同济大学高等数学第六版作者答案详解1-8

（２） 我们证明 ：橙 x０ ≠ ０ ， f （ x） 在 x０ 不连续 ． 则 f （ x０ ） ＝ f （ r） ＝ r ． 若 x０ ＝ r ≠ ０ ，r ∈ Q ， 分别取一有理数列 ｛ rn ｝ ：rn → r（ n → ∞ ） ，rn ≠ r ；取一无理数列 ｛ sn ｝ ：sn →
r（ n → ∞ ） ， 则
２n
１－ x 若有间断点 ， 判别其类型 ． ２ n x 的连续性 ， １＋ x
２n
－ x， ０， x，
当 | x | ＞ １， 当 | x | ＝ １， 当 | x | ＜ １．
在分段点 x ＝ － １ 处 ， 因为
x→ － １－
lim f （ x） ＝ lim － （ － x） ＝ １ ，
而 r≠ ０ ， 由函数极限与数列极限的关系知 lim f （ x） 不存在 ， 故 f （ x） 在 r 处不连续 ． x→ r f （ x） 在 s 处不连续 ．
倡
n→ ∞
lim rn ＝ r ，n lim f （ sn ） ＝ n lim ０ ＝ ０， lim f （ rn ） ＝ n → ∞ → ∞ → ∞
１ ３ f （ x０ ） ＜ f （ x） ＜ f （ x０ ） ； ２ ２ １ f （ x０ ） ＞ ０ ，愁 δ ＞ ０ ， 当 ２
若 f （ x０ ） ＜ ０ ， 因为 f （ x） 在 x０ 连续 ， 所以取 ε ＝ － x ∈ U （ x０ ，δ） 时 ， 有 | f （ x） － f （ x０ ） | ＜ － １ f （ x０ ） ， 即 ２
２
所以 ，x ＝ １ 为第一类间断点 （ 可去间断点 ） ， 重新定义函数 ： f １ （ x） ＝ 则 f １ （ x） 在 x ＝ １ 处连续 ． x －１ ， x － ３x＋ ２
２ ２
x≠１， ２， x＝１，
－２，
f （ x） ＝ ∞ ， 所以 x ＝ ２ 为第二类间断点 （ 无穷间断点 ） ． 因为 lim x→ ２
１ ２ １ 及 lim cos 均不存在 ， 所以 x ＝ ０ 为第二类间 x x→ ０ － x
即左 、 右极限存在 ， 但不相等 ， 所以 x ＝ １ 为第一类间断点 （ 跳跃间断点 ） ．
（４） 对 x ＝ １ ， 因为 lim f （ x） ＝ lim （３ － x） ＝ ２ ，lim f （ x） ＝ lim （ x － １） ＝ ０ ， ＋ ＋ － －
１，
则 f １ （ x） 在 x ＝ ０ 处连续 ． 对 x ＝ kπ （ k ＝ ± １ ，± ２ ，… ） ， 因为 lim x → kπ 对 x ＝ kπ ＋ 以 x ＝ kπ ＋ x ＝ ∞ ， tan x
所以 x ＝ kπ（ k ＝ ± １ ，± ２ ，… ） 为第二类间断点 （ 无穷间断点 ） ． x π π （ k ∈ Z） ，因为 lim π ＝ ０ ，而函数在 kπ ＋ 处无定义 ，所 ２ tan x ２ x → kπ ＋ ２ x ， tan x ０， π ， ２
（４） lim x→ ０
sin x － tan x sin x（１ － sec x） ＝ lim x→０ １ ２ １ （ １ ＋ x － １）（ １ ＋ sin x － １） x · sin x ３ ２
３ ２
＝ lim x→ ０
－
１ ２ x ６
１ ２ x ２
＝ －３．
５畅 证明无穷小的等价关系具有下列性质 ： （１） α ～ α（ 自反性 ） ； （２） 若 α ～ β ， 则 β ～ α（ 对称性 ） ； （３） 若 α ～ β ，β ～ γ ， 则 α ～ γ（ 传递性 ） ． 证 （１） 因为 lim α ＝１， 所以 α ～ α ； α α β ＝１， 所以 lim ＝１， 即 β～ α； β α α β ＝１， lim ＝１， 所以 β γ ＝ lim α β · lim ＝１， 即 α～ γ． β γ
29
x ＝ １ ，lim f （ x） ＝ lim （２ － x） ＝ １ ， 又 f （１） ＝ １ ， lim f （ x） ＝ lim － ＋ ＋
（２） f （ x） 在 （ － ∞ ，－ １） 与 （ － １ ，＋ ∞ ） 内连 续 ，在 x ＝ － １ 处间 断 ，但右 连 续， 因为在 x ＝ － １ 处 但 即 lim f （ x） ＝ lim＋ x ＝ － １ ， f （ － １） ＝ － １ ，
C
32
证明 ： （１） f （ x） 在 x ＝ ０ 连续 ； （２） f （ x） 在非零的 x 处都不连续 ． 证 （１） 橙 ε ＞ ０ ， 取 δ ＝ ε， 则当 ｜ x － ０｜ ＝ ｜ x｜ ＜ δ 时 ， 故 lim f （ x） ＝ f （０） ， 即 f （ x） 在 x ＝ ０ 连续 ． x→ ０ | f （ x） － f （０） | ＝ | f （ x） | ≤ | x | ＜ ε ，
（２） 因为 α ～ β ， 即 lim
（３） 因为 α ～ β ，β ～ γ ， 即 lim lim α ＝ lim γ
α β · β γ
习题 1 － 8 函数的连续性与间断点
１畅 设 y ＝ f（ x）的图形如图 １ － ８ 所示 ， 试指出 f（ x）的全部间断点 ， 并对可去间断 点补充或修改函数值的定义 ， 使它成为连续点 ． 解 x ＝ － １ ，０ ， １， ２， ３ 均为 f （ x） 的间断点 ， 除 x ＝ ０ 外它们均为 f （ x） 的可去间断点 ． 补充定 义 f （ － １ ） ＝ f （ ２ ） ＝ f （ ３ ） ＝ ０ ，修 改 定 义 使 f （１） ＝ ２ ， 则它们均成为 f （ x） 的连续点 ． ２畅 研究下 列函 数的 连 续 性 ，并 画 出 函 数 的 图形 ： （１） f （ x） ＝ （２） f （ x） ＝ x ，
２ ２
（３） y ＝ cos （４） y ＝
x π ，x ＝ kπ ，x ＝ kπ ＋ （ k ＝ ０ ，± １ ，± ２ ，… ） ； tan x ２ １ ，x ＝ ０ ； x x－１， x≤１，
２
３－ x， lim x→ １
２
x＞１，
x＝１．
解 （１） 对 x ＝ １ ， 因为 f （１） 无定义 ， 但 x －１ （ x － １）（ x ＋ １） x＋１ ＝ lim ＝ lim ＝ －２， x － ３ x ＋ ２ x → １ （ x － ２）（ x － １） x → １ x － ２
解 设 f （ x） ＝ cot （π x） ＋ cot
习题 1 － 9 连续函数的运算与初等函数的连续性
１畅 求 函 数 f （ x） ＝
x→ －３
lim f （ x） 及 lim f （ x） ． x→ ２
x ＋ ３x － x － ３ 的 连 续 区 间 ，并 求 极 限 lim f （ x） ， ２ x→ ０ x ＋ x－ ６
（２） 对 x ＝ ０ ， 因为 f （０） 无定义 ， lim x→ ０
30
x x ＝ lim ＝ １ ， 所以 x ＝ ０ 为第一类间 tan x x → ０ x
断点 （ 可去间断点 ） ， 重新定义函数 ： f １ （ x） ＝ x ， tan x x ≠ kπ ，kπ ＋ x＝０ π ， ２ （ k ∈ Z） ，
C
若 x０ ＝ s ，s ∈ Q ．同 理可证 ： f （ x０ ） ＝ f （ s） ＝ ０ ，但 lim f （ x） 不 存 在 ，故 x→ s ８畅 试举出具有以下性质的函数 f （ x） 的例子 ：
x ＝ ０ ，± １ ，± ２ ，± 是无穷间断点 ；
１ １ ，… ， ± n ， ± ，… 是 f （ x） 的所有间断点 ， 且它们都 ２ n π ， 显然 f （ x） 具有所要求的性质 ． x
x→ － １
x→ － １ ＋
x→ － １
函数的图形如图 １ － １０ 所示 ．
lim ＋ f （ x） ≠ lim － f （ x） ．
x→ － １
lim － f （ x） ＝ lim － １ ＝ １ ，
x→ － １
x→ － １
．
图 １－ ９
图 １ － １０
３畅 下列函数在指出的点处间断 ，说明这些间断点属于哪一类 ．如果是可去 间断点 ， 则补充或改变函数的定义使它连续 ： （１） y ＝ （２） y ＝ x －１ ，x ＝ １ ，x ＝ ２ ； x － ３x＋ ２
３ １ f （ x０ ） ＜ f （ x） ＜ f （ x０ ） ＜ ０ ． ２ ２ 因此 ，不 论 f （ x０ ） ＞ ０ 或 f （ x０ ） ＜ ０ ，总 存在 x０ 的 某一 邻 域 U （ x０ ） ，当 x ∈ U （ x０ ） 时 ， f （ x） ≠ ０ ．
倡
７畅 设 f （ x） ＝ x ，x ∈ Q ， ０ ，x ∈ Q ，
x→ １ x→ １ x→ １ x→１
注 在讨论分段函数的连续性时 ， 在函数的分段点处 ， 必须分别考虑函数的 左连续性和右连续性 ， 只有函数在该点既左连续 ，又右连续 ，才能得出函数在该 点连续 ． ４畅 讨论函数 f （ x） ＝ n lim → ∞ 解 １ － x f （ x） ＝ n lim ２n x ＝ → ∞ １ ＋ x
２
０≤ x≤１， １＜ x≤２； －１≤ x≤１， x＜ －１或 x＞１．
２
图 １－ ８
２－ x， x， １，
解 （１） f （ x） 在 ［０ ， １） 及 （１ ， ２］ 内连续 ， 在 x＝１处，
x→ １ － x→ １ x→ １ x→ １
故 f （ x） 在 x ＝ １ 处连续 ， 因此 f （ x） 在 ［０ ， ２］ 上连续 ， 函数的图形如图 １ － ９ 所示 ．
倡
１ ，x ≥ ０ ， － １ ，x ＜ ０ ，
则 | f （ x） | 在 a ＝ ０ 处连续 ， 而 f （ x） 在 a ＝ ０ 处不连续 ． ６畅 证明 ： 若函数 f （ x） 在点 x０ 连续且 f （ x０ ） ≠ ０ ，则存在 x０ 的某一邻域 １ f （ x０ ） ＞ ０ ，愁 δ ＞ ０ ， ２ U （ x０ ） ， 当 x ∈ U （ x０ ） 时 ， f （ x） ≠ ０ ． 证 若 f （ x０ ） ＞ ０ ， 因为 f （ x） 在 x０ 连续 ， 所以取 ε ＝ 有 | f （ x） － f （ x０ ） | ＜ 当 x ∈ U（ x０ ，δ） 时 ， ０＜ １ f （ x０ ） ， 即 ２
x→ １ x→ １
x→ １
lim f （ x） ＝ lim （ － x） ＝ － １ ， ＋ ＋
x→ １
x→ １ －
所以 x ＝ １ 为第一类间断点（ 跳跃间断点 ） ． 错的 ， 试给出一个反例 ．
lim f （ x） ≠ lim f （ x） ， － ＋
x→ １
５畅 下列陈述中 ， 哪些是对的 ，哪些是错的 ？ 如果是对的 ，说明理由 ；如果是 （１） 如果函数 f （ x） 在 a 连续 ， 那么 | f （ x） | 也在 a 连续 ； （２） 如果函数 | f （ x） | 在 a 连续 ， 那么 f （ x） 也在 a 连续 ． 解 （１） 对 ． 因为 | | f （ x） | － | a | | ≤ | f （ x） － a | → ０（ x → a） ， 所以 | f （ x） | 也在 a 连续 ． （２） 错 ． 例如 f （ x） ＝
x→ － １
lim ＋ f （ x） ＝ lim ＋ x ＝ － １ ，
x→ － １
x→ － １
lim － f （ x） ≠ lim ＋ f （ x） ，
x→ － １
x→ － １
31
所以 x ＝ － １ 为第一类间断点 （ 跳跃间断点 ） ． 在分段点 x ＝ １ 处 ， 因为 lim f （ x） ＝ lim x＝１， －
π （ k ∈ Z） 为第一类间断点 （ 可去间断点 ） ， 重新定义函数 ： ２ f ２ （ x） ＝ x ≠ kπ ，kπ ＋ π x ＝ kπ ＋ ２ （ k ∈ Z） ，
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则 f ２ （ x） 在 x ＝ kπ ＋
π （ k ∈ Z） 处连续 ． ２
２ x→ ０
cos （３） 对 x ＝ ０ ， 因为 lim ＋ 断点 ．