中考总复习讲义：三角形的基本性质+特殊三角形
直角三角形的基本概念与性质知识点总结
直角三角形的基本概念与性质知识点总结直角三角形是一种特殊的三角形，具有独特的性质和概念。
了解直角三角形的基本概念和性质对于数学学习和实际应用具有重要意义。
本文将总结直角三角形的基本概念和一些核心性质，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
一、基本概念直角三角形是指一个内角为90度（直角）的三角形。
常用符号表示直角三角形的三个角度如下：- 直角：用∠A表示，∠A = 90°，是直角三角形最重要的特征之一。
- 钝角：用∠B表示，∠B > 90°，是大于90度的角度。
- 锐角：用∠C表示，∠C < 90°，是小于90度的角度。
直角三角形的特殊性质使得它在计算和实际应用中具有广泛的适用性。
二、性质总结1. 边与角的关系：- 斜边：直角三角形中最长的一边称为斜边，通常用c表示。
- 相邻边：直角三角形中与直角相邻的两条边称为相邻边。
- 对边：直角三角形中与直角不相邻的边称为对边。
- 斜边平方定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两个相邻边的平方和。
即c² = a² + b²。
2. 辅助角的关系：- 正弦定理：对于一个直角三角形，斜边的长度与任意一个角的正弦值成正比。
即sinA = a / c，sinB = b / c，sinC = 1。
- 余弦定理：对于一个直角三角形，斜边的平方与两个相邻边的平方之差成正比。
即c² = a² - b²，c² = b² - a²。
- 正切定理：对于一个直角三角形，任意一个角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。
即tanA = a / b，tanB = b / a。
3. 角度关系：- 直角三角形中的两个锐角的和为90度，即∠B + ∠C = 90°，∠A + ∠C= 90°，∠A + ∠B = 90°。
- 锐角三角函数：直角三角形中的锐角可以用三角函数来表示，如正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角形的性质及特殊线段
三角形的性质及特殊线段三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有许多重要的性质和特殊线段。
本文将对三角形的性质进行探讨，并介绍一些重要的特殊线段。
一、三角形的性质1. 三角形的定义：三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。
其中，每两条边之间形成一个角，三个角之和为180度。
2. 三角形的内角和：三角形的内角和总是等于180度。
这一性质可以用以下公式表示：∠A + ∠B + ∠C = 180°3. 三角形的外角和：三角形的外角和总是等于360度。
外角是指一个内角的补角，用以下公式表示：∠A' + ∠B' + ∠C' = 360°4. 三角形的边长关系：三角形的两边之和大于第三边。
这一性质被称为三角形的三边不等式。
即：AB + AC > BC, BC + AC > AB, AB + BC > AC二、特殊线段1. 中线：三角形中的中线是连接三角形两边中点的线段。
对于任意三角形ABC，其三条中线交于一个点，称为三角形的重心G。
重心G将三角形划分为六个小三角形，每个小三角形的面积都相等。
2. 高线：三角形的高线是从一个顶点画到对边上的垂线。
对于任意三角形ABC，它的三条高线交于一个点，称为三角形的垂心H。
垂心H到三条边的距离都相等，即AH = BH = CH。
3. 角平分线：三角形的角平分线是从一个顶点将对角线平分的线段。
对于任意三角形ABC，它的三条角平分线交于一个点，称为三角形的内心I。
内心I到三条边的距离都相等，即AI = BI = CI。
4. 垂直平分线：三角形的垂直平分线是连接一条边的中点与对边垂直平分线的线段。
对于任意三角形ABC，它的三条垂直平分线交于一个点，称为三角形的外心O。
外心O到三个顶点的距离都相等，即OA = OB = OC。
5. 中位线：三角形的中位线是连接一个顶点与对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，它的三条中位线交于一个点，称为三角形的重心G。
三角形的分类与性质(知识点总结)
三角形的分类与性质（知识点总结）三角形是几何学中的基本图形之一，其分类与性质是我们学习和掌握三角形知识的基础。
本文将对三角形的分类以及其相关性质进行总结，以帮助读者更好地理解和应用相关概念。
一、三角形的分类根据三角形的边长长短和角度大小，三角形可以分为以下几类：1.按边长分类：（1）等边三角形：三条边的长度相等。
（2）等腰三角形：两条边的长度相等。
（3）普通三角形：三条边的长度各不相等。
2.按角度大小分类：（1）锐角三角形：三个内角均小于90度。
（2）直角三角形：其中一个内角为90度。
（3）钝角三角形：其中一个内角大于90度。
3.根据边长和角度分类的组合：根据边长和角度的不同组合，可以得到以下三角形的特殊分类：（1）等边等角三角形：即正三角形，三个内角均为60度，且三条边长度相等。
（2）等腰直角三角形：拥有一个直角，且两条腰的长度相等。
（3）等腰锐角三角形：拥有两个锐角，且两条腰的长度相等。
（4）等腰钝角三角形：拥有一个钝角，且两条腰的长度相等。
二、三角形的性质除了分类外，三角形还有一些重要的性质值得我们关注和记忆：1.内角和：任意三角形的三个内角和等于180度。
2.角的关系：（1）锐角三角形中，三个内角的大小按大小顺序排列即可。
(如A<B<C)（2）直角三角形中，其中一个内角为90度，另外两个内角互为补角。
（3）钝角三角形中，其中一个内角大于90度，另外两个内角的和小于90度。
3.边的关系：（1）等边三角形的三条边长度相等。
（2）等腰三角形的两个底角（等腰三角形两腰之间的夹角）相等。
（3）等腰直角三角形中，两条腰的长度相等，且斜边是两腰长度的平方和的平方根。
4.勾股定理：勾股定理是直角三角形最重要的定理，描述了直角三角形斜边平方等于两直角边平方和的关系。
5.海伦公式：海伦公式用于计算任意三角形的面积，公式为：面积 = （p * (p - a) * (p - b) * (p - c)）的平方根，其中p为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边长。
中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)
特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证； （2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变 理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。
三角形知识总复习
折叠纸盒
折叠纸盒的构造中，常常 可以看到三角形的应用， 它们能够承受一定的压力， 保持纸盒的形状。
三角形在数学与其他学科中的应用
几何学
三角形是几何学中基础图形之一， 研究三角形的性质、面积和周长
等基础知识是几何学的重要内容。
工程学
在工程设计中，三角形的应用非常 广泛，如结构设计、机械零件设计 等。
详细描述
根据三角形的角度和边长，可以将三角形分为不同的类型。 例如，等边三角形三边相等，三个角都是60度；等腰三角形 两边相等，两个角相等；直角三角形有一个90度的角等。这 些分类有助于理解三角形的特性和性质。
02 三角形的面积与周长
CHAPTER
三角形的面积计算
01
02
03
公式法
使用三角形面积公式（面 积 = (底 × 高) ÷ 2）计算 面积。
三角形知识总复习
目录
CONTENTS
• 三角形的基本性质 • 三角形的面积与周长 • 三角形的角度与勾股定理 • 三角形的全等与相似 • 三角函数与解三角形 • 三角形的实际应用
01 三角形的基本性质
CHAPTER
三角形的基本定义
总结词
三角形是由三条边和三个角构成的闭合二维图形。
详细描述
三角形的基本定义包括其构成的要素，即三条边和三个角。这三条边在平面几 何中首尾相连，形成一个封闭的二维图形，而三个角则定义了三角形的角度大 小。
等边三角形
等边三角形的三条边长度相等，面积计算公式为（面积 = (√3/4) × a^2），其中a是等边三 角形的边长。周长计算公式为（周长 = 3a）。
等腰三角形
等腰三角形有两边长度相等，面积计算公式为（面积 = (底 × 高) ÷ 2），周长计算公式为 （周长 = a + b + c），其中a、b和c分别是三角形的底、相等的两边和另一条边。
直角三角形的特殊性质与推论
直角三角形的特殊性质与推论直角三角形是一种特殊的三角形，它具有一些独特的性质和推论。
在本文中，我们将详细探讨直角三角形的特点，并分析其相关的推论。
一、直角三角形的定义和基本性质直角三角形是指一个角度为90度的三角形。
根据直角三角形的定义，我们可以得出以下基本性质：1. 直角三角形的两条边与直角边的关系：直角三角形的两条边相互垂直，并与直角边存在一定的比例关系。
2. 直角三角形的斜边：直角三角形的斜边是直角边的对边，也是直角三角形中最长的一条边。
3. 直角三角形的两个锐角：直角三角形的两个锐角是互补角，即它们的和为90度。
二、勾股定理勾股定理是直角三角形中最著名的推论之一。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理可以用数学公式表示为：c² = a² + b²，其中a和b代表直角边的长度，c代表斜边的长度。
这个定理由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，被认为是数学中最重要的定理之一。
勾股定理的应用非常广泛。
它可以用来计算直角三角形的任意一边的长度，或者判断一个三边长度是否能够构成直角三角形。
三、特殊的直角三角形除了勾股定理，直角三角形还有一些特殊的性质和推论。
下面我们将介绍两种特殊的直角三角形。
1. 等腰直角三角形：等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中，两个锐角也是相等的，都为45度。
2. 30-60-90三角形：30-60-90三角形是指一个锐角为30度，一个锐角为60度的直角三角形。
在30-60-90三角形中，斜边的长度是直角边长度的两倍，而较小的锐角为30度的直角边长度是较大锐角为60度的直角边长度的一半。
这两种特殊的直角三角形在几何学和三角学中有广泛的应用。
四、直角三角形的应用直角三角形的性质和推论在实际问题中有许多应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 测量高度：直角三角形常用于测量无法直接测量的高度。
通过测量斜边和相关的角度，可以使用三角函数来计算出高度的长度。
决战中考之三角形专项突破专题01 三角形的基本概念和性质(老师版)
专题01 三角形的基本概念和性质知识对接考点一、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6．三角形具有稳定性.专项训练一、单选题1．（2021·福建九年级其他模拟）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（）A．GD，EI，MH B．GF，EF，MF C．DE，GH，MI D．AD，AG，GD 【答案】A【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．【详解】A、拿掉GD，EI，MH后，剩下的图形如下：图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；B、拿掉GF，EF，MF后，剩下的图形如下：图形中有4个三角形，此项不符题意；C、拿掉DE，GH，MI后，剩下的图形如下：图形中有6个三角形，此项不符题意； D 、拿掉AD ，AG ，GD 后，剩下的图形如下：图形中有9个三角形，此项不符题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．2．（2021·黑龙江九年级三模）有长度分别为1,2,3cm cm cm 的小木棒若干，从中任取三根首尾顺次相接组成三角形，则能组成形状不同的三角形（ ） A ．4种 B ．5种C ．6种D ．7种【答案】B 【分析】根据三角形三边的关系任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分类讨论即可． 【详解】 解：∵1+2=3，∵三边长只能组成等边三角形或者等腰三角形，∵长度分别为1,1,1cm cm cm ，2,2,2cm cm cm ，3,3,3m cm cm 组成等边三角形，边长不等，但形状相同，则为一种；∵当两边长相等时有：2,2,1cm cm cm ，3,3,1cm cm cm ，2,2,3cm cm cm ，3,3,2cm cm cm ，4种形状不同的三角形； 因此共有5种，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键在于根据任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分析．3．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级其他模拟）锐角∵ABC中，∵B＝45°，BC则AC的长可以是（）A．1B C D【答案】D【分析】作CD∵AB于D，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD=CD=1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.【详解】解：作CD∵AB于D，如图所示：∵∵B＝45°，∵∵BCD是等腰直角三角形，∵BD＝CD＝sin=1BC B，∵BCD＝45°，当AC＝1时，点D与A重合，∵ABC是直角三角形，选项A不符合题意；当AC1AD CD==，则∵ACD是等腰直角三角形，∵ACD＝45°，∵∵ACB＝90°，∵ABC是直角三角形，选项B不符合题意；当AC AC＜CD，∵∵ACD＞∵A，则∵ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；当AC时，12AD CD ==<∵∵ACD＜∵A，则∵ABC是锐角三角形；选项D符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·连云港市新海实验中学九年级二模）如图，在Rt ABC 中，∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到∵A 'B 'C '， M 是BC 的中点，P 是A 'B '的中点， 连接PM ，则线段PM 的最大值是（ ）A ．4B ．2C ．3D．【答案】C 【分析】连接PC ，分别求出PC ，CM 的长，然后根据PM MC PC ≤+即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接PC ， ∵∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°， ∵AB =2BC =4，由旋转的性质可知：=90A CB ACB ''=∠∠，4A B AB ''==， ∵P 、M 分别是A B ''、BC 的中点， ∵122PC A B ''==，112CM BC ==，∵3PM MC PC ≤+=，∵PM 的最大值为3，且此时P 、C 、M 三点共线， 故选C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．（2021·福建省同安第一中学）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3，4，8 B ．5，6，11C ．4，4，8D ．8，8，8【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A 、3+4＜8，不能构成三角形； B 、5+6=11，不能构成三角形； C 、4+4=8，不能构成三角形； D 、8+8＞8，能构成三角形． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．6．（2021·福建九年级其他模拟）若某三角形的两边长分别为5和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A ．4 B ．5C ．14D ．15【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系即可得． 【详解】设该三角形第三边的长为a ，由三角形的三边关系得：9559a -<<+，即414a <<， 观察四个选项可知，只有选项B 符合， 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． 本号资料皆来源于微信公众号：数学第六*感7．（2021·辽宁）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则S ∵ABC 的面积为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】C 【分析】利用割补法求∵ABC 面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可． 【详解】解：在网格中添加字母如图， S ∵AEB =1112122AE BE ⋅=⨯⨯=， S ∵AFC =1123322AF FC ⋅=⨯⨯=， S ∵BGC =11313222BG GC ⋅=⨯⨯=，S 正方形=9EF FC ⋅=，∵S ∵ABC = S 正方形- S ∵AEB - S ∵AFC - S ∵BGC =9-1-3-3722=． 故选择C ．【点睛】本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键． 8．（2021·福建宁德市·）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．2，3，5C ．2，2，4D ．2，2，5【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A 中，3+2＞4，能够组成三角形； 符合题意 B 中，2+3＝5，不能组成三角形；不符合题意 C 中，2+2＝4，不能组成三角形；不符合题意 D 中，2+2＜5，不能组成三角形．不符合题意 故选：A ． 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．9．（2021·陕西咸阳市·九年级一模）如图，CM 是ABC ∆的中线，BCM 的周长比ACM ∆的周长大3cm ，8cm BC =，则 AC 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】C 【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵CM 为∵ABC 的AB 边上的中线， ∵AM =BM ，∵∵BCM 的周长比∵ACM 的周长大3cm ， ∵（BC +BM +CM ）-（AC +AM +CM ）=3cm ， ∵BC -AC =3cm ， ∵BC =8cm ， ∵AC =5cm ， 故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键． 本号资*料皆来源于微信公众号：数学第六感10．（2021·福建省厦门第六中学九年级三模）如图，在ABC 中，BC 边上的高是（ ）A ．CDB ．AEC ．AFD ．AH【答案】C 【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得出结论． 【详解】由图可知，过点A 作BC 的垂线段AF ， 则ABC 中，BC 边上的高是AF ， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 二、填空题11．（2021·内蒙古包头市·）在ABC 中，,A B ∠∠都是锐角，且满足2sin cos 0A B ⎫+=⎪⎪⎝⎭，则三角形的形状是__． 【答案】钝角三角形 【分析】根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求出,A B ∠∠,再根据三角形内角和定理求得C ∠,判断三角形的形状即可． 【详解】2sin 0cos 0A B ⎫≥≥⎪⎪⎝⎭∴sin0A=cos0B=45,30A B∴∠=︒∠=︒1804530105C∴∠=︒-︒-︒=︒∴ABC是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．12．（2021·浙江九年级专题练习）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．【答案】2 5【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：3、5、83、5、103、5、133、8、103、8、133、10、135、10、135、8、105、8、138、10、13其中能组成三角形的有：∵3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；∵5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；∵5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；∵8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；所以有4种方案符合要求，故能构成三角形的概率是P=410=25，故答案为：2 5 .【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面，不能重复也不能遗漏.13．（2021·扬州市梅岭中学）判断命题“若ABC的边a、b、c满足22a b ac bc-=-，则ABC 是等腰三角形”的真假，答：_________．（选填“真命题”或“假命题”或“无法判断”）【答案】真命题【分析】根据22a b ac bc-=-变形即可求得,,a b c的关系，再进行判断即可【详解】22a b ac bc-=-()()()a b a b c a b∴+-=-a b c+≠a b∴-=a b∴=∴ABC是等腰三角形故答案为：真命题【点睛】本题考查了命题，因式分解，三角形三边关系，等腰三角形的定义，因式分解后根据三角形三边关系判断是解题的关键．14．（2021·内蒙古包头市·）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F 在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G ，则AGF的面积是________．【答案】5611．【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH∵CD，交AB于N，先证明∵ABE∵∵MCE，由CF=3DF，可求DF =1，CF =3，再证∵ABG ∵∵MFG ，则利用相似比可计算出GN ，再利用两三角形面积差计算S ∵DEG 即可． 【详解】解：延长AG 交DC 延长线于M ，过G 作GH ∵CD ，交AB 于N ，如图， ∵点E 为BC 中点， ∵BE =CE ，在∵ABE 和∵MCE 中， ABE MCE BE CEAEB MEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵ABE ∵∵MCE （ASA ）， ∵AB =MC =4，∵CF =3DF ，CF +DF =4，∵DF =1，CF =3，FM =FC +CM =3+4=7， ∵AB∥MF ，∵∵ABG =∵MFG ，∵AGB =∵MGF ， ∵∵ABG ∵∵MFG ， ∵47AB GN MF GH ==， ∵4GN GH +=， ∵1628,1111GN GH ==， S ∵AFG =S ∵AFB -S ∵AGB =1111165644422221111AB HN AB GN ⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=， 故答案为5611．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运用相似比计算线段的长是解题关键．15．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）如图，在Rt∵ABC中，AB＝AC，D、E 是斜边BC上两点，且∵DAE＝45°，将∵ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到∵AFB，连接EF，下列结论：∵∵AED∵∵AEF；∵AE ADBE CD=；∵∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵BE2+DC2＝DE2；∵BE＝EF﹣DC；其中正确的选项是_____________（填序号）【答案】∵∵∵【分析】∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF，因为∵BAC=90°，∵DAE=45°，所以∵CAD+∵BAE=45°，可得∵EAF=45°=∵DAE，由此即可证明∵AEF∵∵AED；∵当∵ABE∵∵ACD时，该比例式成立；∵根据旋转的性质，∵ADC∵∵ABF，进而得出∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵据∵知BF=CD，EF=DE，∵FBE=90°，根据勾股定理判断．∵根据∵知道∵AEF∵∵AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确．【详解】解：∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF．本号资料皆来源于微@信公众号：数学第*六感∵∵BAC=90°，∵DAE=45°，∵∵CAD+∵BAE=45°，∵∵EAF=45°，∵∵AED∵∵AEF；故本选项正确；∵∵AB=AC，∵∵ABE=∵ACD；∵当∵BAE=∵CAD时，∵ABE∵∵ACD，∵AE AD BE CD=；当∵BAE≠∵CAD时，∵ABE与∵ACD不相似，即AE AD BE CD≠；∵此比例式不一定成立，故本选项错误； ∵根据旋转的性质知∵ADC ∵∵AFB ，∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ABF =S 四边形AFBD ，即三角形ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积，故本选项正确；∵∵∵FBE =45°+45°=90°， ∵BE 2+BF 2=EF 2．∵∵ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到∵AFB ， ∵∵AFB ∵∵ADC ， ∵BF =CD ． 又∵EF =DE ，∵BE 2+DC 2=DE 2，故本选项正确；∵根据∵知道∵AEF ∵∵AED ，得CD =BF ，DE =EF ，∵BE +DC =BE +BF ＞DE =EF ，即BE +DC ＞FE ，故本选项错误．综上所述：正确的说法是∵∵∵． 本@号资料皆来源于微信公众号：数学@第六#感 故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，三角形三边的关系，相似三角形的性质与判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系． 三、解答题16．（2021·浙江）如图，在84⨯的正方形网格中，按ABC 的形状要求，分别找出格点C ，且使5BC =，并且直接写出对应三角形的面积．【答案】见解析；10S =；252S =；12S =【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可【详解】解：钝角三角形时，如图，∵BC∵BD，BC=5，∵∵ABC是钝角三角形，根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,∵11=45=10 22S BC BD=⨯⨯⨯；直角三角形时，如图，取格点F使得BF=4，FC=3，根据勾股定理，得BC，∵AE=BF=4，EB=FC=3，∵AEB=∵BFC=90°，∵∵AEB∵∵BFC，∵∵EAB=∵FBC，∵∵EAB+∵EBA=90°，∵∵FBC+∵EBA=90°，∵∵ABC =90°，∵∵ABC是直角三角形，根据勾股定理，得AB，∵11=5522S BA BC=⨯⨯⨯252=；锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，根据勾股定理，得BC，根据直角三角形时的作图，知道∵ABN=90°，本号资料皆来源于微信公众号：#数学第六感∵∵ABC＜∵ABN，∵∵ABC＜90°∵AB=BC，∵∵ABC是等腰三角形，∵∵A=∵C＜90°，∵∵ABC是锐角三角形，∵1462S=⨯⨯=12；【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．17．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：BF CE=；（2）若ACE的面积为4，CED的面积为3，求∵ABF的面积．本号资料#皆#来源于微信公众号：数学第*六感【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）根据垂直，中线的性质，证明∵CDE∵∵BDF即可；（2）根据三角形全等，确定∵BDF和∵CDE的面积相等，根据中线的性质，得∵ABD和∵ACD 的面积相等，计算即可．【详解】（1）证明：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∵CE ∵AF ，BF ∵AF ， ∵∵CED =∵F =90°， ∵∵CDE =∵BDF , ∵CED F CDE BDF DC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵CDE ∵∵BDF , ∵CE =BF ；（2）解：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∴ΔΔABD ACD S S =，Δ4ACE S =，3CEDS=∴ΔΔACD ACE CEDS S S =+43=+7=∴7ABDS=由（1）已证：∵CDE ∵∵BDF ,∴ΔΔ3BDF CDE S S == ∴ΔΔΔABF ABD BDF S S S =+73=+10=． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定方法，灵活运用三角形中线与三角形面积的关系是解题的关键．18．（2021·吉林九年级其他模拟）图∵、图∵、图∵均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图∵中画一个钝角三角形，在图∵中画一个直角三角形，在图∵中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图∵面积为12；图∵面积为1；图∵面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．19．（2021·江苏九年级月考）如图，在Rt ∵ABC 中，∵C =90°，点D 是AB 的中点，AC ＜BC ． (1)试用无刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．，在BC 上作一点E ，使得直线ED 平分ABC 的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，若DE 分Rt ∵ABC 面积为1﹕2两部分，请探究AC 与BC 的数量关系．【答案】(1)作图见解析；(2)BC=3AC 【分析】（1）在BC 上用圆规截取BF=AC ，然后再作FC 的垂直平分线，其与BC 的交点即为E 点，最后连接DE 即可．（2）连接DC ，由点D 是AB 的中点，则S ∵ADC =S ∵BCD ;设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ，则有（x+y ）：（x -y ）=2:1，解得x=3y ，即E 为BC 的三等分点，即可说明BC=3EC;有EC=EF=BF=AC,即BC=3AC ． 【详解】解：（１）如图：DE 即为所求；（2）连接DC ∵点D 是AB 的中点 ∵S ∵ADC =S ∵BCD设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ， ∵S ∵BDC :S 四边形CADE =1:2∵(S ∵BDC -S ∵DCE ):( S ∵ADC +S ∵DCE )=1:2, ∵2（x -y ）=x+y ，即x=3y∵点E 为BC 的三等分点, 即BC=3EC ∵EC=EF=BF=AC ∵BC=3AC ．【点睛】本题考查了尺规作图、三角形中线的性质、三角形n 等分点的性质等知识点，其中根据题意完成（1）是解答本题的关键．20．（2021·广东）若a,b,c 为∵ABC 的三边长 （1）化简：-+2+-||a b c a b c b a c -+---（2）若a,b ()220b -=，且c 是整数，求c 的值. 【答案】（1）2a ；（2）1<c<5． 【分析】（1）由a ，b ，c 为三角形ABC 的三边，利用三角形的两边之和大于第三边列出关系式，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． （2）根据非负数的性质列式求出a 、b ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可． 【详解】（1）∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边， ∵a+b>c ，即−a−b+c<0，a+c>b ，即a−b+c>0，b−a−c<0，则|−a−b+c|+2|a−b+c|−|b−a−c|=a+b−c+2(a−b+c)+b−a−c=a+b−c+2a−2b+2c+b−a−c=2a ； （2）由题意得，a−3=0，b−2=0， 解得a=3，b=2， ∵3−2=1，3+2=5， ∵1<c<5． 【点睛】此题考查二次根式的性质，绝对值，三角形三边关系的应用，解题关键在于利用两边之和大于第三边.21．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级一模）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值． 解：∵2222690m mn n n ++-+=∵2222690m mn n n n +++-+=∵22()(3)0m n n ++-= ∵0,30,m n n +=-=∵3, 3.m n =-=问题（1）若∵ABC 的三边长a b c 、、都是正整数，且满足22661830a b a b c +--++-=，请问∵ABC 是什么形状?说明理由.（2）若224212120x y xy y +-++=，求y x 的值．（3）已知24,6130a b ab c c -=+-+=，则a b c ++= ．【答案】（1）∵ABC 是等边三角形，理由见解析；（2）14；（3）3 【分析】（1）先把a 2+b 2-6a -6b +18+|3-c |=0，配方得到（a -3）2+|3-c |=0，根据非负数的性质得到a =b =c =3，得出三角形的形状即可；（2）首先把x 2+4x 2-2xy +12y +12=0，配方得到（x -y ）2+3(y +2)2=0，再根据非负数的性质得到x =-2，代入求得值即可；（3）首先根据a -b =8，ab +c 2-16c +80=0，应用因式分解的方法，判断出（a -4）2+（c -8）2=0，求出A 、B 、C 的值各是多少；然后把a 、b 、c 的值求和，求出a +b +c 的值是多少即可.【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，理由如下：由题意得()()223330a b c -+-+-=∵3a b c ===∵∵ABC 是等边三角形．（2）由题意得()()22320x y y -++=∵2x y ==-． ∵14y x =． （3）∵24,6130a b ab c c -=+-+=，即a =b +4，（b +4)b +c 2 –6c +13=0，∵（b 2+4b +4 ）+（c 2 –6c +9）=0，∵b +2=0，c –3=0，∵b = –2，c =3，a =2，∵a +b +c =3．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于弟三边；任意两边之差小于第三边.22．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作ABC的高AM；（2）在图2中，作ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）格点ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即可得到BC的高AM；（2）在正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直，AB是1×4格的对角线，那么4×1格的对角线与之垂直，又需过点C，所以如图所示的CF∵AB交AB与点H，同理AC是4×3格的对角线，那么3×4格的对角线与之垂直，又需过点B，所以如图所示的BE∵AC交AC与点D，又三角形的三条高所在的直线交于一点，所以连接AG并延长交BC 与点N，即AN为所求．【详解】（1）如图1，∵格点ABC中AB=AC且垂直，∵以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即AM∵BC（2）如图2，∵AB是1×4格的对角线∵过点C 且是4×1格的对角线即为如图所示的CF ，∵CF ∵AB同理AC 是4×3格的对角线，∵过点B 且是3×4格的对角线即为如图所示的BE∵BE ∵AC∵三角形的三条高所在的直线交于一点∵连接AG 并延长交BC 与点N ，即AN 为所求．【点睛】本题主要考查了求作格点三角形的高线问题，主要方法有：构造特殊形状，如：正方形，菱形，利用对角线垂直的性质作高；正方形网格中，m ×n 格的对角线与n ×m 格的对角线互相垂直；三角形的三条高所在的直线交于一点，掌握以上的作图方法是解题的关键． 23．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级其他模拟）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：∵以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，BC 于点D ，E ；∵分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的相同长度为半径作弧，两弧交于点F ； ∵作射线BF 交AC 于点G ．（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如果8AB =，12BC =，那么ABG 的面积与CBG 的面积的比值是________．【答案】（1）见解析；（2）23【分析】 （1）根据尺规作图要求,按给定的步骤与作法画图即可；（2）根据角分线性质，两三角形的AB 与BC 边上的高相等，可得面积比为底的比即可．【详解】解：（1）根据步骤（1）得弧线交AB ，BC 于点D ，E ，根据步骤（2）得两弧交点F ，根据步骤（3）得射线BG ，根据作图的步骤与图形结合得BG 平分∵ABC ；如图所示，即为所求．（2）过点G 作GH ∵BC 于H ，GM ∵射线AB 于M ，∵BG 平分∵ABC ，∵GM =GH ，S ∵ABG =118422AB GM GM GM ⋅=⨯⨯=， S ∵BCG =1112622BC GH GH GH ⋅=⨯⨯=， S ∵ABG : S ∵BCG =4:64:62:3GM GH GH GH ==，故答案为：23． 【点睛】本题考查尺规作图，角平分线性质，三角形面积，掌握尺规作图步骤与要求，角平分线性质，三角形面积，利用角平分线性质得出两三角。
中考数学一轮教材梳理复习课件：第20课特殊三角形
首页
下一页
(1)如图 1，求证：AD＝AE；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
AB＝AC， 在△ABD 和△ACE 中，∠B＝∠C，
BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD＝AE.
首页
下一页
(2)如图 2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点 B 作 BF∥AC
交 AD 的延长线于点 F，在不添加任何辅助线的情况
首页
下一页
3．(2020·甘孜)如图，等腰△ABC 中，点 D，E 分别在
腰 AB，AC 上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD
的是( B )
A．AD＝AE
B．BE＝CD
C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
首页
下一页
二、填空题 4．(2020·岳阳)如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝___7_0___°.
△ABE，△ACD，△DAE，△DBF.
首页
下一页
பைடு நூலகம்
(3)判定：
①三边都相等的三角形是等边三角形．
②三个角都相等的三角形是等边三角形．
③有一个 60°角的等腰三角形是等边三角形．
首页
下一页
2．(1)如图，在等边三角形 ABC 中，若 AB＝2，则等 边三角形 ABC 的面积是_____3___．
(2)下列条件中，不能得到等边三角形的是( B ) A．三边都相等的三角形 B．有两外角相等的等腰三角形 C．两内角是 60°的三角形 D．一内角为 60°的等腰三角形
首页
下一页
3．(1)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，若 AC＝
4，BC＝3，则 AB＝__5___．若∠A＝30°，且 CD⊥AB，
2015年陕西省中考数学总复习课件：第21讲 特殊三角形
问题考虑全面，不能想当然．
(3)在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否 为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根 据勾股定理的逆定理来判定．在解题时，往往受思维 定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就是斜边
，从而造成误解．
(2013· 陕西)如图， 四边形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， 且 BD 平分 AC.若 BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形 ABCD 的面积为__12 3__．
2．(2012·肇庆)如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC
与BD交于点O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
解：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°， 在Rt△ACB和Rt△BDA中，AB＝BA，AC＝BD， ∴△ACB≌△BDA(HL)，∴BC＝AD (2)由△ACB≌△BDA得∠CAB＝∠DBA，
(2)(2013·黔西南州)如图，已知△ABC是等边三角形
，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝
DE，则∠E＝ 15 度．
(3)(2013·白银)等腰三角形的周长为16，其一边长 为6，则另两边为 6,4或5,5 ．
等腰三角形的性质 【例2】 (2014·杭州)在△ABC中，AB＝AC，点
3．(1)(2014·益阳)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时
针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中 60° ． 点E的对应点为F，则∠EAF的度数是
(2)(2012· 荆州)如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC
的平分线 BD 上一点，PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直
特殊三角形基本知识点整理
特殊三角形基本知识点整理一、三角形的定义及分类三角形是由三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
按照边的关系，三角形可分为不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）；按照角的大小，三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
二、特殊三角形之等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为腰，另一边称为底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
2、性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。
3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
三、特殊三角形之等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
等边三角形每一条边上的中线、高和所对角的平分线都三线合一。
3、判定：三条边都相等的三角形是等边三角形。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
四、特殊三角形之直角三角形1、定义：有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
2、性质：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
在直角三角形中，两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、判定：如果三角形的三边 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
五、直角三角形中的特殊角度1、当一个直角三角形的一个锐角为 30°时，另一个锐角为 60°。
初中数学特殊三角形复习讲义
等边”）．
数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
要点诠释：
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化
全国热线：400-0541-099
2
网 址：
学习，为了追寻更好的自己！
为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相
类型六：直角三角形的性质运用 1、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D， 下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD， 其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
４.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情
况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对
授课标题 特殊三角形复习
1、熟记并理解运用特殊三角形的判定和性质 学习目标 2、准确运用性质进行分类讨论
3、掌握直角三角形的补充性质并灵活运用 三线合一的运用 重点难点 分类讨论问题
教学负责人签字处
1
学习，为了追寻更好的自己！
本次课课堂教学内容
一、知识点梳理
要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，
2007中考第一轮复习：-特殊三角形总复习
2、有四个三角形，分别满足下列条件： (1) 一个内角等于另外两个内角之和； (2) 三个内角之比为3∶4∶5； (3) 三边之比为5∶12∶13； (4) 三边长分别为7、24、25. 其中直角三角形有 ( C ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5、等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的 中线把其周长分为两部分的差为3cm .则腰 长为8＿c＿m＿＿
6、如果等腰三角形的三边均为整数且它 的周长为 10cm，那么它的三边长为 __3__c_m__,_3_c_m__,_4_c_m__或__4__c_m__,4__c_m__,2__c.m.
7、等腰三角形的面积为48cm2，底边上 的高为6cm，腰长1为0c_m_____.
3、如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝ 12ｍ，CD＝9ｍ，AB＝39ｍ，BC＝36ｍ，求 这块地的面积.
4、如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，
∠DAB=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面
积为5，求AD的长。
D
C
A
B
5、如果一个长为10ｍ的梯子，斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯 子的顶端下滑1ｍ，请猜测梯子底端滑动的距 离是否会超过1ｍ， 并加以说明．
1、等腰三角形的一个顶角为40º，则它的底 角为＿7＿0°＿ 2、已知等腰三角形一个内角的度数为40°， 那么它的底角的度数是__7_0__°__或__4．0°
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则其顶角为＿5＿0°＿或＿1＿30°
4、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则 它的周长为＿＿22＿＿＿＿＿
2014中考数学复习课件14三角形及性质-第一轮复习第四单元三角形
A `
E B
30° D
F
C
第 15 题 3
考点 直角三角形的性质和判定 如图，∠BAM=30° ，其中 AB=2 3 ，点 P 是 AM 上的动点， 连接 BP， 当 AP= 时， 3或 4 △ABP 是直角三角形。
30°
30°
考点 直角三角形的性质和判定
（ 2013 哈尔滨 19）在△ ABC 中， AB= 2 2 ， BC=1， ∠ ABC=45° ，以 AB 为一边作等腰直角三角形 ABD，使 ∠ABD=90° ，连接 CD，则线段 CD 的长为 5或 13 ．
3．(2013· 湘西州)如图，一副分别含有 30° 和 45° 角 的两个直角三角板，拼在一起，其中∠C＝90° ，∠B＝ 45° ， ∠E＝30° ，则∠BFD 的度数是( A A．15° C．30° B．25° D．10° )
解 析： ∵∠ E＝ 30° ， ∴∠C DF ＝ 60° .∵∠C DF 是 △ BDF 的外角，∴∠BFD＝ ∠C DF－∠B＝ 60° － 45° ＝ 15° .故选 A.
2014中考复习第一轮
第14讲
三角形及性质
第14讲
三角形及性质
│考点随堂练│
考点一 三角形定义及其分类 1.定义：三条线段首尾顺次连接所成的图形叫三角形
2.按边分为：
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形
不等边三角形 三边互不相等
3.按角分为：
三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形
直角三角形
考点二
一般三角形的性质
1．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2．三角形的内角和是180° 3.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的 外角大于任何一个和它不相邻的内角． 4．如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就 完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性．
2020年中考数学考点总动员第17讲 特殊三角形(含答案解析)
第17讲特殊三角形【考点梳理】1．等腰三角形(1)性质：等腰三角形的两底角相等，两腰相等；等腰三角形的_高线_、中线、顶角平分线“三线合一”；等腰三角形是轴对称图形，高线(或底边中线、顶角平分线)所在直线是它的对称轴．(2)判定：有两角相等的三角形是等腰三角形；有_两边相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形(1)性质：三边相等，三个内角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴．(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形(1)性质：①两锐角之和等于_90°_；②斜边上的中线等于斜边的一半；③30°的角所对应的直角边等于斜边的_一半_；④勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2.(2)判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；④一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．4．等腰直角三角形(1)性质：两直角边相等_；两锐角相等且都等于_45°_.(2)判定：有两边相等的直角三角形；有一个角为45°的直角三角形；顶角为90°的等腰三角形；有两个角是45°的三角形.【高频考点】考点1：等腰三角形的性质及相关计算【例题1】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)．(1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF；(2)连接CD.作∠CDE ＝30°，DE 交AC 于点E.若DE ∥BC 时，如图2. ①∠CDB ＝120°；②求证：△ADE 为等腰三角形；③在点D 的运动过程中，△ECD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．【解答】 解：(1)证明：∵CA ＝CB ，CD 是△ABC 的中线，∴AD ＝BD. ∵BF ∥AC ，∴∠A ＝∠FBD.∵∠ADC ＝∠BDF ，∴△ACD ≌△BFD.∴AC ＝BF. (2)②证明：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B. ∵DE ∥BC ，∴∠EDA ＝∠B.∴∠A ＝∠EDA ，∴△ADE 为等腰三角形． ③△ECD 可以是等腰三角形．理由如下：Ⅰ.当∠CDE ＝∠ECD 时，EC ＝DE ，∴∠ECD ＝∠CDE ＝30°. ∵∠AED ＝∠ECD ＋∠CDE ， ∴∠AED ＝60°.Ⅱ.当∠ECD ＝∠CED 时，CD ＝DE ，∵∠ECD ＋∠CED ＋∠CDE ＝180°， ∴∠CED ＝180°－∠CDE 2＝75°.∴∠AED ＝180°－∠CED ＝105°.Ⅲ.当∠CED ＝∠CDE 时，EC ＝CD ，∠ACD ＝180°－∠CED －∠CDE ＝180°－30°－30°＝120°， ∵∠ACB ＝120°，∴此时，点D 与点B 重合，不合题意．综上，△ECD 可以是等腰三角形，此时∠AED 的度数为60°或105°.归纳：在以等腰三角形为背景求线段长的问题中，最常用的工具为“等腰三角形三线合一”，由此可以找到相应的角度、线段长度以及垂直关系，进而可通过三角形全等、相似、勾股定理等求解，若已知图形中有两个中点时，常用中位线的性质得到线段平行和数量关系． 考点2： 等边三角形的性质及相关计算【例题2】(2018·河北模拟)如图1，在等边△ABC 和等边△ADP 中，AB ＝2，点P 在△ABC 的高CE 上(点P 与点C 不重合)，点D 在点P 的左侧，连接BD ，ED. (1)求证：BD ＝CP ；(2)当点P 与点E 重合时，延长CE 交BD 于点F ，请你在图2中作出图形，并求出BF 的长； (3)直接写出线段DE 长度的最小值．【解析】：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°. ∵△ADP 是等边三角形， ∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60°. ∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠BAP ＋∠CAP. ∴∠DAB ＝∠CAP. ∴△DAB ≌△PAC(SAS)． ∴BD ＝CP.(2)如图2，∵△ADP 是等边三角形，∴当点P 与点E 重合时，有AE ＝DE ，∠AED ＝60°. ∵CE ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝DE ，∠BCE ＝12∠ACB ＝30°.∴∠EBD ＝30°.∴∠DBC ＝90°.在Rt △BCF 中，∵BC ＝2，tan ∠BCE ＝BFBC ，∴BF ＝2tan30°＝233.(3)DE 长度的最小值是12，理由：如图3，由(1)知：△DAB ≌△PAC ，∴取AC 的中点F ，连接PF ，则PF ＝DE ，∴PF 长度的最小值就是DE 长度的最小值，过点F 作FG ⊥CE 于点G ，垂足G 就是PF 最小时点P 的位置，此时PF ＝12，故DE长度的最小值是12.归纳：对于等边三角形的问题主要考查三边关系与三角的特殊之处，判定时注意两个角为60°的三角形为等边三角形，抓住特殊求三角形高等线段长度即可得到。
第二章特殊三角形(期中复习)
第三章特殊三角形（期中复习）班级姓名一、基本性质及判定1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等；②等腰三角形的两腰相等；③等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合；2、等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；③如果一个角的平分线垂直于对边，那么这个三角形是等腰三角形；④如果一个角的平分线平分对边，那么这个三角形是等腰三角形；⑤线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；（即由中垂线可得出等腰三角形）3、等边三角形的性质：①等边三角形的三条边相等，三个角都等于60º；②等边三角形的“三线合一”；③等边三角形的边长若是a，那么它的高是2，面积是24a4、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有两个角是60º的三角形是等边三角形；③有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形；5、直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余；②勾股定理；③直角三角形中30º角所对的直角边等于斜边的一半；④直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30º；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑥在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和⑦若等腰直角三角形的直角边为a，一、基础题1、等腰三角形有条对称轴，对称轴是，等腰三角形腰上的高与底边所夹的角等于2.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。
3.如图，正方形上给定8个点，以这些点为顶点，能构成多少个三角形。
4. 如图已知∠ACB＝90°, BD＝BC, AE＝AC, 则∠DCE＝__________度.4.如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF , ② CD=CG=DE, ③AD=BD ,④ BC=BE中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4第4题5. 如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ） A.13 B. 12 C. 23D 、不能确定 6．已知：如图，△ABC 为正三角形，D 是BC 延长线上一点，连结AD ，以AD 为边作等 边三角形ADE ，连结CE ，用你学过的知识探索AC 、CD 、CE 三条线段的长度有何关系? 试写出探求过程．7、如图，一个六边形ABCDEF 的每一个内角都等于120度，其中有相邻的四条边长依次为AB=2，BC=4，CD=3，DE=2，试求六边形ABCDEF 的周长和面积二、多解题(请画图说明)1、等腰三角形一腰上的高等于另一腰的一半，则此等腰三角形的顶角是 ；等腰三角形一腰上的高等于另一边的一半，则此等腰三角形的顶角是 ；等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30 º。
中考总复习：特殊三角形--知识讲解(提高)
【考纲要求】
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】
1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．
2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【思路点拨】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【答案与解析】
解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
3．判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
要点诠释：
(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．
考点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
∴ AB•PE+ AC•PF= AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.
中考数学复习 第17讲 三角形及特殊三角形课件
勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个正整 数，称为勾股数
2021/12/8
第五页，共二十二页。
第二(dìèr)环节：达标检测
课本(kèběn)P68 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
2021/12/8
第六页，共二十二页。
第三环节(huánjié)：交流展示
小组合作(hézuò)讨论第二环节题目
4．已知等腰△ABC 的腰 AB＝AC＝10 cm，底边 BC＝ 12 cm，则△ABC 的角平分线 AD 的长是__8______cm.
2021/12/8
第十二页，共二十二页。
5．如图 17－3，已知 D、E 是等腰△ABC 底边 BC 上两点， 且 BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.
证明：在等腰△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 又∵BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ∴∠ADB＝∠AEC. ∴∠ADE＝∠AED.
度数是( B ) A．20° B．30° C．35° D．40°
2．如图 17－2，坐标平面内一点 A(2，－1)，
O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以
点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，
那么符合条件的动点 P 的个数为( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程 x2－5x＋6 ＝0 的两个解，则这个等腰三角形的周长是__7_或__8___．
中考数学复习-特殊的三角形
• 二、关于边的问题 • 3、（1）一个等腰三角形两边长分别为4和5， 则它的周长等于_________。 • （2）一个等腰三角形的两边长分别为3和7， 则它的周长等于 。 • 4、（1）如果一个等腰三角形的周长为24，一 边长为10，则另两边长为 。 • （2）如果一个等腰三角形的周长为24，一边 长为6，则另两边长为 。
考点聚焦 勾股定理及逆定理 勾股 定理 勾股 定理 的逆 定理 勾股数 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c 的平方．即：________2 a2＋b2＝c 如果三角形的三边长a、b、c有关系： 逆定 2 a________ ，那么这个三角形是直角三角 ＋b2＝c2 理 形 (1)判断某三角形是否为直角三角形；(2) 用途 证明两条线段垂直；(3)解决生活实际问 题 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称 为勾股数
制作-zy
等腰三角形 (等边 等腰三角形（等边 三角形)的性质 三角形）的判定
边
两条腰相等
（三条边都相等）
两条边相等
（三条边都相等）
角
重要线段
等边对等角
(三个角都相等，并且 每个角都等于60°)
等角对等边பைடு நூலகம்
(1.三个角都相等 2.有一个角等于60 °的 等腰三角形)
线段垂直平分线上的点到这条 线段的两个端点的距离相等
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的 延长线上，且ED＝EC，如图20－3.试确定线段 AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结论： AE________DB(填“>”“<”或“＝”) ＝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
21D CB AD CBA学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．⒉ 三角形的分类：(1)按边分类： (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；课 题中考总复习 : 三角形基本性质、 特殊三角形教学内容三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C_B _AD CB A③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．4. 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.5.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；图3图4 图5 图6图7（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．6. 三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180︒;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。
三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了. 三角形外角的性质（1）三角形的外角和等于360°（三个外角的和）。
（2）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （3）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．7．三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.适当添加辅助线，寻找基本图形 (1)基本图形一，如图8，在∆ABC 中，AB=AC ，B,A,D 成一条直线，则∠DAC=2∠B=2∠C 或∠B=∠C=21∠DAC.(2)基本图形二，如图9，如果CO 是∠AOB 的角平分线，DE ∥OB 交OA,OC 于D,E ， 那么∆DOE 是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出 现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形， 并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.基本图形三，如图10，如果BD 是∠ABC 的角平分线，M 是AB 上一点，MN ⊥BD ，且与BP,BC 相交于P,N.那么BM=BN ，即∆BMN 是等腰三角形，且MP=NP ，即：角平分线+垂线→等腰三角形.图8图9当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.8.三角形知识扩充:1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
9．三角形的面积公式：（1）S △＝21ah a＝21bh b＝21ch c（h a、h b、h c分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）S △＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）S △＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫⎝⎛++=)(21c b a s ；(海伦公式)（4）S△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；公式(4)可由公式（2）通过正玄定理 和 公式“ Sin(B+C)=SinA ”推出,学生可以自己推导。
公式（1）和（2）学生必须掌握，公式（3）和（4）建议掌握。
图1110.特殊三角形的性质和判定：一、等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二、直角三角形1. 认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。
通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。
如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。
用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。
如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。
2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。
会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。
3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。
4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。
能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。
5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。
难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。
【例题精讲】等腰三角形双基训练**1.已知等腰三角形ABC的底边BC=8，|AC-BC|=3，则腰AC的长为。
**二.若等腰三角形的周长为12，腰长为x，则腰长x的取值范围是。
**三.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分，则腰长与底边的长分别为。
**四.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为。
**五.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为500，则底角B的大小为。
**六.已知两根木棒的长分别是8cm、10cm，要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长x的范围是；如果以5cm为等腰三角形的一边，另一边为10cm，则它的周长应为。
**7.图14-32是由两个全等的有一个角为300的直角三角形拼成的，其中，两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数自变量（）。
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个**八.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为a，则其底边上的高是。
纵向应用**1.如图14-33，在ΔABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③∠BE=∠CD；④∠OB=∠OC。
（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定ΔABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）？（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明：ΔABC是等腰三角形。
***二.如图14-34，已知∠1=∠2，EF⊥AD于点P，交BC延长线于点M，求证：∠BME=12(∠ACB-∠B).***三.如图14-35，在RtΔABC中，∠C=900，AD∥BC，∠CBE=12∠ABE。
求证：ED=2AB***四.如图14-36，在ΔABC中，AB=AC，CM是边AB上的中线，BD=AB，求证：CD=2CM***五.如图14-37，在ΔABC中，AD是∠A的平分线，CD⊥AD，垂足为D，G为BC的中点，求证：∠DGC=∠B。