数字图像处理第7章图像重建北邮出版社200810全解
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数字图像处理每章课后题参考答案
数字图像处理每章课后题参考答案数字图像处理每章课后题参考答案第一章和第二章作业：1.简述数字图像处理的研究内容。
2.什么是图像工程？根据抽象程度和研究方法等的不同，图像工程可分为哪几个层次？每个层次包含哪些研究内容？3.列举并简述常用表色系。
1.简述数字图像处理的研究内容？答：数字图像处理的主要研究内容，根据其主要的处理流程与处理目标大致可以分为图像信息的描述、图像信息的处理、图像信息的分析、图像信息的编码以及图像信息的显示等几个方面，将这几个方面展开，具体有以下的研究方向：1.图像数字化，2.图像增强，3.图像几何变换，4.图像恢复，5.图像重建，6.图像隐藏，7.图像变换，8.图像编码，9.图像识别与理解。
2.什么是图像工程？根据抽象程度和研究方法等的不同，图像工程可分为哪几个层次？每个层次包含哪些研究内容？答：图像工程是一门系统地研究各种图像理论、技术和应用的新的交叉科学。
根据抽象程度、研究方法、操作对象和数据量等的不同，图像工程可分为三个层次：图像处理、图像分析、图像理解。
图像处理着重强调在图像之间进行的变换。
比较狭义的图像处理主要满足对图像进行各种加工以改善图像的视觉效果。
图像处理主要在图像的像素级上进行处理，处理的数据量非常大。
图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得它们的客观信息从而建立对图像的描述。
图像分析处于中层，分割和特征提取把原来以像素描述的图像转变成比较简洁的非图形式描述。
图像理解的重点是进一步研究图像中各目标的性质和它们之间的相互联系，并得出对图像内容含义的理解以及对原来客观场景的解释，从而指导和规划行为。
图像理解主要描述高层的操作，基本上根据较抽象地描述进行解析、判断、决策，其处理过程与方法与人类的思维推理有许多相似之处。
第三章图像基本概念1.图像量化时，如果量化级比较小时会出现什么现象？为什么？答：当实际场景中存在如天空、白色墙面、人脸等灰度变化比较平缓的区域时，采用比较低的量化级数，则这类图像会在画面上产生伪轮廓（即原始场景中不存在的轮廓）。
数字图像处理(许录平着)课后答案(全)
= E ∫ e − jux
0
3
第三章要求 1. 2. 3. 4. 5. 6. 了解图像的几何变换； 了解图像的离散傅立叶变换，掌握其重要性质； 了解变换的一般表示形式； 了解图像的离散余弦变换的原理 ； 掌握图像的离散沃尔什－哈达玛变换； 了解 K-L 变换的原理。 必做题及参考答案
2
3.3 证明 f ( x) 的自相关函数的傅立叶变换就是 f ( x) 的功率谱（谱密度） F (u ) 。 证明： 根据相关定理 另根据共轭定义 又根据共轭对称性
则与时间 t 无关；对于单色图像（也称灰度图像） ，则波长λ为一常数；对于平面图像，则与坐标 z 无 关，故 f(x,y)表示平面上的静止灰度图像，它是一般图像 f ( x , y , z , λ , t ) 的一个特例。 1.6 一个数字图像处理系统由哪几个模块组成？试说明各模块的作用。 解答： 一个基本的数字图像处理系统由图像输入、图像存储、图像输出、图像通信、图像处理和分析 5 个模块组成，如下图所示。
∫ ∫ h ( x, y )e = ∫ dx ∫ Ee
−∞ 0 −∞ x+a −a − x−a
+∞
+∞
− jux − jvy
e
dxdy
a − x+a
− jux − jvy
e
dy + ∫ dx ∫
0
x−a
Ee− jux e− jvy dy
a 2sin v( x + a) 2sin v(− x + a) dx + E ∫ e − jux dx −a 0 v v 0 0 2sin v( x + a) 2sin v( x + a) dx − E ∫ e jux dx = E ∫ e − jux −a − a v v 2 E ⎡ 0 − jux e − e jux ) sin v( x + a )dx ⎤ = ( ∫ ⎢ ⎥ − a ⎦ v ⎣ 0 −4 jE ⎡ sin ux sin v( x + a )dx ⎤ = ⎥ ⎣ ∫− a ⎦ v ⎢ 4 jE ( u sin va − v sin ua ) = v (u 2 − v2 )
数字图像处理方法图像恢复和重建
❖ 消除匀速直线运动造成的模糊
将上式的结果求反变换就得到恢复后的图象：
数字图像处理方法图像恢复和重建
图像恢复(1)
❖ 小结
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
图像恢复(1)
图像恢复和重建
❖ 例 模糊点源以获得转移函数进行图象恢复
退化系统的转移函数H(u，v)可以用退化图象的傅里叶变 换来近似。1幅图象可看作多个点源图象的集合，如将点源 图象看做单位脉冲函数(F[(x, y)]＝1)的近似，则有
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象灰复(1)
❖ 退化模型拓展
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
❖ 退化模型（1）
图像恢复和重建
• (a) 是1种非线性退化的情况，摄影胶片的冲洗过程可用这种模型 表示。光敏持性除中段基本线性外，两端都是曲线。 • (b) 表示的是1种模糊造成的退化。对许多实用的光学成象系统来 说，衍射产生的退化可用这种模型表示。 • (c) 表示的是1种目标运动造成的模糊退化。 • (d) 表示的是随机噪声的数字迭图像加处理，方这法图也像恢可复看和重作建 1种具有随机性的退化。
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象复原的代数方法(2)
❖ 非约束复原
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象复原的代数方法(2)
❖ 非约束复原
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象复原的代数方法(2)
❖ 非约束复原
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象复原的代数方法(2)
❖ 约束复原法
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象复原的代数方法(2)
将上式的结果求反变换就得到恢复后的图象：
数字图像处理方法图像恢复和重建
图像恢复(1)
❖ 小结
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
图像恢复(1)
图像恢复和重建
❖ 例 模糊点源以获得转移函数进行图象恢复
退化系统的转移函数H(u，v)可以用退化图象的傅里叶变 换来近似。1幅图象可看作多个点源图象的集合，如将点源 图象看做单位脉冲函数(F[(x, y)]＝1)的近似，则有
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象灰复(1)
❖ 退化模型拓展
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
❖ 退化模型（1）
图像恢复和重建
• (a) 是1种非线性退化的情况，摄影胶片的冲洗过程可用这种模型 表示。光敏持性除中段基本线性外，两端都是曲线。 • (b) 表示的是1种模糊造成的退化。对许多实用的光学成象系统来 说，衍射产生的退化可用这种模型表示。 • (c) 表示的是1种目标运动造成的模糊退化。 • (d) 表示的是随机噪声的数字迭图像加处理，方这法图也像恢可复看和重作建 1种具有随机性的退化。
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象复原的代数方法(2)
❖ 非约束复原
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象复原的代数方法(2)
❖ 非约束复原
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象复原的代数方法(2)
❖ 非约束复原
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象复原的代数方法(2)
❖ 约束复原法
图像恢复和重建
数字图像处理方法图像恢复和重建
图象复原的代数方法(2)
数字图像处理第7章 图像重建
G(r , ) F (r cos , r sin ) F (u, v)
G(r , ) F (r cos , r sin )
F (r cos , r sin ) F (u, v)
f(x,y)在一条与x轴夹角为θ直线s上的投影 的傅立叶变换等于其二维傅立叶变换在 与u轴成θ方向上的切片，这就是投影定 理，也称之为切片定理。
(cos 2 sin 2 ) f ( x, y ) e xp[ j 2 ( xr cos yr sin )]dxdy F ( r cos , r sin ) 1 f ( x, y ) e xp[ j 2 r ( xu yv)]dxdy f ( x, y ) exp[ j 2 r ( xu yv)]dxdy F (u, v)
二、图像重建分类：
1、从维数上分为： 二维图像重建、三维图像重建 2、从成像方式上分为： 发射断层成像 反射断层成像 透射断层成像
二、图像重建分类：
3、从采用的射线波长分为：
X射线成像 超声成像 微波成像 核磁共振成像(MRI) 激光共焦成像
三、三种基本的图像重建系统
发射断层成像系统 透射断层成像系统 反射断层成像系统
数据获取系统 (DAS)
Pre-Collimator
Post-Collimator
Source Filter
Scattering
Detector
Patient
数据获取系统(DAS)
X-ray Tube Source Filter
Detectors
CT Gantry
《数字图像处理》完全解答
《数字图像处理》第一章绪言1. 什么是数字图像处理?答：数字图像处理就是用计算机处理数字图像，包含了其输入和输出都是图像的过程（低级处理），从图像中提取特性的过程（中级处理），以及对单个对象进行识别的过程（高级处理）。
2．数字图像处理所涉及的相关分支有哪些(课堂笔记)?答：1．图像增强2．图像变换3．图像分割4．图像压缩5．图像恢复6．图像配准7．图像拼接8．图像重建9．图像分析10．图像融合11．图像检索12．图像识别13．图像水印14．图像分类15．图像理解3. matlab的窗口有哪些?答：MATLAB桌面包括5个子窗口：命令窗口、工作空间窗口、浏览器、当前目录窗口、历史命令窗口和一个或多个图形窗口（仅在用户显示一幅图形时出现）。
4. matlab的路径与目录如何设置?答：Workspace标签上方的Current Directory标签显示当前目录的内容，路径显示在当前目录窗口内。
在当前窗口中点击箭头会显示最近用过的路径列表。
点击该窗口右边的按钮可更改当前目录。
默认时，MATLAB和MathWorks工具箱提供的文件包含在搜索路径中。
要了解哪些目录位于搜索路径上，或是添加或修改搜索路径，最简单的方法是在桌面上从File菜单中选择Set Path，然后使用Set Path对话框。
5. 如何获得帮助、保存、载入？答：1获得帮助：要打开帮助浏览器，可在桌面工具条上双击问号符(?)，或在命令窗口提示符处键入helpbrowser。
要得到特殊函数的帮助，可选择Search标签，并为Search Type选择Function Name，然后在Search for域中键入该函数的名称。
获得某个函数的帮助的另一种方法是，在提示符处键入doc及该函数名。
在提示符处键入help及函数名，就会在命令窗口显示函数的H1行和帮助文本。
键入lookfor及一个关键字，会显示所有包含该关键字的H1行。
2保存：为保存一个完整的工作空间，可简单地在工作空间浏览器窗口中的任何空白处右键单击，并在出现的菜单中选择Save Workspace As。
精品课件-数字图像处理(王一丁)-第七章 图像重建
G(r, )
f (x, y) exp[ j2 (ux vy)]dxdy
7.2.2 图像投影定理 图像沿y方向积分投影及对应的频域情况 图像沿x方向积分投影及对应的频域情况
7.2.2 图像投影定理
y
v
沿 方向
积分投影
x
u
图像沿 θ方向积分投影及对应的频域情况
7.2.2 图像投影定理 v
x12 x11 x1 0 3.444 3.444
x62 x61 x6 0 5.556 5.556
代数重建迭代结果
每一种知识都需要努力， 都需要付出，感谢支持！
知识就是力量，感谢支持！
一一一一谢谢大家！！
G(r, ) f (s1, t) exp( j2 rs1 )dtds1
f (x, y) exp[ j2 r(x cos y sin )]dxdy
f (x, y)
F (u, v) exp[ j2 (ux vy)]dudv
令 u r cos
v r sin
u u
J (s,t) r cos r sin r(cos2 sin2 ) r (x, y) v v sin r cos
吸收一部分，余下部分被接收器接收。由于物体各部分对射线的吸收不同， 所以接收器获得的射线强度实际上反映了物体各部分对射线的吸收情况。
7.1.1 图像重建的方法
（2）发射断层重建成像 发射源在物体内部，一般是将具有放射性的离子注入物体内部，从物
体外部检测其放射出的量。 （3）反射断层重建成像 该方法利用雷达成像的原理，常用于雷达系统，关键在于提高分辨率。 （4）磁共振重建成像 核磁共振成像也称磁共振成像，是利用核磁共振原理，通过外加梯度
当入射波通过两个均匀分布的物体时，投影图发生重叠
数字图像处理课件全册完整课件
2.1.2 数字化原理
• 二维采样定理：采样频率大于图像信号最高频率的2
例倍：f (x, y) 2 cos 2π(3x 4 y), x y 0.2
F (u, v) 2 cos 2π(3x 4 y)e j2π(xuyv)dxdy (u 3, v 4) (u 3, v 4)
1.4.1 数字图像处理的主要应用 1.4.2 数字图像处理的发展趋势
1.4 数字图像处理的主要应用与趋势
1.4.1 数字图像处理的主要应用
遥感图像应用：资源调查、灾害监测、农林业规划、城 市
规划、环境保护等 医学图像应用:计算机断层摄影计算成像CT技术、X射 线、
染色体分析等 工业和实验图像应用:无损探伤、自动检查和识别、智 能机 器人等
• 数字图像
由连续的模拟图像采样和量化而得。组成数字图像的基 本单位是像素，所以数字图像是像素的集合。
• 像素为元素的矩阵，像素的值代表图像在该位置的亮度，称为图像的灰度值。 • 数字图像像素具有整数坐标和整数灰度值。
1.1.1 图像的基本概念
• 图像是一种语言 • 表达方法直观 • 表现力强
• 图像信息是人类信息获取和交流的主要方式 • 视、听、触、嗅、味等
1.3.2 计算机图形学
图像处理
计算机 图形学
图像 描述
图像识别 图像理解
1.3.3 计算机视觉
计算机视觉 研究对象： 图像或图像序列
图像处理 图像
研究内容： 视觉感知、 分割、
图像理解
图像处理、图像 图像分析
过程：
由图像特征感知、 由原始图像处理出 识别和理解三维场景 分析结果
1.4 数字图像处理的主要应用与趋势
2.1.2 数字化原理
数字图像处理学第7章 图像重建
一旦这样的物体三维信息被恢复，就可以求出 关于具有任意倾斜度平面的断面，或者可以由三维的 任意方向来看物体，从而使对物体形状的判读变得非 常容易。
从多个断面恢复三维形状的方法有Voxel 法（体 素法）、分块的平面近似法。
7.1 概述
图像处理一个重要研究分支是物体图像的重 建，被广泛应用于检测和观察，而重建方法一般是 根据物体一些横截面部分的投影而进行的。在一些 应用中，某个物体的内部结构图像的检测只能通过 这种重建才不会有任何物理上的损伤。例如：医疗 放射学、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、 光显微和全息成像学及理论视觉等等领域都多有应 用。
种解释的重要性在于：若取样值个数为有限的， 则积分值为有限的，也就是收敛。应注意到， 前面所写的含有| R |的积分表达式(7—19)不 总是收敛的。
另外，这样求导也可推出一种很简便的图像重建 方法。假定将投影数据 g ( , ) 都存放于一等量 矩形空间内，这种存放数据的方式称 为 Layergram。
f ( x, y) F (u, v) exp[ j 2 (ux vy)]dudv .
这就是重建技术的基础，要准确地重建原图像，必 须向足够多的射线进行投影
这些结论很容易推广到三维情形中。令:
f ( x1 , x2 , x3 ) 表示一物体,这里 f 可为实数或复数。它的三维傅氏 变换由下式给出它的三维傅氏变换由下式给出
7.3 卷积法重建
首先看下极坐标中的傅里叶反变换表达式
笛卡尔坐 标系和极坐 标的关系
x r cosa
y r sin ,
f (r , )
2
0
u R cos R sin v R sin R cos
数字图像处理学第7章 图像重建
例如：断层摄影图像的获取 基本方法
如图所示，从线性并排着的X线源发射一定强度的
X线，把通过身体的X线用与X线源平行排列的X线 检测器接收。然后把X线源和检测器组以体轴为中 心一点一点的旋转，反复进行同样的操作。利用 这样求得的在各个角度上的投影数据，就可得到 了垂直于体轴的断面 图像。
解联立方程组
一旦这样的物体三维信息被恢复，就可以求出 关于具有任意倾斜度平面的断面，或者可以由三维的 任意方向来看物体，从而使对物体形状的判读变得非 常容易。
从多个断面恢复三维形状的方法有Voxel 法（体 素法）、分块的平面近似法。
7.1 概述
图像处理一个重要研究分支是物体图像的重 建，被广泛应用于检测和观察，而重建方法一般是 根据物体一些横截面部分的投影而进行的。在一些 应用中，某个物体的内部结构图像的检测只能通过 这种重建才不会有任何物理上的损伤。例如：医疗 放射学、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、 光显微和全息成像学及理论视觉等等领域都多有应 用。
7.3 卷积法重建
首先看下极坐标中的傅里叶反变换表达式
笛卡尔坐 标系和极坐 标的关系
x r cosa
y r sin ,
f (r , )
2
0
u R cos R sin v R sin R cos
F ( R, ) R exp[ j 2 Rr sin( )]dRd
如图7—3所示。图中（a）是投影数据，(b)是傅 里叶变换的组合。若已知无数的投影，从极坐标
F ( R, ) 中计算得到的投影变换推出在矩形平面 中的傅里叶变换 F (u , v) 并不困难。
图 7—3 傅里叶变换的几何原理
数字图像处理PPT——第七章 图像分割
p-参数法
针对已知目标物在画面中所占比例的情况。 基本设计思想 选择一个值Th，使前景目标物所占的比例 为p，背景所占比例为1-p。 基本方法 先试探性地给出一个阈值，统计目标物的 像素点数在整幅图中所占的比例是否满足 要求，是则阈值合适；否则，阈值则偏大 或者偏小，再进行调整，直到满足要求。
p-参数法算法步骤
⎧ σ b2 ⎫ η | Th* = max ⎨ 2 ⎬ ⎩σ in ⎭
局部阈值方法
提出的原因 阈值方法对于较为简单的图像（目标 与背景差别大，容易区分的图像）简 单有效，对于较为复杂的图像，分割 效果不稳定。 方法 把图像分成子块，在每个子块上再采 样前述阈值分割方法
灰度－局部灰度均值散布图法
σ 12 =
f ( x , y )∈C 1
∑
( f ( x, y ) − μ1 )2
2 σ2 =
f ( x , y )∈C 22 )2
1 μ1 = N C1
f ( x , y )∈C 1
∑
f ( x, y )
1 μ2 = NC 2
f ( x , y )∈C 2
∑
f ( x, y )
参数空间的一条直线对应xy空间的一 个点
Hough变换提取直线原理
Xy空间一条直线上的n个点，对应kb 空间经过一个公共点的n条直线 Kb空间一条直线上的n点对应于xy空 间中过一公共点的n条直线
Hough变换提取直线算法
假设原图像为二值图像，扫描图中的每一 个像素点： 背景点，不作任何处理 目标点，确定直线： b = − xk + y 参数空间上的对应直线上所有的值累加1 循环扫描所有点 参数空间上累计值为最大的点(k*,b*)为所求 直线参数 按照该参数与原图像同等大小的空白图像 上绘制直线
数字图像处理 第七讲 图像重建
−∞
∞
该投影对应的傅立叶变换为： 该投影对应的傅立叶变换为：
图
建
GY (u) ∫ gY ( x) exp[− j2πux]dx ＝
∞ −∞
=∫
∞
从而可得： Y ＝ 从而可得： G (u) F(u,0) 即二维图像f(x,y)在X轴上投影的傅立叶变换， 在 轴上投影的傅立叶变换 轴上投影的傅立叶变换， 即二维图像 等于图像二维傅立叶变换在V=0的中心截面。 的中心截面。 等于图像二维傅立叶变换在 的中心截面 如果在Y轴上投影，同理可得： 轴上投影 如果在 轴上投影，同理可得：
图
建
本讲小结： 本讲小结： 投影定理及证明（掌握） 1、投影定理及证明（掌握） 2、图像重建的方法（简单了解） 图像重建的方法（简单了解） 图像重建的应用（简单了解） 3、图像重建的应用（简单了解）
图
建
第七讲 图像重建
7.1 概述 7.2 傅立叶变换投影定理 7.3 图像重建方法 7.4 图像重建的应用
图
建
7.1 概述
图像重建是图像处理中的一个重要分支， 图像重建是图像处理中的一个重要分支，被广 泛应用于检测和观察中。 泛应用于检测和观察中。这种方法一般是根据物体 的一些横截面部分的投影进行的，称为投影重建。 的一些横截面部分的投影进行的，称为投影重建。 投影重建： 投影重建：指从一个物体的多个投影图重建目 标图像的过程。即输入是一系列投影图， 标图像的过程。即输入是一系列投影图，输出是重 建图。 建图。
s cosθ sinθ x t = − sinθ cosθ y
图
建
图7－1
两坐标系间关系
将图像f( ) 轴投影， 将图像 (x,y)向S轴投影，可得下式，此时是沿 轴投影 可得下式， 积分路径s=xcosθ+ysinθ进行的。 进行的。 积分路径 进行的y)dt (
∞
该投影对应的傅立叶变换为： 该投影对应的傅立叶变换为：
图
建
GY (u) ∫ gY ( x) exp[− j2πux]dx ＝
∞ −∞
=∫
∞
从而可得： Y ＝ 从而可得： G (u) F(u,0) 即二维图像f(x,y)在X轴上投影的傅立叶变换， 在 轴上投影的傅立叶变换 轴上投影的傅立叶变换， 即二维图像 等于图像二维傅立叶变换在V=0的中心截面。 的中心截面。 等于图像二维傅立叶变换在 的中心截面 如果在Y轴上投影，同理可得： 轴上投影 如果在 轴上投影，同理可得：
图
建
本讲小结： 本讲小结： 投影定理及证明（掌握） 1、投影定理及证明（掌握） 2、图像重建的方法（简单了解） 图像重建的方法（简单了解） 图像重建的应用（简单了解） 3、图像重建的应用（简单了解）
图
建
第七讲 图像重建
7.1 概述 7.2 傅立叶变换投影定理 7.3 图像重建方法 7.4 图像重建的应用
图
建
7.1 概述
图像重建是图像处理中的一个重要分支， 图像重建是图像处理中的一个重要分支，被广 泛应用于检测和观察中。 泛应用于检测和观察中。这种方法一般是根据物体 的一些横截面部分的投影进行的，称为投影重建。 的一些横截面部分的投影进行的，称为投影重建。 投影重建： 投影重建：指从一个物体的多个投影图重建目 标图像的过程。即输入是一系列投影图， 标图像的过程。即输入是一系列投影图，输出是重 建图。 建图。
s cosθ sinθ x t = − sinθ cosθ y
图
建
图7－1
两坐标系间关系
将图像f( ) 轴投影， 将图像 (x,y)向S轴投影，可得下式，此时是沿 轴投影 可得下式， 积分路径s=xcosθ+ysinθ进行的。 进行的。 积分路径 进行的y)dt (
精品文档-数字图像处理(第二版)何东建-第07章
通常， 称|F(u)|为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱， φ(u) 为f(x)的相位谱。
频谱的平方称为能量谱或功率谱， 它表示为
E(u) F (u) 2 R2 (u) I 2 (u)
(7-15)
第7章 频域处理
考虑到两个变量， 就很容易将一维离散傅立叶变换推 广到二维。 二维离散傅立叶变换对定义为
N 2
时
f (x, y)(1)x yF Fra biblioteku M 2
,v
N) 2
第7章 频域处理
续表 6 7 8 9 10
11
周期性 共轭对称性 旋转不变性
平均值 卷积定理
相关定理
F(u,v) F(u aM,v) F(u,v bN) F(u aM,v bN) f (x, y) f (x aM, y) f (x, y bN) f (x aM, y bN)
第7章 频域处理 图7-1 任意波形可分解为正弦波的加权和
第7章 频域处理 图7-2 正弦波的振幅A和相位φ
第7章 频域处理 由此， 图7-1(b)、 (c)、 (d)三个不同的正弦波形可
以描述为图7-3所示的两幅图。 其中图7-3(a)表示振幅与频 率之间的关系， 称为幅频特性; 而图7-3(b)表示初相位与 频率之间的关系，称为相频特性。
限于篇幅，FFT算法的详细内容不再冗述。当然对于计算 机专业的学生而言，每个人都应尝试编写快速傅立叶变换的程 序。有关傅立叶变换的算法还有很多，网上的FFT算法源代码 也非常多，但不建议大家拿来就用。当你得到类似的代码后， 一定要认真分析其实现过程和思路，只有这样才能不断地提高 编程水平。
第7章 频域处理
M 1N 1
j 2 ( ux vy )
[ f (x, y)] F(u,v)
数字图像处理(北大课件)
距离
欧氏距离 E D4距离 城区距离 E D8距离 棋盘距离
E
机器视觉在线（网络收集整理）
数字几何
E
面积和周长
• 定义1 图象子集S的面积为其所含连通域内点 的个数和 • 定义 2 S 的边缘 IB(S) 中点的个数定义为 S 的周 长 亦称S的边缘面积 • 定义3 在跟踪S的所有边缘时 边缘跟踪算法 所取步数定义为S的周长 • 定义3 :同样计算跟踪S的所有边缘步数 但对 角线步骤每步算 2 水平与垂直步骤每步算1
ni N
− j 2π 1 e N
E 采用碟形运算
如果N是2的幂 则计算 量可以由N*N减为Nlog (N)
2
机器视觉在线（网络收集整理）
E 傅立叶变换的性质
• 对称性 • 加法定理 • 位移定理 时域上的位移产生一个与频率和位 ℑ{ f (t − a )} = e − j 2πas F ( s ) 移成正比的相移 • 卷积定理 时域上的卷积相当于频域上的乘积 1 s ℑ { f ( at )} = F ( ) a a • 相似性定理 • Rayleigh定理 变换函数和原函数有相同的能 E = ∫ f ( t ) dt = ∫ F ( s ) ds 量
∞ 2 ∞ 2 −∞ −∞
机器视觉在线（网络收集整理）
二维傅立叶变换
E 连续傅立叶变换
F (u , v ) =
∫ ∫ f ( x, y ) = ∫ ∫
−∞ ∞ −∞
∞
∞
−∞ ∞
f ( x , y ) e − j 2 π ( ux + vy ) dxdy F ( u , v ) e j 2 π ( ux + vy ) dudv
E 细化和特征提取
相关主题
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13
沿y轴的投影图示
F(u,v) f(x,y)
g y (x ) y x
F(u,0)
v
u
(a) 二维函数f(x,y)在x轴上投影
(b) f(x,y)傅立叶变换F(u,v)在u 轴上切片
沿y轴的的投影示意图
14
假设函数f(x,y)投影到一条经过旋转的直线上t1，t是一条与t1平行经过原点的直 线，与t垂直经过原点的直线为s，该直线s与x轴的夹角为θ，直线t1离开原点的
l
, xN ) 在第N -1维上的映射称为函数 f 在第N -1
f ( x, y )dy （7.1） f ( x, y )dx （7.2）
函数 f(x,y)在y轴上（沿x方向）的投影
设 f(x,y) 的傅立叶变换为F(u,v)，可得：
g x ( x) f ( x, y )dx
超声成像、微波成像、激光共焦成像、……
3
射线投影成像的基本原理：
人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减， 人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。
散射线
入射线
散射线
图7.1
组织对射线的吸收
4
投射断层成像：
射线穿过物体，在检测器上得到的遭受衰减的值＝＝射线的投影， 根据投影可以了解物体对射线的吸收程度。
同密度分布时的情况， 每块上的数字表示每块的密度或
入射线 少透射 高密度体 多透射 低密度体 入射线 2 入射线 1 4 1 2 2 6
衰减，总的衰减是叠加的，
一条射线束通过均匀密度物质的 厚块，
入射线
另一射线通过不等密度的厚块组
合，但检测器的记录相同， 因此，投影重建时需要一系列投 影才能重建二维图像。
l
f ( x, y)
F u, v exp j 2 ux vy dudv （7.3）
12
把式（7.3）代入到式（7.1）可得：
g y x F u , v exp j 2 ux vy dudv dy
获得另一组投影数据；
重复以上过程，便得到很多组投 影数据；
对这些数据进行处理形成三维图像。
图7.6
头颅CT扫描成像示意图
11
7.2 投影定理
一个N维函数 f ( x1 , x2 , x3 , 维的投影。 二维：函数 f(x,y)在x轴上（沿y方向）的投影
g y ( x) f ( x, y )dy
F u , v exp j 2 ux dudv exp j 2 vy dy
F u , v exp j 2 ux v dudv
（7.4）
F u , v v dv exp j 2 ux du
1
第7章 图像重建
7.1 7.2
7.3
7.4 7.5 7.6 7.7 卷积逆投影重建
2
图像重建：
由一系列沿直线投影图来重建二维图像， 由一系列二维图像重建三维物体。
成像方式：
透射断层成像 发射断层成像
反射断层成像
射线种类：
X射线成像、核磁共振成像、正电子发射成像、
Computed Tomography(CT)： 获1979年诺贝尔奖（Nobel Price） 布尔赫、珀塞尔，获1952年 诺贝尔奖，发现了核磁共振 现象 劳特布尔（美）、P·曼斯菲 尔德（英）获2003年年诺贝 尔奖，核磁共振的研究
（英）G.N.Hounsfield
（美）Allan M. Cormack
PET成像系统示意图
7
7.1 计算机断层扫描技术
计算机断层扫描技术又称为计算机层析或CT（Computed Tomography) 利用数字图像处理技术来获取三维图像。 CT机通常包括X射线管、X射线检测器、扫描机架、病人床、用来描成像的示意图
8
医学影像领域：
F u , 0 exp j 2 ux du
可知 gy(x,y)是F(u,0)的傅氏反变换， 或gy(x,) 的傅氏变换G(u)与F(u,0)相同。
结论，函数 f(x,y)在x轴上投影gy(x,y)的傅立叶变换等于f(x,y)的傅立叶变换F(u,v) 在(u,v)平面上沿u轴平面上的切片F(u,0)。
发射断层成像：
发射源在物体内部，将具有放射性的离子（放射元素）注入物体内部， 在物体外部检测其经过物体吸收之后放射量。
反射断层成像：
将入射信号（通常是单色平面波）入射到物体上， 通过检测经物体散射（反射）后的信号强度来重建。
5
透射投影成像，
图7.2表示等强度的射线透过不
9
CT实例：
扫描系统的X射线源和检测器，始终保持严格的相对静止； 射线管发出的是直线形波束，扫描机构围绕人体作旋转加平移运动；
以检测器的位置为自变量，就构成如图7.5(b)的电流—位置函数曲线。
图7.5
CT一次平移扫描所获得的输出信号
10
第一次直线平移扫描完毕后， 扫描系统旋转一个小角度， 再作第二次直线式平移扫描，
6
图7.2
等强度射线穿透不同组织的情况
6
发射投影成像
如，正电子发射成像（PET：Positron
检测器
光子 正电子 光子 负电子
检测器
Emission Tomography）
采用在衰减时放出正电子的放射性离子， 放出的正电子很快与负电子相撞湮灭而产 生一对相背运动的光子。 相对放置的两个检测器接收到这两个光子 就可以确定一条射线， 检测器围绕物体呈环形分布， 相对的两个检测器构成一组检测器对， 检测由一对正负电子产生的光子。
距离为s1，如图7.9所示。
以s和 t 可用θ为极坐标：
s x cos y sin t x sin y cos
沿y轴的投影图示
F(u,v) f(x,y)
g y (x ) y x
F(u,0)
v
u
(a) 二维函数f(x,y)在x轴上投影
(b) f(x,y)傅立叶变换F(u,v)在u 轴上切片
沿y轴的的投影示意图
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假设函数f(x,y)投影到一条经过旋转的直线上t1，t是一条与t1平行经过原点的直 线，与t垂直经过原点的直线为s，该直线s与x轴的夹角为θ，直线t1离开原点的
l
, xN ) 在第N -1维上的映射称为函数 f 在第N -1
f ( x, y )dy （7.1） f ( x, y )dx （7.2）
函数 f(x,y)在y轴上（沿x方向）的投影
设 f(x,y) 的傅立叶变换为F(u,v)，可得：
g x ( x) f ( x, y )dx
超声成像、微波成像、激光共焦成像、……
3
射线投影成像的基本原理：
人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减， 人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。
散射线
入射线
散射线
图7.1
组织对射线的吸收
4
投射断层成像：
射线穿过物体，在检测器上得到的遭受衰减的值＝＝射线的投影， 根据投影可以了解物体对射线的吸收程度。
同密度分布时的情况， 每块上的数字表示每块的密度或
入射线 少透射 高密度体 多透射 低密度体 入射线 2 入射线 1 4 1 2 2 6
衰减，总的衰减是叠加的，
一条射线束通过均匀密度物质的 厚块，
入射线
另一射线通过不等密度的厚块组
合，但检测器的记录相同， 因此，投影重建时需要一系列投 影才能重建二维图像。
l
f ( x, y)
F u, v exp j 2 ux vy dudv （7.3）
12
把式（7.3）代入到式（7.1）可得：
g y x F u , v exp j 2 ux vy dudv dy
获得另一组投影数据；
重复以上过程，便得到很多组投 影数据；
对这些数据进行处理形成三维图像。
图7.6
头颅CT扫描成像示意图
11
7.2 投影定理
一个N维函数 f ( x1 , x2 , x3 , 维的投影。 二维：函数 f(x,y)在x轴上（沿y方向）的投影
g y ( x) f ( x, y )dy
F u , v exp j 2 ux dudv exp j 2 vy dy
F u , v exp j 2 ux v dudv
（7.4）
F u , v v dv exp j 2 ux du
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第7章 图像重建
7.1 7.2
7.3
7.4 7.5 7.6 7.7 卷积逆投影重建
2
图像重建：
由一系列沿直线投影图来重建二维图像， 由一系列二维图像重建三维物体。
成像方式：
透射断层成像 发射断层成像
反射断层成像
射线种类：
X射线成像、核磁共振成像、正电子发射成像、
Computed Tomography(CT)： 获1979年诺贝尔奖（Nobel Price） 布尔赫、珀塞尔，获1952年 诺贝尔奖，发现了核磁共振 现象 劳特布尔（美）、P·曼斯菲 尔德（英）获2003年年诺贝 尔奖，核磁共振的研究
（英）G.N.Hounsfield
（美）Allan M. Cormack
PET成像系统示意图
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7.1 计算机断层扫描技术
计算机断层扫描技术又称为计算机层析或CT（Computed Tomography) 利用数字图像处理技术来获取三维图像。 CT机通常包括X射线管、X射线检测器、扫描机架、病人床、用来描成像的示意图
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医学影像领域：
F u , 0 exp j 2 ux du
可知 gy(x,y)是F(u,0)的傅氏反变换， 或gy(x,) 的傅氏变换G(u)与F(u,0)相同。
结论，函数 f(x,y)在x轴上投影gy(x,y)的傅立叶变换等于f(x,y)的傅立叶变换F(u,v) 在(u,v)平面上沿u轴平面上的切片F(u,0)。
发射断层成像：
发射源在物体内部，将具有放射性的离子（放射元素）注入物体内部， 在物体外部检测其经过物体吸收之后放射量。
反射断层成像：
将入射信号（通常是单色平面波）入射到物体上， 通过检测经物体散射（反射）后的信号强度来重建。
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透射投影成像，
图7.2表示等强度的射线透过不
9
CT实例：
扫描系统的X射线源和检测器，始终保持严格的相对静止； 射线管发出的是直线形波束，扫描机构围绕人体作旋转加平移运动；
以检测器的位置为自变量，就构成如图7.5(b)的电流—位置函数曲线。
图7.5
CT一次平移扫描所获得的输出信号
10
第一次直线平移扫描完毕后， 扫描系统旋转一个小角度， 再作第二次直线式平移扫描，
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图7.2
等强度射线穿透不同组织的情况
6
发射投影成像
如，正电子发射成像（PET：Positron
检测器
光子 正电子 光子 负电子
检测器
Emission Tomography）
采用在衰减时放出正电子的放射性离子， 放出的正电子很快与负电子相撞湮灭而产 生一对相背运动的光子。 相对放置的两个检测器接收到这两个光子 就可以确定一条射线， 检测器围绕物体呈环形分布， 相对的两个检测器构成一组检测器对， 检测由一对正负电子产生的光子。
距离为s1，如图7.9所示。
以s和 t 可用θ为极坐标：
s x cos y sin t x sin y cos