尺规作图角平分线
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一、尺规作图
1. 作一个角等于已知角的方法
已知:∠AOB ,求作:∠A ′O ′B ′=∠AOB.
作法:
1.以点O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA ,OB 于点C ,D ;
2.画一条射线O ′A ′,以点O ′为圆心,OC 长为半径画弧,交O ′A ′于点C ′;
3.以点C ′为圆心,CD 长为半径画弧,与第2步中所画的弧交于点D ′;
4.过点D ′画射线O ′B ′,则∠A ′O ′B ′=∠AOB.
2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′,使 A ′ B ′=AB , B ′C ′=BC ,C ′A ′ =CA.
O
A
B
C
D O′
A′
B′
C′ D′
作法:
画一个△A′B′C′,使A′B′=AB, A′C′=AC,B′C′=BC :
(1)画B′C′=BC;
(2)分别以点B′,C′为圆心,线段AB,AC长为半径
画弧,两弧相交于点A′;
(3)连接线段A′B′,A′C′.
二、角的平分线
导入:
小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼,刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点,要从P 点建成两条管道,分别与暖气管道和天然气管道相连.
问题1:怎样修建管道最短?
问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系,画来看一看.
角的平分线的画法
图12.3-1是一个平分角的仪器,其中AB= AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD 着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗?
作已知角的平分线的方法. 已知:∠AOB.
求作:∠AOB 的平分线.
作法:(1)以点O 为圆心,适当长为半径画弧,交OA 于点M ,交OB 于点N.
(2)分别以点M ,N 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧在∠AOB 的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC 即为所求(如图).
理论根据:作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法:“SSS ”. 拓展:根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线.
注意: “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时,画出的两弧不能相交.
如图所示,已知∠AOB ,求作:∠AOM = ∠AOB.
1
2
12
12
14
角的平分线的性质
如图12.3-3,任意作一个角∠AOB,作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,点P 画出OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你得到什么结论?在OC上再取几个点试一试.
通过以上测量,你发现了
角的平分线的什么性质?
1.性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
要点精析:
(1)点一定要在角平分线上;
(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度;
(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等.
2.书写格式:如图,∵OP平分∠AOB,
PD⊥OA于点D,PE⊥OB于
点E, ∴PD=PE.
例1、如图, ∠AOC=∠BOC,点P 在OC 上,PD⊥OA, PE⊥QB,垂足分别为D,E.求证PD=PE.
证明:∵PD⊥OA, PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中,
∠PDO=∠PEO,
∠AOC=∠BOC,
OP=OP,
∴△PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
例1】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,F在AC上,BE=FC,求证:BD=DF.
导引:要证BD=DF,可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等,两个三角形中已有一角和一边相等,只要再证DE=CD即可,这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得.
1、如图,在直线MN上求作一点P,使点P到射线OA
和OB 的距离相等.
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD
平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=
6 cm,则△DBE的周长是( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
3、如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC =50,DE=14,则△BCE的面积等于________.
总结:角的平分线图形结构中的“两种数量关系”:如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,DE交OC于点F.
(1)角的相等关系:
①∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF;
②∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP =90°;
③∠DPO=∠EPO=∠ODF=∠OEF.
(2)线段的相等关系:OD=OE,DP=EP,DF=EF.
三、角平分线的判定
角平分线的性质为:角的平分线上的点到角的两边距离相等.
交换上述已知和结论,你能得到什么结论,
这个新结论正确吗?
判定方法:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
书写格式:如图,∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC=∠BOC)
【例1】如图,BE=CF,DF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,BF和CE相交于点D.
求证:AD平分∠BAC.