华科数理统计作业答案
数理统计课后习题答案
数理统计课后习题解答应用数理统计第一章1.1 解：已知总体2(,)X N μσ ，则2(,)X N nσμ ，2(0,)X N nσμ-{1}0.95P X P μ-<=<=(0,1)N ,从而上式P=()σΦ查标准正态分布表得(1.96)0.975Φ=， n 最小要取221.96σ1.2 解：(1) 单个元件寿命长于800小时的概率为{800}1{800}i i P X P X >=-≤=0.001580010.0015e -⨯-⨯=0.9995∴ 该事件的概率为60.9995(2) 单个元件寿命短于3000小时的概率为{3000}i P X ≤=0.001530000.0015e -⨯⨯=40.166610-⨯∴ 该事件的概率为100.166610-⨯1.3 解：(1) X 1,X 2,X 3的联合概率函数为123331231123(,,)()!!!x x xs i i p x x x p x e x x x λλ++-===∏(2) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为1233()1231(,,)()x x x s i i f x x x f x e λλ-++===∏(3) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为 当i a x b ≤≤时，3123311(,,)()()s i i f x x x f x b a ===-∏当i x 取其他值时，31231(,,)()0s ii f x x x f x ===∏(4) X 1,X 2,X 3的联合概率密度为222123313[()()()]221231(,,)()(2)x x x s i i f x x x f x eμμμπ---+-+-===∏1.4 解：1,...,n X X 的联合概率密度为当0x <<∞时，2211(ln )2221111(,...,)()(2)ni i n nx s n ini ii f x x f x exμσπσ=---==∑==∏∏当x 为其他值时，1(,...,)0s n f x x =1.5 证明：原式＝21[()()]nii XX X a =-+-∑＝22111()2()()()nnnii i i i XX X a X X X a ===-+--+-∑∑∑∵1()nii XX =-∑＝0∴ 原式＝2211()()nnii i XX X a ==-+-∑∑＝221()ni nS X a =+-∑ ∴ 当a ＝X 时，21()nii Xa =-∑有最小值且其值等于2nS 。
华中科技大学数理统计第二次作业
学院：机械工程学院1、收集到 26 家保险公司人员构成的数据，现希望对目前保险公司从业人员受高等教育的 程度和年轻化的程度进行推断，具体来说就是推断具有高等教育水平的员工平均比例是否 低于 80%，35 岁以下的年轻人的平均比例是否为 0.5。
（数据见 练习 2 数据.xls—练习 2.1） 解：希望通过分析这26家保险公司人员构成的数据，研究目前保险公司从业人员受高等教 育的程度和年轻化的程度。
（1）推断高等教育水平的员工平均比例是否低于80%设原假设：保险公司具有高等教育水平的员工比例平均值不低于0.8，即H 0: μ=μ0≥0.8 备择假设：H 1：μ<0.8n=26，属于小样本，由于σ2未知，选用t 检验，检验统计量 T =计算的 x =0.729273 ，s 2=0.039274 X -μ0S/，取α=0.05拒绝域： x -μ0 S / ≤ -t ∂ (n -1), t == -1.784查t 检验分布表知临界值t α(26-1)=-1.7081显然，t=-1.784<- t α(25) =-1.7081,因此在α=0.05 的水平上拒绝原假设，选择备择假设 结论：保险公司具有高等教育水平的员工比例平均值低于0.8 （2）推断35 岁以下的年轻人的平均比例是否为0.5设原假设：年轻人比例的平均值与0.5 无显著性差异，即H 0: μ=μ0=0.5 备择假设H 1： μ≠0.5.n=26，属于小样本，由于σ2未知，选用t 检验，检验统计量 T =计算的 x =0.713875 ，s 2=0.022705X -μ0 S /，取α=0.05拒绝域： | x - μ0 | S / ≥ t ∂/2 (n -1), t == 7.097查表知α=0.05 的双尾t 检验临界值t α/2（25）=2.0595。
故超出[-2.0595,2.0595]的值均在拒 绝域内由于t=7.097不在拒绝域[-2.0595,2.0595]范围内，因此在α=0.05 的水平上拒绝原假设，选 择备择假设结论：保险公司 35 岁以下年轻人比例平均值不等于 0.52、练习 1 中保险公司的类别分为：1. 全国性公司；2. 区域性公司；3. 外资和中外合资公 司。
数理统计课后答案
数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。
不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。
025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是 。
小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。
0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为 。
1430.87、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ，2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。
用)1(~)1(222*--n S n χσ，1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布 。
)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。
用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 为子样均值，而01.0)(=>λX P ， 则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ，令∑∑==-=161110143i i i iX XY ，则Y 的分布)170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2S 分别是子样均值和子样方差，令2*210SX Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。
数理统计习题答案-2
数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布，试写出样本的联合分布律. n X X X ,,,12 解:()的分布律为：即X P X ~,λ ()!k e P X k k λλ-==, 0,1,2,,,n k =n X X X ,,,12 的联合分布律为：()n n P X x X x X x ===,,,1122 = ()()()n n P X x P X x P X x === 1122=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n x x xe x x x n-+++!!!1212, n i n x i 0,1,2,,,1,2,, ==2. 设总体X 服从()0,1N 分布，试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：，即()~0,1X N X 分布密度为：()2221x p x e -=π，+∞<<-∞xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x x x p x p112*(),,...=22222221212121n x x x eee --⋅-πππ=()}212exp{122∑=--n i i x n π x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-. 3. 设总体X 服从()2,μσN 分布,试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解：()2~,μσX N ，即X 分布密度为：()p x =()}2exp{2122σμπσ--x ，∞<<∞-xn X X X ,,,12 的联合分布密度为：()∏==ni i n x xx p x p 112*,,...)(=)()}21exp{121222∑-⋅⋅-=-ni i n n x μσπσ, x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解：频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小，可以估计X 取值的位置与集中程度，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位：kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9，试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设53.2,51.3,54.5,47.8,50.954321=====x x x x x()257.7151=∑=i ix，()51.54251==∑=i ix x(3) ss =()2512512xx xnx i ii i-=-∑∑===13307.84－5×51.542=25.982(4)=2s ()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6) =s s *ss n 11-=6.4955(7)=2.5486; (8)*s cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数.(10)中位数为=51.3; (11)极差为54.5－47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2. 3x2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设组中值依次为,频数依次为,129,,,x x x 129,,,n n n +=++=912n n n n 100,()=∑=911i i in x 3950;()=+=∑=911912i i in xn n x 39.5;()()-=-==∑∑==29129123ss n x x n xnx i i ii i i 210039.5166300-⨯=10275;()==s ss 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()93742或众数是()50,210=n ;中位数为39.523742=+;()11极差为:62-22=40;()4783,0.7568,12612512分位数为+++=+++=∴n n n n n n .3.略.4. 设是一组实数，a 和是任意非零实数，n x x x ,,,12 b bx ay i i -=(i n 1,, =)，x 、y 分别为、的均值， =i x i y 2xs ∑-iixn(x 2)1，=2ys 1n(y y i i-)∑2，试证明：① b x a y -=；② 222b s s x y =. 解①：∑∑==-==ni i ni i b x a ny ny 1111= ()∑=-ni i x a bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i x na nb 11= b x a -;②=2y s 1n∑-ii y y 2()=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---ni i b x a b x a n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n 121=221x s b .1.求分位数（1），（2）()820.05x ()1220.95x 。
数理统计教程课后重要答案习题
第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以 统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα， 得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。
数理统计课后题答案完整版
第一章3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211n x i i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解：*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解：121211121211n n i j i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n sn n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX D x Dx n nn n λλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX D x Dx n nn ==========∑∑∑∑14.解：因为()2,iXN μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nniii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200ny n nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩ （4）因为()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故()242000yY y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ 使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第 二 章 1.,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1x λ∧= 2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X ∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii in i i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。
概率论与数理统计习题解答 华南理工大学出版社
第一章
1-7 已知10个电子管中有7个正品和3个次品，每次任意抽
取1个来测试，测试后不再放回去，直至把3个次品都找到为 止，求需要测试7次的概率。
解
p
C31P62 P74 P170
1 8
1-10 房间中有4个人，试问没有2个人的生日在同一个月
份的概率是多少?
解
p
P142 12 4
1-13 将3个球放置到4个盒子中去，求下列事件的概率:（1）
P( AC BC ) P( AC) P(BC ) P( ABC) P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P(C)[P( A) P(B) P( A)P(B)] P(C)P( A B) A B与C相互独立。
7、解：(1)
A={点数之和为偶数} B={点数之和等于8}
rA 18 B {(2,6) , (6,2) , (3,5) ，(5,3) ，(4,4)} P(B A) P( AB) P(B) 5 / 36 5
P( A) P( A) 18 / 36 18
8、解：设Ai={第i人破译出密码} i=1,2,3
100
100
0.9524
P(C) P(A1)P(A2)P(A3) 0.95243 0.8639
22、解： Ai={产品来自第i箱}
B={产品是合格品} C={产品经检验为合格品}
3
(1) P(B) P(B Ai )P( Ai ) i 1 20 1 12 1 17 1 20 5 3 12 4 3 17 5 3 0.775
P(C) P(C B)P(B) P(C B )P(B )
数理统计第二章参考答案
平均极差为 = (
)= ，
则= = െ
= െ7.
2.10 设总体 X ~ P() ， X1,…，X n 是来自总体 X 的样本，试验证：对于任何值 [0,1] ， X (1 )S *2 都是 的无偏估计量。
解：
因此， X (1 )S *2 是 的无偏估计量。 2.14 设总体 X 服从泊松分布 P() ， X1,…，X n 为取自总体 X 的一个样本，求参 数 2 的无偏估计量的 R-C 下界。
n 2 2 2 n 2
n2
n 1
lim
n+
E( X（n） )2
பைடு நூலகம்
lim
n+
n 2 n2
2
2
n 2 n 1
lim
n+
2 1 2
2
2
2 1 1
0
n
n
因此 X（n）是 的均方相合估计量，故 X（n）必是 的相合估计量。
2.22 已知某种元件的寿命服从指数分布 Exp() ，抽出 12 只进行寿命试验，结果 为（单位：h）： 20 640 1750 50 1110 1660 640 2410 890 970 1520 750 试求 （1） 参数 和元件的平均寿命 的置信度为 90%的置信区间； （2） 元件平均寿命 的置信度为 90%的单侧置信下限及单侧置信上限； 解：
nx
n1 n
, x (0, )
0, else
E(x(n))
xf (x)dx
x
0
nx
n1
n dx
n n 1
E(x(n)2 )
x 2 f (x)dx
x2
0
nx
华科数理统计作业答案 练习2
1. 收集到26家保险公司人员构成的数据，现希望对目前保险公司从业人员受高等教育的程度和年轻化的程度进行推断，具体来说就是推断具有高等教育水平的员工平均比例是否低于80%，35岁以下的年轻人的平均比例是否为0.5。
（数据见 练习2数据.xls—练习2.1）解：（1）推断具有高等教育水平（大专及以上）的员工平均比例是否低于80%。
处理数据，结果如下设具有高等教育水平员工的平均比例为μ且服从正态分布。
原假设H 0：保险公司具有高等教育水平（大专及以上）的员工比例平均值不低于0.8，即 H 0 ：8.0≥μ备择假设：H 1：8.0<μ样本平均比例为 0.729273x = ，样本标准差198178.0=s 采用t 检验()()0.050.952525 1.7081t t =-=--1.8198=26/198178.08.0729273.0/s -x T =-==n μ，落在拒绝域内，拒绝原假设。
结论：没有足够的证据表明具有高等教育水平（大专及以上）的员工平均比例高于80%。
（2）35岁以下的年轻人的平均比例是否为0.5 处理数据，结果如下：设35岁以下的年轻人的平均比例μ服从正态分布。
原假设H 0：年轻人比例的平均值与0.5无显著性差异，即H 0：5.0=μ 备择假设H 1： 5.0≠μ样本平均比例为 0.713875x = ，标准差s =0.150683 采用双尾t 检验：t 0.25=2.0595T =x̅−μs √n =0.713875−0.50.150683√26=7.2374落在拒绝域内，拒绝原假设。
结论：没有足够的证据表明35岁以下的年轻人的平均比例为0.5。
2. 练习1中保险公司的类别分为：1. 全国性公司；2. 区域性公司；3. 外资和中外合资公司。
试分析公司类别1与3的人员构成中，具有高等教育水平的员工比例的均值是否存在显著性的差异。
（数据见 练习2数据.xls—练习2.1） 解：分别设1类、3类公司具有高等教育水平员工比例为12,μμ 处理数据，结果如下设具有高等教育水平员工比例12μμ、服从正态分布。
数理统计第一章答案
第一章 基本概念习题一1、 设总体X 的样本容量5n =,写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.1)、 ~(1,)X B p ; 2)、 ~()X p λ; 3)、 ~[,]X U a b ; 4)、 ~(,1)X N μ; 解 1）、所求的联合概率分布为555551234511(,,,,)()(1)(1)i i x x i i i f x x x x x f x p p p p -====-=-∏∏这里5115i i x x ==∑.2）、所求的联合概率分布为5555123455111(,,,,)()!!ixxi i i i i i f x x x x x f x ee x x λλλλ--======∏∏∑这里5110, 5i i x x λ=>=∑.3）、所求的联合概率分布为551234551111(,,,,)()()i i i f x x x x x f x b a b a =====--∏∏这里[,], 1,2,3,4,5.i x a b i ∈=4）、所求的联合概率分布为5221()()55221234551121(,,,,)()(2)i ii x x i i i f x x x x x f x eμμπ=----==∑===∏.2、 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1,1,1,1,2,0,0,1,3,1,0,0,2,4,0,3,1,4,0,2.写出样本的频率分布、经验分布函数并画出其图形. 解 1）、所求样本经验分布函数：0, 00.3, 010.65, 12()0.8, 230.9, 341, 4n x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩.试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解 根据作直方图的步骤，计算结果如下，其图形如图所示.直方图计算表区间分组 组中值 频数i v 频率i f 纵坐标值i y [165,167） 166 3 0.03 0.015 [167,169） 168 10 0.10 0.05 [169,171） 170 21 0.21 0.105 [171,173） 172 23 0.23 0.115 [173,175） 174 22 0.22 0.11 [175,177） 176110.11 0.055 [177,179] 178 5 0.05 0.0254、 设总体X 的方差为4,均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足(||)0.9P X k μ-<=.解 由题意知10011100ii X x ==∑的方差为4100,有： (||)()(P X k P k X k P μμ-<=-<-<=<< (55)(5)(5)2(5)115X P k k k k k μ-=-<<=Φ-Φ-=Φ-. 由(||)0.9P X k μ-<=，得到2(5)10.9k Φ-=即(5)0.95k Φ=.查表得5 1.65k =，因此所求的0.33k =.5、 从总体2(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解 由总体2(52,6.3)X N ，设361136i i X x ==∑，知：(52,36XN . 所求的概率为50.8525253.852(50.853.8)()X P X P ---≤≤=≤≤(1.71)( 1.14)(1.71)(1.14)1=Φ-Φ-=Φ+Φ-查表得(1.71)0.9567Φ=，(1.14)0.8729Φ=.因此所求的概率(50.853.8)0.8293P X ≤≤=.6、 从总体(20,3)XN 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解 由总体(20,3)XN ，设110n =，215n =，1011110i i X x ==∑，1521115i i X x ==∑，知：1(20,10X N ，2(20,15X N ，121(0,)2X X N -.所求的概率为212121(||0.3)1(||0.3)1(0.30.3)P X X P X X P X X ->=--≤=--≤-≤11[21]P =-≤≤=-Φ- 22(0.4242)≈-Φ查表得(0.4242)0.6628Φ=.因此所求的概率21(||0.3)0.6744P X X ->=.7、 设1210,,,X X X 是来自总体(0,4)XN 的样本，试确定c ，使得1021()0.05i i P X c =>=∑.解 由题意1210,,,X X X 均服从(0,4)XN ，知102210()(10)2i i X χ=-∑即21021(10)4i i x χ=∑.于是有：210102220.0511()()((10))44i ii i X c P X c P P χχ==>=>=>∑∑.查表得20.05(10)18.307χ=.有18.3074c=，得73.24c =. 8、 设总体X 具有连续的分布函数()F x ，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量1, , (1,2,,)0, i i i X Y i n X μμ>⎧==⎨≤⎩试确定统计量1ni i Y =∑的分布.解 由题意知(1,)iY B p ，()1()1i i p P X P X μμμ=>=-≤=-， 1,2,,i n =.从而由二项分布定义知1(,)nii YB n p =∑.9、设12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES .假设总体的分布为：1)、 ~(,)X B N p ; 2)、 ~()X p λ; 3)、 ~[,]X U a b ; 4)、 ~(,1)X N μ.解 1）、由~(,)X B N p ，知, (1)EX Np DX Np p ==-，11ni i X X n ==∑，故有：11111()()n n i i i E X E X Np nNp Np n n n=====⋅=∑∑；22211111(1)()()(1)(1)n n i i i Np p D X D X Np p nNp p n n n n==-==-=⋅-=∑∑； 2()(1)ES D X Np p ==-.2）、由~()X p λ，知, EX DX λλ==，11ni i X X n ==∑，故有：11111()()n n i i i E X E X n n n nλλλ=====⋅=∑∑；22211111()()n n i i i D X D X n n n n nλλλ=====⋅=∑∑；2()ES D X λ==.3）、由~[,]X U a b ，知2(), 22b a b a EX DX --==，11ni i X X n ==∑，故有： 11111()()222n n i i i b a b a b aE X E X n n n n ==---===⋅=∑∑； 2222221111()1()()()()222n n i i i b a b a b a D X D X n n n n n==---===⋅=∑∑； 22()()2b a ES D X -==.4）、由~(,1)X N μ，知, 1EX DX μ==，11ni i X X n ==∑，故有：11111()()n n i i i E X E X n n n n μμμ=====⋅=∑∑；222111111()()1n n i i i D X D X n n n n nλ=====⋅⨯=∑∑；2()1ES D X ==.10、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)XN μσ的样本，求：21[()]ni i E X X =-∑与21[()]ni i D X X =-∑.解 已知2211()1n i i S X X n ==--∑，故221()(1)ni i X X n S =-=-∑.有： 22221[()](1)(1)(1)(1)ni i E X X E n S n ES n DX n σ=-=-=-=-=-∑；222421(1)[()](1)[]ni i n S D X X D n S D σσ=--=-=∑.易知222(1)(1)n S n χσ--，于是241[()]2(1)ni i D X X n σ=-=-∑.11、设12,,,n X X X 是来自正态总体(0,1)N ，定义1||Y X =，211||ni i Y X n ==∑，计算1EY ，2EY .解 由(0,1), 1,2,,iX N i n =，则111(0,)nii X X N nn==∑.于是所求的2||211||||||1X nEY E X X e d X -⋅+∞-∞==⋅⎰2||20||||X nX ed X -+∞=⋅⎰2||22||2X nX ed -+∞=⎰2|2201||()2nX ed n n-+∞=--⎰2||20X n+∞-==. 2111111||||||n n ni i i i i i EY E X E X E X n n n ======∑∑∑2||211||||i X nii i X e d X n +∞--∞==∑⎰2||2012i X i i n X edX n +∞-=⋅⋅⎰12n n ==. 12、设12,,,n X X X 是来自总体(,4)XN μ的样本，X 为样本均值，试问样本容量n 应分别取多大，才能使以下各式成立：1)、2||0.1E X μ-≤; 2)、||0.1E X μ-≤; 3)、(||1)0.95P X μ-≤≥.解 由(,4), 1,2,,iX N i n μ=，则114(,)nii X X N n nμ==∑.1）、222||(2)E X E X X μμμ-=-+222E XE X μμ=-+2222()2DX E X μμμ=+-⋅+22442n n μμμμ=+-⋅+=. 由2||0.1E X μ-≤，得40.1n≤即40n≥.2）、2||421||||||2X nE X X ed X μμμμ--⋅+∞-∞-=-⋅-⎰2||42||||X nX ed X μμμ--⋅+∞-∞=-⋅-2||42204||()42nX ed n nμμ--⋅+∞-=--⋅⎰=由||0.1E X μ-≤0.1≤即800255n π≥≈. 3）、(||1)(11)P X PX μμ-≤=-≤-≤11()222X Pμ-=-≤≤ 21=Φ-. 由(||1)0.95P X μ-≤≥，得210.95Φ-≥即0.975Φ≥.由查表可列：1.962≥，得15.3664n ≥，故n 应为16.13、设12,,,n X X X 和12,,,n Y Y Y 是两样本均值X 和Y 之间的关系式1()i i Y X a b=-（,a b 均为常数，0b ≠），试求两样本均值X 和Y 之间的关系，两样本方差2X S 和2Y S 之间的关系.解 由1()i i Y X a b=-，有： 11111111111()()n n n i i i i i i Y Y X a X na X a n n b b n b n b=====-=⋅-⋅⋅=-∑∑∑.又222111111()[()()]11n n Yi ii i S Y Y X a X a n n b b===-=-----∑∑ 22111()1ni i X X b n ==⋅--∑ 221X S b =. 综上有1()Y X a b =-，2221Y X S S b=.14、设125,,,X X X 是来自总体(0,1)XN 的样本.1)、试确定常数11,c d ，使得2221121345()()()c X X d X X X n χ++++，并求出n ;2)、试确定常数2c ，使得222212345()/()(,)c X X X X X F m n +++，并求出m 和n .解 1)、由题意知：12(0,2)X X N +，345(0,3)X X X N ++(0,1)N，(0,1)N .故有：222(2)χ+.即2221234511()()(2)23X X X X X χ++++.由上得：1111,,223c d n ===. 1)、由题意知：22212(2)X X χ+，345(0,3)X X X N ++22(1)χ.故有：221222(2,1)X X F +，即221223453()2(2,1)()X X F X X X +++.由上得：23,2,12c m n ===. 15、设(),(,)p p t n F m n 分别是t 分布和F 分布的p 分位数，求证21/21[()](1,)p p t n F n --=.证明 设(1,)FF n ，则1(,1)F n F.于是111((1,))()((,1))(,1)p p p P F F n P F P F n F n F-≤=≤=≥11((,1))p P F n F=-≤ 1p =-.又221/21/21/2([()])(()())p p p P T t n P t n T t n ---≤=-≤≤ 1/22(())1p P T t n -=≤- 2(1/2)1p =-- 1p =-. 已知当()Tt n 时，2(1,)T F n .由上即可得证：21/21[()](1,)p p t n F n --=.16、设12,X X 是来自总体(0,1)XN 的一个样本，求常数c ，使212221212()0.1()()X X P c X X X X ⎛⎫+>= ⎪++-⎝⎭. 解 由题意知22221(2)X X χ+，12(0,2)X X N +，12(0,2)X X N -，(0,1)N(0,1)N .于是有：221212222212121212()()22()()()()X X X X P c P c X X X X X X X X ⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭2P c ⎛⎫⎪⎪⎪=>⎪⎪⎪⎭12P c ⎛⎫ ⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎭0.1=.(1,2)F ，故有：21(1,2)0.1c F -=.查表得0.92(1,2)8.53c F ==，即 4.265c =.17、设121,,,,n n X X X X +是来自总体2(,)XN μσ的容量1n +的样本，2,X S 为样本121,,,,n n X X X X +的样本均值和样本方差，求证： 1)、(1)T t n =-;2)、211(0,)n n X X N n σ++-; 3)、211(0,)n X XN nσ--.证明 1）、由题意知：211(,)nii X X N n nσμ==∑，21(,)nX N μσ+，(0,1)N .又知2221(1)nS n χσ--，故所求的(1)T t n =-.2)、由211(,)nii X X N n nσμ==∑，21(,)n X N μσ+，有：11()()()0n n E X X E X E X μμ++-=-=-=;222111()()()n n n D X X D X D X nnσσσ+++-=+=+=.故有211(0,)n n X X N nσ++-. 3)、由21(,)X N μσ，211(,)nii X X N n nσμ==∑，有：111211111n i n i n X X X X X X X n n n n=--=-=---∑； 112111()()n n E X X E X X X n n n --=--- 12111n n EX EX EX n n n -=--- 11n n n nμμ--=- 0=；112111()()n n D X X D X X X n n n--=---212222(1)11n n DX DX DX n n n-=+++22222(1)1n n n nσσ--=+ 21n nσ-= 故有211(0,)n X XN nσ--.18、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)XN μσ的一个样本，X 为样本均值，求n ，使得(||0.25)0.95P X μσ-≤≥.解 由题意易知211(,)nii X X N n nσμ==∑，所求的(||0.25)(0.250.25)P X PX μσσμσ-≤=-≤-≤0.250.25()P X σσμσσ=-≤-≤21=Φ-.由题意210.95Φ-≥，解得0.975Φ≥.查表得1.964≥，故62n ≥. 19、设12,,,n X X X 是来自总体[,]XU a b 的样本，试求：1)、(1)X 的密度函数; 2)、()n X 的密度函数. 解 因为[,]XU a b ，所以X 的密度函数与分布函数分别为1, [,],()0, [,],x a b f x b a x a b ⎧∈⎪=-⎨⎪∉⎩0, ,(), ,1, .x a x a F x a x b b a x b ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨-⎪>⎪⎩因此所求的(1)1()(1())()n f x n F x f x -=-11(1), [,],0, [,],n x a n x a b b a b ax a b --⎧-∈⎪=--⎨⎪∉⎩1(), [,],()0, [,],n n n b x x a b b a x a b -⎧-∈⎪=-⎨⎪∉⎩()1()(())()n n f x n F x f x -=11(), [,],0, [,],n x a n x a b b a b ax a b --⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩1(), [,],()0, [,].n nn x a x a b b a x a b -⎧-∈⎪=-⎨⎪∉⎩20、设125,,,X X X 是来自总体(12,4)XN 的样本，试求：1)、(1)(10)P X <; 2)、(5)(15)P X <. 解 由题意知：(12,4)iX N ，易得12(0,1)2i X N -.所求的55(1)(1)11(10)1(10)1(10)1(1(10))i i i i P X P X P X P X ==<=-≥=-≥=--<∏∏5551121(1(1))1(1(1))1(11(1))2i i X P =-=--<-=--Φ-=--+Φ∏ 51(1)0.5785=-Φ=；5(5)1(15)(15)i i P X P X =<=<∏5112(1.5)2i i X P =-=<∏ 55(1.5)0.93320.7077=Φ=≈. 21、设121,,,,,,m m m n X X X X X++为来自总体2(0,)XN σ的一个样本，试确定下列统计量的分布：1)、1miX Y =; 2)、21221mi i m ni i m n X Y m X =+=+=∑∑;3)、223221111()()mm n i i i i m Y X X m n σσ+==+=+∑∑. 解 1）、由2(0,) 1,2,,,1,,iX N i m m m n σ=++，知：21(0,)mii XN m σ=∑，21(0,)m nii m XN n σ+=+∑(0,1)miXN ∑，221()m ni i m X n χσ+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑.1)、1()mmiimiXXX Y t n ===∑∑;2)、22122121222211122(,)mmii mii i i m nm nm ni i ii m i m i m XXn X n mY F m n mm X XXnσσσσ===+++=+=+=+===∑∑∑∑∑∑;3)、222223221111()()(2)m m ni i m m ni ii i m X X Y X X m n χσσ++==+=+=+∑∑∑∑.22、设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X ，2S 为样本方差，问样本容量n 取多大能满足22(1)32.670.95n S P σ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭？ 解 已知：222(1)(1)n S n χσ--，由所求的22(1)32.670.95n S P σ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭有： 0.95(1)32.67n χ-=.查表得0.95(21)32.67χ=.故有121n -=即22n =.23、从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，2212,S S 分别为两样本方差，求2122 2.39S P S ⎛⎫> ⎪⎝⎭.解 由题意可得2122(19,14)S F S ，易得221122222.391 2.39S S P P S S ⎛⎫⎛⎫>=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由上知2.39为(19,14)F 的分位数，即(19,14) 2.39p F =.查表得0.95(19,14) 2.39F =.于是2122 2.390.95S P S ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.故所求的221122222.391 2.3910.950.05S S P P S S ⎛⎫⎛⎫>=-≤=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24、设总体2(,)XN μσ，抽取容量为20的样本1220,,,X X X ，求概率：1)、20212()10.8537.57i i X P μσ=⎛⎫- ⎪ ⎪≤≤ ⎪⎪⎝⎭∑;2)、20212()11.6538.58ii XX P σ=⎛⎫-⎪⎪≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑.解 1）、由题意知2022022121()()(20)ii i i XX μμχσσ==--=∑∑.于是有：()202212()10.8537.5710.85(20)37.57i i X P P μχσ=⎛⎫- ⎪ ⎪≤≤=≤≤ ⎪⎪⎝⎭∑ ()()22(20)37.57(20)10.85P P χχ=≤-≤查表得20.99(20)37.57χ=，20.05(20)10.85χ=.故所求的20212()10.8537.57i i X P μσ=⎛⎫- ⎪ ⎪≤≤ ⎪⎪⎝⎭∑()()22(20)37.57(20)10.85P P χχ=≤-≤ 1.99 1.050.94=-=. 2）、由题意知220222119()(19)i i X XS χσσ=-=∑.于是有：()202212()11.6538.5811.65(19)38.58i i X X P P χσ=⎛⎫- ⎪⎪≤≤=≤≤ ⎪⎪⎝⎭∑ ()()22(19)38.58(19)11.65P P χχ=≤-≤查表得20.995(19)38.58χ=，20.1(19)11.65χ=.故所求的 20212()11.6538.58i i X X P σ=⎛⎫-⎪⎪≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑()()22(19)38.58(19)11.65P P χχ=≤-≤0.9950.10.895=-=. 25、设总体2(80,)XN σ，从中抽取容量为25的样本，试在下列两种情况下求(|80|3)P X ->的值：1)、已知20σ=; 2)、σ未知，但已知样本标准差7.2674s =. 解 1）、由2(80,)XN σ，20σ=知(80,4)XN .所求的(|80|3)1(|80|3)1(3803)P X P X P X ->=--≤=--≤-≤380331()1[2()1]4444X P -=--≤≤=-Φ- 322()220.77340.45324=-Φ=-⨯=. 2）、已知(1)T t n =-，可得80(24)7.26745X t -.所求的(|80|3)1(|80|3)1(3803)P X P X P X ->=--≤=--≤-≤37.2674538031()1[2(24)1]7.26747.26747.2674555X P t -=--≤≤=--37.2674522(24)220.9750.05t=-=-⨯=.26、设12,,,n X X X 为来自总体2(,)XN μσ的样本，X ，2S 为 样本均值和样本方差，当20n =时，求1)、 4.472P X σμ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭; 2)、222||2P S σσ⎛⎫-<⎪⎝⎭; 3)、确定(0)C C >，使0.90SP C X μ⎛⎫>=⎪-⎝⎭.解 1）(0,1)N .所求的14.472 4.472 4.472X P X P X P σσμμμσ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫<+=-<=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.8413P⎛⎫=<=Φ=.2)、已知222(1)(1)n S n χσ--，则22219(19)S χσ.所求的22222222223||22222P S P S P S σσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222223131919319222222S S P S P P σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=<<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223191922(19)(19)0.900.250.875χχ⨯=-=-=.3)(1)t n -，于是1(19)S X P C P P t S C X μμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->=<=<= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.由题意知：(19)0.90t=.查表得 1.328(19)0.90t =即1.328=.因此所求的3.3676C ≈.27、设总体X 的均值μ与方差2σ存在，若12,,,n X X X 为它的一个样本，X 是样本均值，试证明对i j ≠，相关系数1(,)1i j r X X X X n --=--. 解 由题意知 ()()2,E X D X μσ==，由12,,,n X X X 为总体的一个样本，故()()()2,1,2,,i i E X D X i n μσ===，()()()i j i j E X X E X E X =.由X 是样本均值，故()()2,E X D X nσμ==.令()()12111i i i n i i n X X X X X X Y X X n-+--++++++=-=，()()()12111j j j nj j n X X X XXXY X X i j n-+--++++++=-=≠，则()()()()()()11110,0i jn n n n E Y EY nnμμμμ------====，()()()()2121111i i i n i n X X X X X X n D Y D n n σ-+--++++++-⎛⎫==⎪⎝⎭，()()()()2121111j j j n j n X X X X X X n D Y D n n σ-+⎛⎫--++++++-⎪== ⎪⎝⎭， ()()()()()()cov ,cov ,i j i j i j i j i j X X X X Y Y E YY E Y E Y E YY --==-=()()()()1211121111j j j n i i i n n X X X X X X n X X X X X X E n n-+-+⎡⎤--++++++--++++++=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()()()22222211-1-1-1i j i i j j n E X E X n D X n E X n D X n E X n ------=+()()()()22211212n E X n D X n nσ-+-=- ()cov ,1,1i j X X X X r X X X X n ----==--. 28、设总体2(,)XN μσ，从该总体中抽取简单随机样本122,,,(1)n X X X n ≥，X是它的样本均值，求统计量21(2)nin i i T XX X +==+-∑的数学期望.解 令2(2,2)i i n iY X X N u σ+=+，12ni i Y Y X ===∑.于是有22211(2)(2)(1)nni n i i Yi i T X X X Y Y n S +===+-=-=-∑∑. 因此所求的统计量21(2)nin i i T XX X +==+-∑的数学期望222(1)(1)2(1)Y Y ET E n S n ES n σ=-=-=-.。
数理统计第二章课后习题答案
第二章 参数估计2.2 对容量为n 的子样，对密度函数其22(),0(;)0,0x x f x x x ααααα⎧-⎪=⎨⎪≤≥⎩ 中参数α的矩法估计。
解：1202()()a E x x x dx ααα==-⎰22022()x x dx ααα=-⎰2321221333ααααααα=-=-= 所以 133a x α∧== 其中121,21(),,,n n x x x x x x x n =+++ 为n 个样本的观察值。
2.6 设总体X 的密度函数为12(;),,,,n f x X X X θ 为其样本，求下列情况下θ∧的MLE 。
(ii)1,01(;)0,x x f x αθθ-⎧=⎨⎩ 其它 0θ （v ）1,0(;)0,x e x f x θθθ-⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它 0θ 解：(ii)1111()n n n i i i i L x x θθθθθ--====∏∏1ln ()ln (1)ln n i i L n x θθθ==+-∑11111ln ()ln 01(ln )(ln )n i i n n i i i i d L n x d n x x n θθθθ=∧--===+==-=-∑∑∑ (v)111()n i i x n L e θθθ=-∑= 11ln ()ln()nii L n x θθθ==--∑211ln ()101,n i i n i i d L n X d x x X n θθθθθ=∧==-+===∑∑2.10 设总体123(,1),,,X N X X X μ 为一样本，试证明下述三个估计变量11232123312313151021153412111362X X X X X X X X X μμμ=++=++=++ 都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差，问哪一个最小？ 证：1123131()()()()5102E E X E X E X μ=++131()5102μμ=++= 同理：2123115()()()()3412E E X E X E X μ=++ 115()3412μμ=++= 3123111()()()()362E E X E X E X μ=++ 111()362μμ=++= ∴12,,μμμ是μ的无偏估计量。
精选-华中科技大学数理统计第二次作业
学院：机械工程学院1、收集到26家保险公司人员构成的数据，现希望对目前保险公司从业人员受高等教育的程度和年轻化的程度进行推断，具体来说就是推断具有高等教育水平的员工平均比例是否低于80%，35岁以下的年轻人的平均比例是否为0.5。
（数据见 练习2数据.xls —练习2.1） 解：希望通过分析这26家保险公司人员构成的数据，研究目前保险公司从业人员受高等教育的程度和年轻化的程度。
（1）推断高等教育水平的员工平均比例是否低于80%设原假设：保险公司具有高等教育水平的员工比例平均值不低于0.8，即H 0: μ=μ0≥0.8 备择假设：H 1：μ<0.8 n=26，属于小样本，由于σ2未知，选用t 检验，检验统计量T =，取α=0.05 计算的x =0.729273 ，s 2=0.039274(1)t n ∂≤-- , 1.784t ==- 查t 检验分布表知临界值t α(26-1)=-1.7081显然，t=-1.784<- t α(25) =-1.7081,因此在α=0.05 的水平上拒绝原假设，选择备择假设 结论：保险公司具有高等教育水平的员工比例平均值低于0.8（2）推断35 岁以下的年轻人的平均比例是否为0.5设原假设：年轻人比例的平均值与0.5 无显著性差异，即H 0: μ=μ0=0.5备择假设H 1： μ≠0.5. n=26，属于小样本，由于σ2未知，选用t 检验，检验统计量X T =，取α=0.05 计算的x =0.713875 ，s 2=0.022705拒绝域：/2(1)x t n ∂≥- , 7.097t == 查表知α=0.05 的双尾t 检验临界值t α/2（25）=2.0595。
故超出[-2.0595,2.0595]的值均在拒绝域内由于t=7.097不在拒绝域[-2.0595,2.0595]范围内，因此在α=0.05 的水平上拒绝原假设，选择备择假设结论：保险公司35 岁以下年轻人比例平均值不等于0.52、练习1中保险公司的类别分为：1. 全国性公司；2. 区域性公司；3. 外资和中外合资公司。
数理统计参考答案-(1)(1)
习题一1设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .解设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，1122334455511155(1)(,,,,)()(1)(1)i inx x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏其中：5115i i x x ==∑2）对总体~()X P λ11223344555115551(,,,,)()!!ixni i i i i xi i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λλλλ-==-==========∏∏∏其中：5115i i x x ==∑3）对总体~(,)X U a b5511511,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩∏∏ ，其他4）对总体~(,1)X Nμ()()()25555/222151111(,,)()=2exp2ixi iii if x x f x xμπμ---===⎛⎫==--⎪⎝⎭∑∏2为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解设(=0,1,2,3,4)i i代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：经验分布函数的定义式为：()()()(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k kkx xkF x x x x k nnx x+<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩，据此得出样本分布函数：200,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩图1.1 经验分布函数3某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.x()n F x解图1.2 数据直方图它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N .4设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.解()- 5P X k P k μ⎫⎪<=<⎪⎭()()555 P k X k μ=-<-< 因k 较大，由中心极限定理(0,1)X N ： ()()()-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-(5)(1(5))k k =Φ--Φ()2510.9k =Φ-=所以：()50.95k Φ=查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=. 5从总体2~(52,6.3)XN 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解()50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭(0,1)X U N =()()50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）6从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解设两个独立的样本分别为：110,,X X 与115,,Y Y ，其对应的样本均值为：X 和Y .由题意知：X 和Y 相互独立，且：3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N (0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤1P =-~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744X Y N X YN P X Y -->=-Φ=7设110,,X X 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ，使得1021()0.05i i P XC =>=∑.解因~(0,4)i X N ，则~(0,1)2iX N ，且各样本相互独立，则有： 10122~(10)2i i X χ=⎛⎫⎪⎝⎭∑所以：10102211()()144iii i CP X C P X ==>=>∑∑1021110.0544i i c P X =⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭∑102110.9544i i c P X =⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.8设总体X 具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量：1,,1,2,,0,i i i X Y i n X μμ>==≤⎧⎨⎩试确定统计量∑=ni i Y 1的分布.解 由已知条件得：~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-.因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有1~(,)ni i Y B n p =∑，1()Xp Fμ=-.9设1,,nX X 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES 。
数理统计基础习题解答
P( X1 = x1, X 2 = x2 ,L, X n = xn ) =
n
( ) ∑xi
p 1 − p ∑ i=1
n
n− xi
i=1
.
16 ． 设 ( X1, X 2 ,L, X n ) 为 总 体 X 的 一 个 样 本 ， 则 样 本 的 r 阶 原 点 矩 为
∑ 1
n
n i =1
X
r i
；样本的 r阶中心矩为
∑ 1
n
n i =1
(Xi
−
X )r
.
17．设 ( X1, X 2 ,L, X n ) 为总体 X ~ N (µ,σ 2 ) 的一个样本，则 E( Xi ) =
µ
；
D(Xi ) =
σ2
；
E
(
X
2 i
)
=
σ2 + µ2
.
18. 设总体服从参数为 λ 的泊松分布 X ~ P(λ) ，求样本 ( X1, X 2 ,L, X n ) 均值的期望
∑ ∑ ∑ 值，记 S12
=
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X )2 ， S22
=
1 n
n i =1
(Xi
−
X )2 ， S32
=
1 n −1
n i =1
(Xi
− µ)2 ，
∑ S
2 4
=
1 n
n i =1
(Xi
− µ)2
，则服从自由度为 n −1的 t 分布的随机变量是(
A ).
A. X − µ ． S1 n
由 D( X ) = (b − a)2 /12 知， D( X ) = D( X ) / n = (b − a)2 /12n
数理统计课后习题答案
习题一、基本概念1．解： 设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他 4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ 2.解： 由题意得：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x n x x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N 4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293=--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯= 7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.24 8．解：由已知条件得：(1,),1()iX Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().niX i Y B n p p F μ==-∑9.解: 1))1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2)λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3)()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4)1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ10.解： 1)()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)nii n S n S DXX D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)ni i D X X n σ=∴-=-∑11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1)()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)2222,2u u X u E u du ue du +∞+∞---∞===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,16u n n⎛⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解： 设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤=-()()12()2()12P T P T pP T ppP T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF == 17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X X X N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=-又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E XX D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N nnσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x a f x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P XP X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，21~(0,)m nii m XN n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故222221111~(2)mm ni i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解： 由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解： 1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a XP 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P c T P c S X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,))(1()()1cov(,)()1(,)1i j j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X D X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=---=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1．解：矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= ()()11111ln ln(1)ln nnni i i i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln n i i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解： 1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤= 2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3． 1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x xλλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+==3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+==联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni na Xb X ≤≤≤≤== 4) 解： 矩估计：00ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解： 矩法：()/0()(1)(2)x txEX edx t e dt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰ X αβ=+=2222()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ=-===极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx ni n L enx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n nL L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解： 矩法：22223222(2)x x tx EX dx dte dt Xθθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆ2Mθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏222ln ln43ln ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；5.解：1,ln lninx n nxiL e e L n nxλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。
高等工程数学华科(数理统计)
Ch1 数理统计的基本概念1.1数理统计的基本问题1.1.1数理统计的任务例 1 实验：随机在一大批产品中抽取产品进行检验。
（1）一旦查出废品即停止试验，认为该批产品不合格；（2）若到第件还未查出废品也停止试验，认为该批产品合格。
设为检查件数，则z 的概率分布为⎪⎩⎪⎨⎧=--=-==--0101,)1(1,,2,1,)1()(0n k p n k p p k z P n k若p 已知，可解决概率问题：∑-=---+-=1110100)1()1()(n x n k p n p p k z E pp p n p n x p n n p x n x k 1010111000)1]()1(1[1)1()(---=-=--+-=-+'=∑（2）若未知，则需解决统计问题：有实验结果推断出：(Ⅰ)估计kp 1= ；(Ⅱ)检验p ≤p 0;(Ⅲ)设计n 0=？数理统计的基本思想：从全体研究对数中抽取一部分实验，由实验结果推断全体的数理规律。
1.1.2总体与样本总体研究对象（数量指标）的全体（统计规律）。
z 或其分布F(x) 样本独立同分布的个随机变量X 1, X 2,…, X n ，记X 1, X 2,…, X n iid~ F (x ) 样本观察值x 1,…x n ~样本的一次实现（n 个实数） 1.1.3经验分布与直方图（非高数统计）经验分布函数F n (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥-=≤≤<+)()1()()1(,11,,2,,,0n k k x x n k x x x n k x x其中 x 1,…,x n ,→-∞=x (1)≤…≤x (n)<x (n+1)=∞ 格列文科定理，1}0)()(sup lim {==-∞→x f x F P xn直方图 a=a 0<a 1<...<a m=b)2(x )(n x )1(-n x )1(x频率f j =n j /n~x 1,...,x n 中溶入[a j-1,a j ]的比例作(a j -a j-1)*f j /(a j -a j-1)的矩形大数定律 1)(l i m=<-∞→εj j n p f P ,其中p j =P(a j-1<z ≤a j )1.1.4 统计量统计量T=g(X 1, X 2,…, X n )~样本的（可测）函数，与总体未知函数无关如i i n n i i z z z z n min ,,1112-∑=是统计量，但∑=-ni i z 122)(σμ不是样本均值∑==ni i z n z 11 →Ez =μ样本方差∑---=n i i z z n S 122)(11 →Dz =2σ 样本阶原点矩)(,111z M z n M n i ki k ==∑= →k k Ez =μ样本阶中心矩)1~V (,)(12221S nn S z z n V n i k i k -==-=∑= →k k z E v )(μ-=次序统计量 z (1)≤z (2)≤…≤z (n)中位数 ⎪⎩⎪⎨⎧=++≤++m n z z m n z z m m m 2),(2112,~)1()()1(极差 R=X (n )-X (1)1.2 抽样分布1.2.1 几个重要的统计分布(1)正态分布),(2σμN ,X ~ ),(2σμN σμ-⇒X ～)1,0(N (2)2χ分布～22221nX X X Y +++= ～)(2n χ 其中X 1, X 2, …, X n ~ N(0,1) 数字特征：n EX EY ni i ==∑=1，n DX DY ni i 21==∑=可加性：Y 1 ~χ 2(n 1)与Y 2 ~χ 2(n 2) 相互独立⇒ Y 1+ Y 2 ~χ 2(n 1+n 2)a a j-1 a j b上侧分位点)(2n αχ：αχα=>))((2n y P)(2n x α(3)t 分布～nY X～)(n t其中X ~)1,0(N 与 Y ~)(2n χ独立 对称性：)()(t T P t T P ≥=<⇒0=ET渐进正态性：)1,0(N T F−→−：2221)()(lim t T n et t f -∞→==πϕ上侧分位点)(n t α：αα=>))((n t T P ()()(1n t n t αα-=-))(n t α(4)F 分布～2211n Y n Y F =～),(21n n F其中Y 1 ~χ 2(n 1)与Y 2 ~χ 2(n 2)独立上侧分位点),(21n n F α：αα=>)),((21n n F F Pαα),(21n n F α 例2 证明：),(1)(122,11n n F n n F αα=-证明：由F 分布定义知若F ～),(21n n F ，则=F1),(12n n F=>-)),((211n n F F P α=<-),(11(211n n F FP α1-=>-),(11(211n n F FP α1-α即=>-),(11(211n n F FP αα 故),(1)(122,11n n F n n F αα=-1.2.2 抽样定理定理 设X 1, X 2, …, X n ~),(2σμN ,则(1)X ～),(2n N σμ；(2)221S n σ-～)1(2-n χ；(3) X 与2S 独立证明：(1)由正态分布的线性性质n X nX n X 111 +=～),(X D X E Nμ==∑=n i i EX n X E 11，n DX n X D ni i 211σ==∑=(2)221S n σ-= ∑=-ni i XX 12)(σ,而σXX i -～?),0(N且∑=-ni i XX 1σ=)(11X n X ni i -∑=σ=0 故自由度为n -1(3)由于中心化X X i -过虑了μ 的信息，而X 则集中了μ 的信息推论1 n S X T μ-=～)1(-n t 01nX 2σμ-～)1,0(N ，02 221S n σ-～)1(2-n χ，03 01与02独立∴11)(222---=n S n nX T σσμ～)1(-n tα推论2 设X 1, X 2, …, X n ~),(21σμN ，Y 1, Y 2, …, Y n ~),(22σμN则212122221121112)1()1()()(n n n n Sn S n Y X +-+-+----μμ～)2(21-+n n t推论3设X 1, X 2, …, X n ~),(21σμN ，Y 1, Y 2, …, Y n ~),(222σμN则22222121σσSS ～)1,1(21--n n FCh2 参数估计2.1 基本概念2.1.1 问题的提法引例.已知（由机制或经验）某交通路口等待通行的车辆数)P(~λz ，为计算“堵车”的概率λλ-∞=∑=≥e k n z P n k k !)(。
华中科大《概率论与数理统计》复习思考题答案(2015)
《概率论与数理统计》复习思考题答案一、选择题1．A2．C3．C4．B二、填空题3. (正,正) (反,反) (反,正) (正,反)5. 17. n 11)(|)n n P A A A -9.（1）0.3；（2）0.510. 0.211.甲种产品滞销或乙种产品畅销12. ()n n s s --1113. ４14. 若A 发生，则B,C 都发生16. B17. {=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）}{=C (正，正)，（正，反），（反，正）}三、解答题１．解：271333111)()()(=⨯⨯⨯⨯===C P B P A P ；278333222)()(=⨯⨯⨯⨯==E P D P ；91271271271)(=++=F P ；92333!3)(=⨯⨯=G P ；98911)(1)(=-=-=F P H P .2.解：随机实验是从17桶中任取9桶，故样本空间的样本点数为C 217，而其中符合定货要求的样本点数为C 410 C 34 C 23，因此所求概率为P= C 410 C 34 C 23/ C 917=24312523．(2)()()()201<33156P X F F ≤=-=4．解 （1）41.01211166=-= P ； （2）00061.012116246=⨯= C P ；（3）0073.012116246112== C C P5.解：（1）3,2,1,0,)3()2()(33===-k C k X P kk k 列表：（2）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3,132,12511721,1258110,125270,0)(x x xx x x F6. 解：设X 为抽到白球的个数，X=0，1, 2，3。
E(X)=12/35+18×2/35+4×3/35=60/35=12/7E(X 2)=12/35+18×4/35+4×9/35=120/35=24/7 D(X)=24/7-(12/7)2=24/495. 解（1）0:1600;1600H μμ=≠（2）检验统计量：6041600x Z -= 计算统计量的值：60416271600 1.8Z -== （3 ）结论：0.025 1.96Z z <=，未落入拒绝域因此可以认为这批产品该项指标为1600。
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● 1.某百货公司连续40天的商品销售额如下（单位：万元）： 41 25 29 47 38 34 30 38 43 40 46 36 45 37 37 36 45 43 33 44 35 28 46 34 30 37 44 26 38 44 42
36
37
37
49
39
42
32
36
35
根据上面的数据进行适当的分组，编制频数分布表，并绘制直方图。
（数据见练 解：打开Excel 练习1数据.xls ，再查如函数栏输入=MAX(A2：A41)，=MIN(A2：A41)得数据的最大值为49，最小值为25。
数据全为49－25=24，为便于计算和分析，将数据分为5组，各组组距为5。
用Excel 统计各组内数据的个数，点击“插入函数”，选择FREQUENCY ，确定FREQUENCY 函数的两个参数的值，其中：?Data-array ：原始数据或其所在单元格区域(A2：A41)?Bins-array ：分组各组的上限值或其所在单元格区域(C6:C9)?。
将各组天数除以总天数40，得到各组频率。
作出如下频数分布表： 2.为了确定灯泡
的使用寿命（小时），在一批灯泡中随
机抽取100只进行测试，所得结果如
下：
700
716 728 719 685 709 691 684 705 718 706 715 712 722 691 708 690 692 707 701 708 729 694 681 695 685 706 661 735 665 668 710 693 697 674 658 698 666 696 698 706 692 691 747 699 682 698 700 710 722 694 690 736 689 696 651 673 749 708 727 688 689 683 685 702 741 698 713 676 702 701 671 718 707 683 717 733 712 683 692 693 697 664 681 721 720 677 679 695 691 713
699
725
726
704
729
703
696
717
688
(1)利用计算机对上面的数据进行排序；
(2)以组距为10进行等距分组，整理成频数分布表，并绘制直方图； (3)绘制茎叶图，并与直方图作比较. (数据见练习1数据.xls-练习1.2) 解：（1）
频数分布表
销售收入（万元） 频数 频率%
25-30 6 0.15 30-35 6 0.15 53-40 14 0.35 40-45 10 0.25 45-50 4 0.1
651 658 661 664 665 666 668 671 673 674 676 677 679 681 681 682 683 683 683 684 685 685 685 688 688 689 689 690 690 691 691 691 691 692 692 692 693 693 694 694 695 695 696 696 696 697 697 698 698 698 698 699 699 700 700 701 701 702 702 703 704 705 706 706 706 707 707 708 708 708 709 710 710 712 712 713 713 715 716 717 717 718 718 719 720 721 722 722 725 726 727 728 729 729 733 735 736 741 747 749 （2）
（3）茎叶图如下：
频数分布表
灯泡使用寿命（小时）频数频率%
650-660 2 2
660-670 5 5
670-680 6 6
680-690 14 14
690-700 26 26
700-710 18 18
710-720 13 13
720-730 10 10
730-740 3 3
740-750 3 3
3.某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。
据对同行的调查得知，采
用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即
80%）的占六成。
该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品
全部达到优质。
问该企业决策者会倾向于如何决策？
解：设A ＝优质率达95％，A ＝优质率为80％，B ＝试验所生产的5件全部优质。
?P(A)＝0.4，P(A )＝0.6，P(B|A)=595.0，?P(B|A )=0.85，所求概率为： 4. 技术人员对奶粉装袋过程进行了质量检验。
每袋的平均重量标准为406=μ克、标准差为1.10=σHG 克。
监控这一过程的技术人者每天随机地抽取36袋，并对每袋重量进行测量。
现考虑这36袋奶粉所组成样本的平均重量x 。
(1) 描述x 的抽样分布，并给出x μ和x σ的值，以及概率分布的形状；
(3) 假设某一天技术人员观察到8.400=x ，这是否意味着装袋过程出现问题了呢，为什么？
解：（1）抽样分布为大样本的抽样分布，由中心极限定理，x 的抽样分布
服从均值为μ，方差为n 2σ的正态分布，即
406x ==μμ，683.136
1
.10n x ===σσ，该分布的形状为钟状。
（2）00135.0)3()(
8.400x P =-Φ≈-Φ=<x
x σμ
）（
（3）这意味着装袋过程出现了问题，因为我们通常认为小概率事件表示正常情况不可能发生的事件，现在一个概率为0.00135的事件发生了，则认为装袋过程出现了问题。
5. 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）：
3.3
3.1 6.2 5.8 2.3
4.1
5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6
6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7
1.4
1.2
2.9
3.5
2.4
0.5
3.6
2.5
求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。
(数据见练习1数据.xls-练习1.5)
解：（1）计算样本均值：利用练习1数据.xls-练习1.5中的数据，输入=A VERAGE(A2:A37)，得到x =3.3167；
（2）计算样本标准差1-n s ：输入=STDEV(A2:A37)，得6093.1s 1-n =； （3）分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间： 置信水平为90%时：
在函数栏输入=TINV(0.1,35)，得6896.1t 2
=α
当置信水平为90%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.87，3.77）小时；
✍置信水平为95%时：
在函数栏输入=TINV(0.05,35)，得0301.2t 2
=α
当置信水平为95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.77，3.86）小时；
✍置信水平为99%时：
在函数栏输入=TINV(0.01,35)，得7238.22
=αt
当置信水平为99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.59，4.10） 小时。
6. 生产工序的方差是共需质量的一个重要度量。
当方差较大时，需要对共需进行改进以减小方差。
下面是两部机器生产的袋茶重量（克）的数据：
数据.xls-练习1.6)
解：（1）计算样本均值：利用练习1数据.xls-练习 1.6中的数据，输入=A VERAGE(A2:A22)，=A VERAGE(B2:B22)，得到3295.3x 1=，2743.3x 2=；
（2）计算样本方差：输入=V AR(A2:A22)，=V AR(B2:B22)，得到
0584.0s 2
1=，0058.0s 22=；
（3）当05.0=α时，输入=FINV(0.025,20,20)，=FINV(0.975,20,20)得
4645.220,20F 4058.020,20F 2
2
-1==）
（，）（αα， 故置信区间为)
75.24,09.4()
4068
.00058.0/0584.0,4645.20058.0/0584.0()20,20(/s ,)20,20(/s 2/12
2212/2221==-）（ααF s F s |。