04非线性回归模型的线性化 (3)

非线性回归模型的线性化

以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t

上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。

另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。

⑴ 指数函数模型

y t = t t u bx ae + (4.1) b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。显然x t 和y t 的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得

Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)

令Lny t = y t *, Lna = a *, 则

y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。其中u t 表示随机误差项。

图4.1 y t =t

t u bx ae

+, (b > 0) 图4.2 y t =t

t u bx ae +, (b < 0)

⑵ 对数函数模型

y t = a + b Ln x t + u t (4.4)

b >0和b <0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。x t 和y t 的关系是非线性的。令x t * = Lnx t , 则

y t = a + b x t * + u t (4.5)

变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。

图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)

⑶幂函数模型

y t= a x t b t u e(4.6)

b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。x t和y t的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数，得

Lny t = Lna + b Lnx t + u t(4.7) 令y t* = Lny t, a* = Lna, x t* = Lnx t, 则上式表示为

y t* = a* + b x t* + u t(4.8) 变量y t* 和x t* 之间已成线性关系。其中u t表示随机误差项。(4.7) 式也称作全对数模型。

图4.5 y t = a x t b t u e图4.6 y t = a x t b t u e

⑷双曲线函数模型

1/y t = a + b/x t+ u t(4.9)

也可写成，

y t = 1/ (a + b/x t+ u t) (4.10) b>0情形的图形见图4.7。x t和y t的关系是非线性的。令y t* = 1/y t, x t* = 1/x t，得

y t* = a + b x t* + u t

已变换为线性回归模型。其中u t表示随机误差项。

图4.7 y t = 1/ (a + b/x t ), (b > 0) 图4.8 y t = a + b/x t , (b > 0) 双曲线函数还有另一种表达方式，

y t = a + b/x t + u t(4.11) b>0情形的图形见图4.8。x t和y t的关系是非线性的。令x t* = 1/x t，得

y t = a + b x t* + u t

上式已变换成线性回归模型。

⑸多项式方程模型

一种多项式方程的表达形式是

y t = b0 +b1 x t + b2 x t2 + b3 x t3 + u t(4.12)

其中b1>0, b2>0, b3>0和b1<0, b2>0, b3<0情形的图形分别见图4.9和4.10。令x t 1 = x t，x t 2 = x t2，x t 3 = x t3，上式变为

y t = b0 +b1 x t 1 + b2 x t 2 + b3 x t 3 + u t(4.13)

这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本曲线与图4.9相似。

图4.9 y t = b0 +b1 x t + b2 x t2 + b3 x t3 + u t图4.10 y t = b0 + b1 x t + b2 x t2 + b3 x t3 + u t 另一种多项式方程的表达形式是

y t = b0 + b1 x t + b2 x t2 + u t(4.14)

其中b1>0, b2>0和b1<0, b2<0情形的图形分别见图4.11和4.12。令x t 1 = x t，x t 2 = x t 2，上式线性化为，

y t = b0 + b1 x t1 + b2 x t2 + u t(4.15)

如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图4.11相似。

图4.11 y t = b 0 +b 1x t + b 2x t 2 + u t 图4.12 y t = b 0 + b 1x t + b 2x t 2 + u t

⑹ 生长曲线 (logistic) 模型

y t = t

u t f e k

++)(1 (4.16)

一般f (t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + … + a n t n ，常见形式为f (t ) = a 0 - a t

y t = u u at a e k +-+)(01= t

u at be k

+-+1 (4.17) 其中b = 0a e 。a > 0情形的图形分别见图4.13和4.14。美国人口统计学家Pearl 和Reed 广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed 曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中k 和0分别为y t 的生长上限和下限。∞

→t t Limy = k ,

-∞

→t t Limy = 0。a , b 为待估参数。曲线有拐点，坐标为（

a Ln

b ,2

k

），曲线的上下两部分对称于拐点。

图4.13 y t = k / (1 +t

u at be

+-) 图4.14 y t = k / (1 +t

u at be +)

为能运用最小二乘法估计参数a , b ，必须事先估计出生长上极限值k 。线性化过程如下。当k 给出时，作如下变换，

k /y t = 1 + t u at be +- 移项， k /y t - 1 = t u at be +-

取自然对数，Ln ( k /y t - 1) = Lnb - a t + u t (4.18) 令y t * = Ln ( k /y t - 1), b * = Lnb , 则

y t * = b * - a t + u t (4.19)