱锥 P ABCD 的体积。

面运动到点C 的最短路径恰好经过点
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析; (3)辽. 3
V p ABCD
1 1 - 4 2
3 S ABCD PO3
4 2丁
2 .【北京市昌平区2018届高三期末】如图，在四棱锥。