随机过程概率空间教学内容

Ex1：在编号为1,2，…,n 的 n个元件中取一件， 1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为
A k k k 1 ,2 , ,n
样本空间为 Ω 1 ,2 ,n ,
构造如下事件:
A k ,s A k A s k ,s 1 ,n 2 , ,
A i , k , s A i A k A s i , k , s 1 , , n 2
i1
推论1: P A P A 1 ;
推论2 (单调性):若 B ，A则
P(A－B)=P(A)－P(B) 且 PA PB ,
3
n1
An
则lim P(An)0.
n
证：
An+1
A n A n A n 1 A n 1 A n 2
P A n P A ( an s )
4）多除少补原理
设 A i F i ,1 ,,2 n ,有 ,
Pi n1Ai i n1PAi 1i knP A iA k1n 1P i n 1 A i .
推论：概率具有次可加性
P nAi nPAi.
i1 i1
四、条件概率
定义：设(Ω,F, P)是概率空间，A, B∈F，
定义(概率)：设(Ω,F)是一可测空间，对 AF
定义在F上的实值集函数P(A), 满足
1) 非负性：对 A F 0 ,P A 1 ;
2) 规范性:P(Ω) = 1;
3) 完全可加性,对
A i F i 1 , A , i A 2 j , i , j ,
有
P Ai PAi
Ai F
i 1
证 因 Ai Ai,
i1 i1
AiFAiF
AiF AiF
i1
i1
3. 对有限并,有限交封闭：若
A i F i 1 ,,2 n
则
n
n
Ai F,或 Ai F
i1
i1
4.对差运算封闭,即若 AF则B , F, . ABF
A B A B F
二、概率的公理化定义
柯氏公理体系是现代概率论的基石.
且P(B)>0
PABˆ PPABB
称为已知事件B发生的条件下，事件A 发生的
i1 i1
称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A
的概率. 三元体(Ω,F, P)称为概率空间.
Ex: 设某路口到达的车辆数为m,基本事件
为{m},样本空间 Ω 0F,是1 Ω,,的2一,切子集
组成的集族，则F是一个σ代数.
定义P(φ)=0,并对A∈F 令
PAeλλk, λ0
kA k! 证明 P为可测空间(Ω,F)上的概率.
证:
1)PΩ eλλkeλ
λk 1
k Ω k!
k0k!
2) 因 λ0， 对 k有eλλk0,
0P (A )e λλk k! e λλk1 ; k A k ! k Ω k !
3) 设 A i F ,( i 1 ) , ,A 2 iA j , , ( i j )
有
Pi1Ai
eλ λk
k!
………
A i1,i2, ,in 1A i1 A i2 A in 1
i1,i2,,in 11, 2,n ,
可验证集族 { , ,A k ,A k ,s , ,A i 1 ,i 2 , ,i n 1 } 组成一个σ代数. 2. 仅考虑元件是正品或次品，则基本事件为
A1={取到正品}, A2={取到次品} 则 F{,A 1,为A 一2,Ω 个}σ代数.
通常 F{称 ,AA ,,Ω }是最 代 简.数 单
Ex.2 测量一个零件,考虑其测量结果与实际长 度的误差.
基本事件为{x},样本空间为
Ω x :x R 1 R 1
则R1的子集全体： ,,单Ω 点集{ x }，一切开的, 闭的，半开半闭区间等组成的集族F是一个代数.
另外，令
A1 x: x0={出现正误差} A2 x: x0={出现负误差}
第一章 预备知识
§1.1 概率空间 §1.2 随机变量及其分布 §1.3 随机变量的数字特征 §1.4 特征函数、母函数 §1.5 收敛性与极限定理
§1.1 概率空间
一、随机事件的公理化定义
回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率 等定义，有如下问题：
对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每一个 子集(事件)都能确定概率?
则 F ,A 1 ,A 2 ,Ω 为一个σ代数.
注：对同一研究对象的同一试验,试验目的不同,
其样本空间和代数的结构会不同.
定义(可测空间)：样本空间Ω和σ代数的二元体 (Ω,F) 称为可测空间.
可测空间有如下性质：
1. F ;
2.对可列交运算封闭,若 A i F (i1 ,2 )则,,有
定义(σ代数)：设随机试验E 的样本空间为 Ω,F 是Ω的子集组成的集族，满足
(1) Ω∈F ;
(2)若A∈F,则 A .（F对逆运算封闭）
(3) 若 A i F i 则1 ,2 , ,
（对可列并运算封闭）
Ai F
i1
称F为Ω的一个σ-代数（事件体）, F 中的集 合称为事件.
F的定义给出了事件间类似于代数学中的代 数结构.
A kA k 1 ˆ B k, n1, 2 ,
kn
kn
其中B1,B2,…互不相容，由完全可加性有
1P (A 1)P k 1 B k k 1 P A kA k 10
收敛级数的余项极限为0,(as n ), 即
P A n P A k A k 1 0,(asn ).
k Ai
i1
i 1k Ai eλλkk! i 1P(Ai).
三、概率性质
设(Ω,F, P)是概率空间,则概率P 有如下性质: 1) P(φ)=0;
2)有限可加性: 若
A i F i 1 , n , ,2 A i A j , , ( i j )
则
n n
Pi 1Ai
P(Ai);
k n
推论1：
若A1A2,且 AnA,则
n1
lin PA nPA .
n
推论2： 若 A1A2,且AnA,则
n1
lin PA nPA .
n
A 证：在推论1中
令 B n A n A ,则 B 1 B 2 ,
且 Bn An A
n1 n1
Bn= An - A
n 1An AA A
li P B m n 0 P A n P A P A n A 0 . n