本科毕业设计---极限的产生与发展

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浅析极限思想的产生与发展9(1)汇编

题目：浅析极限思想的产生与发展学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：2011级1班姓名：季满学号： 20110501005 指导教师：曹志军2015 年 5月 20 日毕业论文浅析极限思想的产生和发展【摘要】极限思想是一种重要的数学思想，这个理论的完善历经几个世纪。

由远古的萌芽时期，到中世纪后随着微积分的创立和应用得到进一步发展，再到18世纪后随着微积分的严密化极限思想达到成熟，形成完善系统的极限理论，这期间布满了众多数学家和哲学家辛勤的汗水和孜孜追求的奋斗足迹。

极限思想的发展历程，充分体现了人类探索真理、追求创新的宝贵精神，充分体现了人类认识世界和改造世界的强烈愿望。

极限思想是一种重要的数学思想，是辩证法在数学中的完美体现。

本文阐述了对极限思想的辩证理解，阐述了通过极限这一工具，如何从有限认识了无限，从对事物的近似认识到精确认识，从事物的多样性变化中认识了统一性的变化，在直与曲的对立中认识了统一。

【关键词】极限思想；发展；辩证法；辩证统一The emergence and development of the limit idea 【Abstract】limit thought is an important mathematical idea. It is formed through a long historical process. It is from ancient infancy to the further development with the creation and application of calculus in the middle ages. It forms a complete system limit theory with the further close of calculus which is after the eighteenth century. The process is filled with many sweats and the struggle footprints of mathematicians and philosophers. The development process of limit thought fully reflects the human search for truth and the precious spirit which is in pursuit of innovation. The development process of limit thought also fully reflects strong desire to understand the word and transform the world.Limit thought is an important mathematical idea. Dialectics is displayed perfectly in the mathematics. The paper describes the dialectical understanding about limit thought. We recognize the infinite from limited thought and the accurate understanding from approximate understanding through the limit thought. We recognize the unity changes from diversity changes and recognize straight and curved unity from the opposition.【Key Words】limit thought ；development ；dialectics ；dialectical unity目录1 引言 (1)2极限思想的发展分期 (1)2.1极限思想的萌芽时期 (1)2.2极限思想的发展时期 (2)2.3极限思想的完善时期 (2)3极限思想的本质探索 (3)3.1有限运算的规律不能用于无限运算 (3)3.2极限概念的代数化 (3)3.3极限概念的本质 (4)4极限思想的辩证理解 (4)4.1有限与无限的辩证统一 (4)4.2量变与质变的辩证统一 (5)4.3多样性与统一性的辩证统一 (5)4.4直与曲的辩证统一 (5)结论 (6)参考文献 (6)致谢 (7)石家庄学院毕业论文1引言极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，其中著名的古希腊哲学家芝诺，提出了一个悖论，那就是运动不存在，从经验上来看，这个悖论的结论是荒谬的，但是由于当时人们的认识有限，特别是对极限缺乏认识，使得这个悖论当时没有人能够给出正确的解释，这也是人们第一次闯进极限这个领域。

极限思想的产生与发展

极限思想的产生与发展内容摘要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究。

关键词：极限思想产生发展概念目录第一章极限思想的产生与发展 (1)1.1极限思想的产生 (1)1.2极限思想的发展 (1)1.3极限思想的完善 (4)1.4 极限的概念 (4)1.5极限思想的思维功能 (5)结论 (19)参考文献 ................................................. 致谢 (21)极限思想的产生与发展1、极限思想的产生极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。

是人在探索改造自然过程中逐渐形成的一新的思想方法。

极限的思想可以追溯到古代，在《庄子·天下篇》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。

这样一直进行下去,留下来的木棒越来越短,可以再分的部分越来越小,一直到无穷小不可以再切割,但永远不会消失。

公元前5世纪，有关无穷小的概念就已经作为希腊人关于什么是世界的设想而进入了数学思潮，而希腊数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最小的，但总有更小的”。

对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而是借助于其它的方法来完成有关的证明。

刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。

极限思想的产生和发展

极限思想的产生和发展微积分的建立跟极限思想的发展有着十分密切的联系。

自进入16世纪之后，欧洲就处于资本主义的萌芽时期，极大地发展了自身的生产力。

于是，在生产以及科学技术等方面均出现了许多诸如变力做功问题、最值问题、曲线的切线问题、力学中的速度问题等关于变量的问题。

这些问题已经不再是初等数学能够解决的，解决它们所需要的是全新的数学思想、数学方式方法等，必须要成功突破传统的常量研究范围，开发出可以用于对运用以及变化过程进行研究描述的新工具。

同时，这些问题的出现为发展极限思想提供了良好契机。

一、产生极限思想所有科学的思想方法均是源自人们对于社会实践的体验以及总结，极限思想也不例外。

极限思想的产生可以追根溯源到古代，在我国，极限思想于春秋战国时期就已萌芽，然而纵观史料，极限思想被局限于哲学的领域，并没有被运用到数学当中去，于是应用极限的方法对数学问题进行研究就更是无从谈起。

一直到后来的公元3世纪，我国魏晋时期的著名数学家刘徽对《九章算术》进行注释，并在其中创设出了“割圆术”。

刘徽的极限思想是这样表述的：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失”。

因此，刘徽是在数学领域运用极限思想的第一人。

这种关于无限接近的思想正是后来极限概念得以建立的重要基础。

刘徽所创设的“割圆术”是对原始极限思想的一种有效运用。

在古希腊有着一种穷竭法，这其中也包含了极限的思想，但是希腊人对于极限是相当恐惧的，所以他们并不会明显地去求极限，而是依据归谬法这一间接的证明法完成对极限相关思想的论证。

直到16世纪荷兰的数学家斯泰文在对三角形的重心这一问题进行研究时对古希腊人的穷竭法做出改进，他思考问题所采用的是几何直观，并合理运用极限思想，撇开了对归谬法的运用。

因此，极限在斯泰文的研究之下演变成了一个实用的概念。

二、发展极限思想微积分的建立对极限思想的深层次发展起到了一定程度的促进作用。

最初，莱布尼茨、牛顿建立微积分所依据的是无穷小这一概念，但是后面遭遇了逻辑难题，因而在他们研究的晚期，他们都对极限思想有一定程度的接受。

极限的产生

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。

比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。

”这些都是朴素的、也是很典型的概念。

由此开启了探讨极限思想的历程。

经过数学家们多年的致力研究及辛苦努力终于得出现代函数极限的含义：设函数f(x)在点x。

的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x。

|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。

时的极限。

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。

极限概念的产生与发展

但他们当时也还没有完全弄清楚极限的概念，没能把他们的工作建立在严密的理论基础上，他们更多的是凭借几何和物理直观去开展研究工作。
到了 18 世纪，数学家们基本上弄清了极限的描述性定义。例如牛顿用路程的改变量 s 与时间的改变量 t 之比s t 表示物体的平均速度，让 t 无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，那时所运用的极限只是接近于直观性的语言描述：“如
lim f (x) A。这
xx0样的定义是严格Fra bibliotek，至今还被所有微积分的教科书（至少是
在本质上）普遍采用。
极限理论的建立，在思想方法上深刻影响了近代数学的
发展。
一个数学概念的形成经历了这样漫长的岁月，大家仅从
这一点就可以想像出极限概念在微积分这门学科中显得多
么重要了。
极限概念的产生与发展
极限概念的形成经历了漫长的岁月。早在两千多年前，我国的惠施就在庄子的《天下篇》中有一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，惠施提出了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽。我国三国时期的大数学家刘徽（约 225 年～295 年）的割圆术，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周，刘徽计算了圆内接正 3072 边形的面积和周长，从而推得 3.141024< π <3.142704。在国外一千多年以后欧洲人安托尼兹才算到同样精确度的小数。"π"这扇窗口闪烁着我国古代数学家的数学水平和才能的光辉。 16 世纪前后，欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了生产力和自然科学的发展。17 世纪，牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）在总结前人经验的基础上，创立了微积分。
果当自变量 x 无限地趋近于 x0时，函数 f (x)无限地趋近于 A，那么就说 f (x)以 A 为极限”。这种描述性语言虽然人们易于接受，但是这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。正因为当时缺少严格的极限定义，微积分理论受到人们的怀疑和攻击。起初微积分主要应用于力学.天文学和光学，而且出现的数量关系比较简单，因此在那个时候，极限理论方面的缺限还没有构成严重障碍。

极限思想的产生和发展

为基础，一些典型例子中寻找极限思想的产生与发展．从主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思
想的问题：
关键词：限思想产生发展完善思维功能极
１极限思想的产生．与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。限的思想可以追溯到古代，徽的割圆术就是建立在极刘直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，由于希腊人 “ 无限的恐惧 ” 他们避但对．免明显地 “ 极限 ” 而是借助于间接证法 — — 归谬法来完成取，有关的证明。到了ｌ世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过６程中改进了古希腊人的穷竭法，借助几何直观．他大胆地运用极限思想思考问题．弃了归缪法的证明。如此，就在无意放他中 “ 出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向 ” 指。２极限思想的发展．极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。ｌ世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，产力得到极大的６生发展，生产和技术中大量的问题用初等数学的方法已无法解决，求数学突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描要而述和研究运动、化过程的新工具，是促进极限发展、立变这建微积分的社会背景。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分．・后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，无限趋近于零，让对求极限得到物体的瞬时速度，由此引出导数概念和微分学理论。意识到极限并他概念的重要性，图以极限概念作为微积分的基础。说：两试他 “ 个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等．在这一时且间终止前互相靠近，得其差小于任意给定的差，最终就成使则

极限的发展历史

极限的发展历史1.数学极限的起源与发展历史高等数学中，极限是一个重要的概念。

极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。

首先介绍刘徽的"割圆术"，设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。

为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An 无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1,2,3。

.)得到圆周率=3927/1250约等于3.14159265。

数列极限：定义：设是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，an无限接近（或趋近）于a，则称数列收敛，a称为的极限，或称数列收敛于a，记为liman=a。

或：an→a，当n→∞。

函数极限：设f为定义在[a，+∞）上的函数，A为定数。

若对任给的ε>0，存在正数M(>=a)，使得当x>M时有：|f(x)-A|<；ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->；+∞)有关公式lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) limg(x)不等于0lim(f(x))^n=(limf(x))^n以上limf(x) limg(x)都存在时才成立========================================================================举两个例子说明一下一、0.999999 (1)谁都知道1/3=0.333333……，而两边同时乘以3就得到1=0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。

浅析极限思想的产生及发展

【Abstract】limit thought is an important mathematical idea. It is formed through a long historical process. It is from ancient infancy to the furtherdevelopment with the creation and application of calculus in the middle ages. It forms a plete system limit theory with the further close of calculus which is after the eighteenth century. The process is filled with many sweats and the struggle footprints of mathematicians and philosophers. The development process of limit thought fully reflects the human search for truth and the precious spirit which is in pursuit of innovation. The development process of limit thought also fully reflects strong desire to understand the word and transform the world.
2.3极限思想的完善时期
极限思想的完善与微积分的严格化是密切联系的。19世纪，柯西给出了极限一个定义，但他只是定性的描述了什么是极限，而没有进展定量地刻画。定义为，如果某变量无限趋近于一常数，并和这个常数的差越来越小，这个常数就是极限值。定义存在的缺陷就是，无限趋近，越来越小等词语给人以直观想象的感觉，没有明确的标准来说明，缺乏严密性，因此不能用于数学命题的证明。例如，数列的极限是，假设说也是该数列的极限，那么我们就无法用这个极限的定义来否认它。所以，柯西的极限定义需要准确化。这一任务，留给了下一个伟大的德国数学家维尔斯特拉斯。维尔斯特拉斯把这种描述代数化，给出了完善化的极限定义。他给出的极限定义是，当时，总有，就说是数列的极限。与柯西的定义不同的是，他只用了“任意〞和“存在〞等词语，就是这种词语的改变，却使极限理论实现了彻底的完善化，给微积分提供了严格的理论根底。实际上，柯西与维尔斯特拉斯给出的极限定义，在根本精神上，他们是一致的，只不过，后者的定义更加的准确。维尔斯特拉斯不仅定性的描述了极限，而且也定量地刻画了极限。

极限思想毕业论文

极限思想毕业论文目录摘要 (I)Abstract (II)第1章极限思想的形成与发展 (1)1.1 极限思想的萌芽 (1)1.2 极限思想的发展 (1)1.3 极限思想的形成 (2)1.4 极限思想的完善 (3)第2章极限思想在数学分析中的应用 (3)2.1 极限思想在概念里的渗透 (3)2.2极限思想在导数中的应用 (4)2.3 极限思想在积分中的应用 (5)第3章证明极限存在以及求极限的方法 (6)3.1 极限的四则运算法则和简单求极限技巧 (6)3.2 用迫敛性准则求极限 (7)3.3 用泰勒公式求极限 (7)3.4 用等价无穷小求极限 (8)3.5 用洛必达法则求极限 (8)3.6 用微分中值定理和积分中值定理求极限 (9)第4章总结 (10)参考文献 (11)致谢 (12)第1章极限思想的形成与发展极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学发展史上占有重要地位，是研究数学、应用数学、推动数学发展必不可少的有力工具.本文通过论述极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的应用来说明极限在数学中的重要地位.按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程，可将它分为4个阶段.1.1极限思想的萌芽古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限理论的雏形.在我国，极限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著作《庄子.天下篇》中就引进了惠施的著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，它可以写成一个无穷等比递减数列：，，211⋯⋯，，，，n 32212121当n 无限增大（n=1,2,3，……）时， ……可取无限的小数，它的极限为零，这样借助实物，极限的概念便被形象的表达出来了.然而在我国最早创立极限概念，并用它来解决实际问题的却是数学家刘徽.他指出：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”并最终利用这极限思想求得了圆周率的近似值，独立的创造出了“割圆术”.然而当时人们在直观上对极限概念有了清楚的理解，但由于没有无穷小的概念，因此也就不可能用数学语言准确的描述出极限概念，并且极限思想也没有作为单独的研究对象真正独立出来.这在某种程度上是由于当时的经济状况和生产力水平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范围内决定的.1.2极限思想的发展17世纪以天文学、力学及航海为中心的一系列问题导致了微积分的产生.微积分尽管在实践中非常成功，但它的思想基础——无穷小量在逻辑上却有很多缺陷，被称为“失去了量的鬼魂”，并由此直接导致了第二次数学危机.为了消除危机，许多数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证和说明的工具.于是，他们对极限思想进行了深入研究，其阶段性的主要成绩如下.（1）达朗贝尔“理性的”极限概念达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣”（马克思语），首次尝试将微分学建立在“理性的”极限观念基础上.他认为“一个量永远不会重合，但它总是无限的接近它的极限，并且与极限的差要有多小有多小”，这样达朗贝尔给出了极限的描述性定义，但这个定义比较模糊，缺乏严密性.（2）罗伊里埃用极限奠定的微积分基础数学家罗伊里埃用极限思想对古希腊的“穷竭法”做了修改，并用极限定义导数，进而由导数来定义微分，排除了无穷小量和00等有神秘色彩的概念和符号.表明极限思想作为微积分基础的正确思想，然而他的缺点是只有单侧极限的概念.（3）柯西的变量极限概念19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有其他值得极限”.柯西的变量极限概念的提出，标志着极限概念向“算术话”迈出了决定性的一步，是数学史上的重大创新之一.此外，柯西还把无穷小定义为一个极限为零的变量，从而把极限原理和无穷小量有机的联系在一起.在此基础上，柯西又给出了函数的连续性、导数和微分的概念，特别是他首先给出了定积分作为和式极限的定义.然而，虽然柯西把纷乱的极限概念理出了头绪，为精确极限定义的产生做出了开拓性的工作，但他的工作任然不够严格、精确.例如，他在定义中提到的“无限趋近”和“要多小有多小”只是一种直观的定性语言，而不是一种精确的数学语言.1.3极限思想的形成在柯西关于变量极限的直观动态基础上，德国数学家维尔斯特拉斯从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间的数），给出了严格定义的极限概念，即他本人在1856年首先提出的现今广泛采用的δε—极限定义：（1）N —ε的数列极限定义：{}是一个数列设n a ，a 是一个确定的数，若对于，,a ,,0εε<->∃>∀a N n N n 时，有当{}的极限为数列则称n a a .(2)δε-的函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心领域),(00δ'x u 内有定义，A 是一个确定的数，若对任给的ε，总存在某个正数)(δδ'<，使得当δ<-<00x x 时都有ε<-A x f )(，则称函数f 当x 趋向于0x 时极限存在，且以A 为极限.这样极限的δε-定义便用静态的有限量刻画了动态的无限量，不仅排除了无穷小这个有争议的概念，而且排除了柯西在定义函数的连续性中用到的“变为并且保持小于任意给定的量”这种说法的含糊性，这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立.此外，维尔斯特拉斯还用这一方法定义了连续函数、函数的导数和积分的概念，使微积分的定义摆脱了几何直观所带来的含糊观念最终成了今天的形式.1.4极限思想的完善尽管用ε-语言定义的极限概念非常严密，并以占领微积分课堂100年之久，但他复杂的课堂逻辑结构却成为微积分入门难以理解和掌握的难点之一.近年来众多的专家学者在该研究领域取得了突破性的进展.特别是广州大学张景中院士提出了和ε-语言同样严格但易于被初学者所掌握的D-语言极限.(1)D-数列极限定义：若存在恒正递增无界数列{}n D ，使得对一切数列n ，总有nn D a a 1<-，则aa n n =∞→lim .(2)D-函数极限定义：设函数f(x)在0x 的空心领域)(00x u 有定义，A x f x x =→)(lim 0是指存在零的某右领域),0(δ内的恒正递增无界函数)(1h D ，使得当δ<-<00x x 时，总有)(1)(0x x D A x f -<-.从极限概念的“ε-语言”到“D-语言”的过程其实就是不断简化ε-语言的逻辑结构，化逻辑为运算的过程，他的基本思想是用简单的单调过程刻画一般的，复杂的极限过程，并且在刻画极限的过程中ε-语言与D-语言还具有实质的等价性.D-语言的提出，为数学分析课程的教学改革指出了一个新的方向，也为极限思想的进一步完善开辟了道路.第2章极限思想在数学分析中的应用2.1极限思想在概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.（1）如以函数()y f x =在点0x 连续的定义.记0x x x ∆=-称为自变量x （在点0x ）的增量或改变量，设00()y f x =，相应的函数y （在点0x ）的增量记为0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-，可见，函数()y f x =在点0x 连续等价于0lim 0x y ∆→∆=，是当自变量x 得增量x ∆时，函数值得增量y ∆趋于零时的极限.（2）函数()y f x =在点0x 导数的定义.设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限000()()limx x f x f x x x →--存在，则称函数f 在点0x 处可导，令0x x x =+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，则可写为0000()()limlim x x x f x x f x yx x→→+∆-∆==∆∆()0'f x ，所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比yx ∆∆的极限.（3）函数()y f x =在区间[],a b 上的定积分的定义。

极限的产生与应用解读

目录摘要........................................- 2 -Abstract ......................................- 3 -引言..........................................- 4 -1．极限思想的产生及发展.......................- 4 -1.1极限思想的产生........................................... - 4 -1.2极限思想的发展........................................... - 5 -1．3极限思想的完善.......................................... - 6 -2、极限思想的概念及其性质.....................- 7 -2.1极限的现代定义........................................... - 7 -2.2函数极限的性质........................................... - 7 -3 极限思想在解题中的应用......................- 7 -3.1在开方方面的应用......................................... - 7 -3.2 在求某一点的应用........................................ - 9 -3.4 在解析几何中的应用..................................... - 12 -4 探索极限思想在各个领域的应用............... - 15 -4.1在物理学中的应用........................................ - 15 -4.2 在化学中的应用......................................... - 16 -4.3在建筑学中的应用........................................ - 17 -4.4 在宏观经济学中的应用................................... - 17 -4.4.1计划经济.......................................... - 18 -4.5 在微观经济学中的应用................................... - 20 -4.5.1完全竞争市场...................................... - 20 -参考文献..................................... - 22 -致谢......................................... - 24 -摘要极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。

极限概念的历史演变及分析

极限概念的历史演变及分析极限概念是极其重要的数学概念，也是数学思想演化的核心之一。

极限概念多源自古代希腊数学家们讨论的概念，穿越数千年的历史，一直以来都受到广泛的重视。

它的发展涉及到几何学、微积分学和复变函数学中的许多概念，令人理解其重要性和前卫性。

本文将对极限概念的历史演变及其分析做一简要介绍。

极限概念起源于古希腊数学，最早出现在欧几里德的《几何原本》，在那里他提出了一种新的解决数学问题的方法，即通过极限定义接近量来求解数学问题，在那之后，古典数学大师笛卡尔将极限概念发挥到极致，通过它们开创了微积分学的先河。

从那时起，极限概念就作为古希腊数学的重要组成部分不断演化发展，并有更深入的发展，最终走向成熟。

19世纪，英国数学家利物浦在他的研究工作中，使用极限概念来探究“复变函数”的定义及其应用，解决了多维函数不可导性问题，并且开拓了极限概念在复变函数学上的应用。

此外，还有19世纪德国数学家弗兰克尔、拉格朗日，他们分别将极限概念应用在多变量的微积分学中，引领了20世纪的变分法的发展。

20世纪以来，极限概念得到了进一步的发展，俄罗斯数学家巴斯洛夫提出了“极限的普遍定义”，为数学定义极限提供了一个较为普适的思路。

20世纪30年代，德国数学家爱因斯坦系统地研究了极限概念，关于极限概念形式化和定义上，爱因斯坦提出了更为严谨的解释，从而为极限概念的下一次演变起到了关键性作用。

20世纪50年代以来，极限概念在数学上得到了更广泛的应用，极限概念的使用范围日渐扩大，涉及到几何学、微积分学和复变函数学等许多领域，并得到了更为完善的形式化处理，开创了极限概念在数学中的细致应用。

20世纪末，极限概念在计算机科学和统计学中也被广泛使用，极大地丰富了极限概念的功能及其应用场景。

总之，极限概念是一个非常有趣的概念。

它在古希腊时期就初步出现，在此之后不断的演变，应用范围也从微积分学、几何学等拓展到了现在的计算机科学和统计学等，极大地延伸了极限概念的可能性。

极限的产生、发展与应用

学号密级******本科毕业论文极限的产生、发展与应用学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：***指导教师：***二○一五年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITYGeneration, Development andApplication of LimitCollege :School of MathematicsSubject :Mathematics and Applied MathematicsName : ***Directed by : ***May 2015郑重声明本人呈交的学位论文,是在导师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,所有数据、图片资料真实可靠.尽我所知,除文中已经注明引用的内容外,本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容.对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体,均已在文中以明确的方式标明.本学位论文的知识产权归属于培养单位.本人签名：日期：摘要本文通过论述极限的产生、发展、应用等方面解释了极限思想,重点介绍了极限在高等数学方面的应用.微积分是以极限为基础的,因而应用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性等概念.为今后更好的学习微积分打下坚实的基础.关键词：极限;产生;发展;应用;微积分ABSTRACTThe through discusses the limit of the emergence, development and application of explains limit thought, introduced with emphasis the application of limit in higher mathematics. Calculus is based on the limit, and the limit of the thought method is continuous function, derivative and definite integral, series convergence and divergence of concept. To lay a good foundation for the future to better learning calculus.Key words : The limit;production;development;application;calculus目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章引言 (1)第2章极限的产生和发展 (3)2.1极限的产生 (3)2.1.1中国早期极限思想 (3)2.1.2外国早期极限思想 (4)2.2 极限的发展 (5)第3章极限的应用 (7)3.1极限的早期应用 (7)3.2极限思想在高等数学教学中的应用 (7)3.2.1极限思想在微积分概念中的体现. (8)3.2.2极限思想在微积分解题中的应用 (9)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)第1章引言极限是整个微积分教学中的理论基础,它同时又是极限理论中的基本概念,对于极限理论的理解和掌握的熟练程度,将直接影响到后续数学课程的学习,尤其是对微积分的学习.极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折点,极限概念描述的变量是：从有限到无限、从近似到精确、从量变到质变的哲学辩证过程,这里所描述的变量的概念与初等数学中的变量的概念有着非常大的区别,因而对学生来说掌握起会有一定的困难,但是如果能从极限发展的历史中了解极限思想和极限理论的形成过程,这对于我们弄清极限概念的描述和逻辑表述形式以及对极限理论的理解、掌握和应用会起到至关重要的作用.极限包括有：数列极限和函数极限.当把数列看成是以自然数为自变量的函数时,数列极限也就被看作是函数极限.所以现代数学对数列极限和函数极限是这样定义的:设{}n a 为实数数列,a 为定数.如果对于给定的任意数0>ε,总存在N (自然数),使得n>N 时,ε<-a a n 恒成立,称数列{}n a 的极限是a ,记作a a n z n =→lim 设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A ,对于任意给微积分的创立是世界数学史上最大的事件之一,就是十七世纪英国的牛顿和德国的莱布兹以其卓越的天才,明确地认识到求积问题和作切线问题之间的互逆关系,从而真正建立了微积分的基本定理,并且系统地总结出一套比较准确的关于无穷小的算法,这的确算的上是微积分发展史上的头等重大的事件.但作为微积分基础的极限论的起源,我们可以追溯到春秋战国时期.早在春秋战国时期也就是公元前770年到公元前前221年，我国道家学派的代表人物庄子就有了极限思想,《庄子》“天下篇”中曾记载说,把一尺长的捶,每天取下前一天所剩的一半,照这样重复的不断取下去,我们永远也不可能把整个捶取完.这个具体的例子反映了我国古人对极限的一种思考,它不但表达了我们祖先的极限思想,也为我们提供了一个“无穷小量”的实际例子.这个经典的论断,至今在微积分的教学中还经常被使用.极限理论在高等数学中占有非常重要的地位,以极限为基础理论发展起来的微积分成为了各学科的一把利剑,解决了数学、物理等各领域中初等数学无法解决的问题,同时，极限思想从上世纪开始成为经济学家的有力工具.第2章极限的产生和发展2.1极限的产生19世纪法国伟大的数学家庞加莱曾经说过,能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人.我们所学的一切数学概念都来自于社会实践,来源于我们的现实生活,这些思想的火花被数学家们捕捉到以后,经过千锤百炼,被提炼成概念.再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善以及实践,最终形成经典的理论.毫无疑问地说,数学中的概念、定理等都会经历这个过程.极限也是社会实践的产物.极限思想的起源，我们可以追溯到古代,比如：刘徽的割圆术、古希腊人发现的穷竭法、阿基米德的圆周率计算等等,这些都蕴含着古代朴素的、直观的极限思想.古代朴素的极限思想主要是指：先通过整体细分,然后按照某种规律或发展趋势逼近终极状态,最后通过近似获得整体值的一种思想.2.1.1中国早期极限思想在中国古代数学史上,朴素的极限思想占有非常重要的地位.许多的哲学思想中都渗透着“极限思想”的光辉.早在春秋战国时期(公元前770一前221)，我国道家学派的代表人物庄子，在他的《庄子》“天下篇”中是这样记载的,一尺长的木棍,第一天取掉它的一半,还剩下它的二分之一尺,第二天再在这剩余的二分之一尺中在取掉一半,还剩下它的四分之一尺…….按照这样的方法一直取下去,木棍的长度会越来越小,但是无论剩余的木棍多小,永远也分不完.以至于到最后木棍长度几乎接近于零,但又永远不会等于零.这就出现了我国早期极限思想.当然在道家学派思想出现以前也曾出现了一些与道家学派不同的关于极限思想的观点.如：墨家观点就与庄子的观点不同,墨家提出一个“非半”的命题.这个命题是这样得出来：将一线段按一半一半地无限分割下去,必将会出现一个不能再分割的“非半”.这个“非半”就是点.墨家由此提出了有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想.这也是早期中国极限思想的火花.而墨家思想与名家关于极限思想的观点也有不同,名家则提出了“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”思想,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.以我们现在的想法看来,先秦诸子中的名、墨两家,对宇宙的无限性以及连续性认识已经非常深刻了,但是在那时候这些认识还是片断的、零散的,然而这些极限思想的萌芽,为极限概念的产生提供了丰厚的沃土.公元3世纪,我国魏晋著名数学家刘徽创立了有名的“割圆术”,当他在注释《九章算术》时,他将极限思想创造性的应用到了数学领域.下面就割圆术的具体方法做以下介绍：一个圆周不断地进行分割,圆周分割得越细,圆内接多边形的边数越多,它的内接正多边形的周长就越是接近该圆周.按照这种思路不断地分割下去,一直到该圆周无法再进行分割为止,当分割到了圆内接正多边形的边数无限多的时候.该圆的周长就与该圆周几乎重合了.通过这种分割方法,刘徽得到了圆内接正3027边形的面积.通过这个过程,他求出了我国最早的圆周率,该圆周率为 3.1416,这个数值也是当时世界上最早的也是最准确的圆周率数据.后来刘徽把这种思想方法推广到了更多的有关圆的计算.刘徽的“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明,成为人类文明史中不朽的篇章.后来我国数学家祖冲之再次用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位.这种对于某个值无限接近的思想,就为后来建立极限概念打好了基础.在中国数学的发展史上，庄子、墨子、惠施、刘徽等天才数学家的数学研究和成就远远比不上与他们同时期的西方数学家(如：阿基米得、欧几里德等数学家).原因在于我国古代经济的困顿使得只有很少人来学习文化知识,自然学数学的人也就更少了,数学理论研究并没有受到相应的重视.农业社会的经济特点限制了古代人们对自然的探险与对理论的求索,从而也阻止了数学向理性发展的可能.中国几千年的文化,成就了许多的思想家、军事家和文人,其中也不缺少能工巧匠,唯独缺乏用符号与算式演绎事物内在规律和关系的数学家.由于中国古代的数学家们看重实用,因而古代数学只用于计算、测量等方面,并没有上升到理论的高度,因而也没有形成系统的理论体系.中国古代很多思想止于数学大门之外,令人非常惋惜[1].2.1.2 外国早期极限思想尽管刘徽是第一个创造性地将极限思想应用到数学领域的科学家.但是他的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用.古希腊数学之神阿基米德所运用的穷竭法也蕴含了极限思想.直到16世纪时, 荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中,斯泰文改进了古希腊人的穷竭法.他借助几何直观运用极限思想的方法来思考问题, 放弃了古希腊人归谬法的证明. 也就是就这样,荷兰数学家斯泰文在无意中将极限发展成为一个实用概念.2.2 极限的发展极限的理论形成于西方,它的概念发展经历了由缓慢到快速发展的过程.古希腊时期就有了极限思想,古希腊人的穷竭法包含了极限思想.然而在十六世纪以前,关于极限的描述都是零散的、不完整的.直到十六世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中,他借助于几何直观的方法用极限思想来思考问题,放弃了古希腊数学家用归谬法对极限的证明的方法,虽然斯泰文将极限概念向前推进了一步,但是极限思想仍只停留在思想的层面,并没有形成系统的极限理论体系.数学的发展与当时的社会背景密切相关,此时的欧洲处于资本主义萌芽时期, 生产力发展和技术中存在着大量的问题, 只用初等数学的方法已没有办法解决这些问题,所以迫切地需要数学家们突破只研究常量的传统范围,希望他们能够提供用以描述和研究运动、变化过程的新方法.正是因为这样的社会背景,加快了极限的发展、完善与微积分的建立.同时,微积分也形成系统的理论体系.进入十七世纪后,由于极限的没有准确的概念,所以牛顿在建立微积分的过程中,也就无法确定无穷小的身份.在利用无穷小进行运算时,无穷小量到底是零还是非零呢？这个问题困扰着牛顿和他同时期的数学家们.数学家们用旧的概念说不清“零”与“非零”的问题,故而极限的本质也没有被触及到.然而真正意义上的极限概念是由英国数学家约翰瓦里斯提出,他认为当变量无限逼近的一个常数时,它们的差是一定是一个给定的任意小的量.在这个过程中,他把两个无限变化的过程表述了出来,揭示了极限思想的核心内容.在十九世纪,法国伟大的数学家柯西在《分析教程》中比较完整的揭示了极限概念和极限理论.他认为当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值时,最终使该变量的值和该定值之差越来越小,这个差值小到一定的程度时,这个定值就是所有其它值的极限.同时,柯西还指出零是无穷小的极限.他的这个思想已经摆脱了常量数学的束缚,走向了变量数学.柯西在此时已经用数学语言能准确的表达极限的思想,但是这种极限思想的表达还是定性的、描述性的.直到后来,经过德国数学家维尔斯特拉斯给出极限的定量的定义,极限的概念才得以完善,这也为微积分提供了严格的理论基础：“如果对任何 0>ε,总存在自然数N ,使得当N >n 时,不等式ε<-A a n 恒成立”.德国数学家维尔斯特拉斯给出的极限概念,深入的刻画了两个“无限过程”之间的联系,排除了以前极限概念中的直观痕迹,将极限思想转化为了数学的语言.他用数学的方法描述完成了从思想到数学的一个转变,使极限思想在数学理论体系中开始占有了属于它的合法地位,在我们高等数学的数学分析书籍中,这种描述一直沿用至今.[2]第3章极限的应用3.1极限的早期应用在古希腊,“穷竭法”是研究一类数学问题的一种特殊方法.在公元三世纪,古希腊诡辩学家安提丰(Antiphon,约公元前430年)在求圆面积时,提出了用成倍扩大圆内接正多边形边数的方法,并把内接正多边形的面积来表示圆面积,该方法即“穷竭法”.他认为这样圆与内接正多边形的差将被“穷竭”.然而这是一种粗糙的极限论思想,虽然这种方法获得的结果是正确的,但在逻辑上却是有问题的,我们谁也保证不了无限扩大后的正多边形的边会不会与圆周重合? 这个疑问就是古希腊数学家们的“关于无限的困惑”.这种边数加倍的过程可以无限制地进行,不会有所终结,所以说“差”被“穷竭”的说法是不合适的.但用我们用现在极限理论的观点来看这个过程,这个被构成了的“无穷小量”,它在不断趋向于零.尽管如此,“穷竭法”仍然被认为是人类最早运用极限论的观点去思考数学问题的方法.数学家家阿基米德后来用“穷竭法”求抛物线的弓形面积时,发现这种方法似乎还不够严密,因此在获得结果后又用归谬法加以证明,他在逻辑上证明了结果的正确性.他的发现如下：第n 个多边形的面积与抛物线弓形面积有一个差值ns 43⋅,随着n 的增大,这个差值会越来越小,直到这个差值不可能是一个的大于零的常数为止,但这个差值也不可能是小于零的常数,根据归谬法我们可以知道,这个差值为n s 43⋅,并且这个差值只可能等于零.在此时,古希腊数学家阿基米德提出了一个相当于现在无穷小量的概念,为近代的极限理论打下了良好的基础. 我国古代数学早期的极限思想应用历史悠久.公元三世纪,魏晋数学家刘徽的“割圆术”就运用了极限论的初步思想,解决了求圆周率的实际问题.它的“割圆术”与古希腊人的“穷竭法”思路一致,他是中国数学史上第一个将极限思想运用于数学计算的人,这与现在极限论的观点是十分相近的.3.2极限思想在高等数学教学中的应用高等数学主要的研究内容为函数的微分与积分,它的研究方法为极限,这也是高等数学相比于初等数学的显著标志.极限思想贯穿于高等数学的始终,是高等数学的一种重要思想方法,我们可以说没有极限就没有微积分,极限和极限思想在微积分中占据着核心的地位.3.2.1极限思想在微积分概念中的体现.体现一：连续函数概念的建立函数连续与否的概念源于对函数图像的直观分析.例如,函数2)(x x f y ==的图像是一条抛物线,图像上个点相互“连接”而不出现“间断”,构成了曲线“连续”的外观.而符号函数x sgn y =的图像也直观的地告诉我们,它的“连续”在0=x 处遭到破坏,也就是说在这一点出现了间断.用分析的观点来看,函数)(x f 在某点0x 处是否具有“连续”特性,就是指当x 在0x 附近做小变化时,)(x f 是否也在)(0x f 附近做微小变化.借助于已经学过的函数极限工具,就是看当自变量x 趋于0x )(0x x →时,因变量y 是否趋于)(0x f ))((0x f y →定义：设函数)(x f 在点0x 的某个领域中有定义,并且成立)()(lim 00x f x f x x =→ 则称函数)(x f 在点0x 连续,而称0x 是函数)(x f 的连续点.体现二：导数概念的建立导数是微积分中的重要基础概念,导数是函数的局部性质。

毕业论文_极限思想的产生与发展

存档编号赣南师范学院科技学院学士学位论文极限思想的产生与发展系别数学与信息科学系届别 2014 届专业数学与应用数学学号 1020151216 姓名李芳指导老师陈海莲完成日期 2014 年5月 4日目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (2)1.极限思想的产生 (2)2.极限思想的发展 (4)3.极限思想的概念 (5)极限的现代定义 (5)3.2函数极限的性质 (6)数列极限存在的条件 (7)4 极限思想的应用 (8)极限思想在割圆术中的应用 (8)极限思想在开方方面中的应用 (8)极限思想在微积分中的应用 (10)极限思想在解题中的应用 (11)结论 (15)参考文献 (17)致谢 (18)内容摘要：本文主要论述极限思想的产生与发展、极限思想的概念、辩证与剖析及其应用。

极限思想是荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，而牛顿，莱布尼兹对极限思想的建立作出了创造性的贡献。

本文最后探讨了极限思想在割圆术、开方、微积分和求解某一点方面的应用。

关键词：极限思想产生发展概念辩证剖析应用Abstract: This paper mainly discusses the origin and development of the limit idea, limit thought concept, dialectical analysis and its application. Limit thought is produced by Holland mathematician Steven improved the method of exhaustion of the ancient Greeks, while investigating the center of gravity when he, with the aid of the geometry, bold use of thinking about the limit, give up reductio ad absurdum proof, and Newton, made creative contribution to establish the Leibniz limit thought. This paper finally discusses the application of limit thought in cyclotomy, prescribing, calculus and solution of a point of.Key words: Limit thought production development concept dialectical analysis application引言数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象性和外部有效性的一门学科。

毕业论文极限思想及应用

本科毕业论文（设计）极限思想及其应用学生姓名：孙金龙学号：071611140系部：应用数学系专业：金融数学指导教师：刘炎提交日期：2011年3月21日毕业论文基本要求1．毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践意义的论题。

2．论文篇幅一般为8000字以上，最多不超过15000字。

3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。

4．论文字体规范按《广东金融学院本科生毕业论文写作规范》和“论文样板”执行。

5．论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。

本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学生签名：时间：年月日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东金融学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务，在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定。

学生签名：时间：年月日摘要极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。

极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。

极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。

极限思想是微积分理论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科是密不可分的。

数学专业本科论文极限

一、引言数学分析这门课程研究的对象主要是函数, 而研究函数方法就是极限, 数学分析中几乎所有的概念都离不开极限, 从方法论的角度来讲, 用极限的方法来研究函数, 这是数学分析区别于初等数学的最显著标志, 所以说极限是数学分析中的重要概念, 也是数学分析中最基础最重要的内容.求数列和函数的极限是数学分析的基本运算,方法有定义法,四则运算,洛比达法则,函数连续性等.除了这些常规方法外,本文就极限问题的各种类型及其求法方法做一归类.二、数列极限的几种简易求法定义 1 设{}n a 为数列,a 为定数.若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当n N>时有n a a ε-<,则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限.求数列极限的常用两边夹定理、函数的单调有界性以及一些有关的公式。

2.1 利用两边夹定理求数列极限定理1 （两边夹定理）设{}{}{},,n n n a b c 是三个数列, 满足以下条件: (1),,N N n N +∃∈∀> 有n n n a b c ≤≤ , (2)lim lim n n n n a c l →∞→∞==则 lim n n b l →∞= .根据此定理,如果某数列的极限不容易直接求得,可以将他适当缩小或放大,并且使得缩小和放大以后得到的两个新数列的极限分别存在且相等,从而得到原数列的极限.利用两边夹定理解决一些数列的极限会使题目很容易解决. 例1 求极限22221111lim 123n n n n n n →∞⎛⎫++++⎪++++⎝⎭ .解:设n c =22221111123n n n n n++++++++ ,则有:n c >22221111n nn nn n n n +++++++++ = 2n n n +同时有:n c <222211111111n n n n ++++++++ = 21n n + .于是有2211n nn c n n <<++ ,由 22211n n n n n +<++=+ ,221n n n +>=,有221111n n nn n c n nn n <<<<=+++,由已知 lim11n n n →∞=+所以 22221111lim 123n n n n n n →∞⎛⎫++++⎪++++⎝⎭ = 1 .2.2 利用有关公式求数列极限这种方法是根据已知的等差数列、等比数列前n 项和的公式,例如()11232n n n +++++=,()()222121126n n n n +++++=,等有关公式来求极限.例2 求极限 333312lim 4n n n n →∞⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ 解原式=()21211lim lim 4442n n n n n n n →∞→∞⎡⎤++-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦例3 求极限 11122lim11133nn n →∞++++++解此类题的分子、分母都能直接求出前n 项和,故先求和再求极限.原式=111111112111211144222lim lim lim 1313311113233113n n n n n n n n n ++++→∞→∞→∞++⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-2.3 利用函数的单调有界性求极限定理2 (单调有界定理)单调递增有上界或单调递减有下界的数列必有极限.利用该性质求极限一般步骤: （1）证明数列单调有界;（2）建立数列相邻两项之间的关系;（3）对上述关系式两端取极限,得到关于极限a 的方程,从中解出a 即可. 例4 设()()120,,,1,2,,n x a a x a a x a a a n =>=+=+++= 求lim n n x →∞.解:（1）先证{n x }单调增加且有上界, 用归纳法证明. 因为2x =11,a a a x x +=+>显然当n=2 时成立.假设n k = 时, 有1k k x x +<,则a + k x < a + 1k x +, 即1,k k a x a x ++<+12k k x x ++< ,数列{n x }单调增加. 显然, 当1n =时, 有11,x a a =<+设n k =, k x < a +1 则11211,k k x a x a a a a a +=+<++<++=+ 即{n x }有上界(上界为1a + ). 由公理, 数列{n x }收敛. （2）再求lim n n x →∞.设lim n n x →∞=l ,1n n x a x +=+因为,()11142l a=±+.又由极限保号性, l 不能是负数,则数列{n x }的极限是()11142l a=±+ .例5 设110x =,()161,2,n n x x n +=+= ,试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.解由110x =及216164x x =+==知12x x >; 假设1k k x x +>,则有11266k k k k x x x x +++=+>+=,则对一切自然数1,n n n x x +>都成立,即数列{}n x 单调减少; 由110x =及16n n x x +=+,易知()01,2,n x n >= ,即数列有下界; 根据极限存在准则知lim n n x →∞存在,设其为a ,对16n n x x +=+两边取极限,得6a a =+,解得3a =或2-, 注意到()01,2,n x n >= ,故lim 3n n x →∞=三、函数极限的几种简易求法我们常用四则运算法则、无穷小量与无穷大量的关系以及无穷小量的性质、“两个重要极限”、初等函数的连续性、等价无穷小代换、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限等方法来求函数极限。

极限思想的产生与发展

分类号:单位代码:10452临沂大学理学院毕业论文(设计)极限思想的产生与发展姓名学号年级专业数学与应用数学系(院) 理学院指导教师2012年12月17日摘要极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究，并对其在数学分析中的应用展开探索。

关键词：极限思想；产生；发展；完善；应用ABSTRACTLimit thought is the basic ideas of calculus in mathematical analysis, a series of limportant concepts, such as the continuity of a function, derivative and definite integral are defined with the help of limit thought. Limit thought application everywhere, understand and grasp and reasonable application of limit thought, can let us in the process of solving practical problems, can quickly find the methods to solve the problems, to enhance the actual effect. This paper focuses on the ultimate idea generation and development research, and its applicationin inmathematical analysis explores.Key words: Limit thought；geneeration；development；perfection；application目录1.引言 (1)2. 极限思想的产生与发展 .......................................................... 错误!未定义书签。

学位论文-—极限思想的产生和发展

本科生毕业论文（设计）题目极限思想的产生和发展The Emergency and Development OfLimit专业数学与应用数学院部数学与计算机科学学院学号 xx姓名 xx指导教师 xx答辩时间二○一四年五月论文工作时间：2013 年12月至2014 年5月极限思想的产生和发展摘要：本文主要论述极限思想的产生和发展历史．在极限思想产生和发展的每个阶段，介绍一些相关的数学家代表以及他们的理论．极限思想是近代数学的一种重要思想，所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想．极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点．通过了解极限思想的产生和发展，让人们对学习关于极限思想的数学知识更有兴趣；通过了解极限思想的产生和发展，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线认识曲线，从量变认识质变，从近似认识精确．在探求极限思想起源与发展的过程中，会发现数学这个美丽的世界，享受探求数学这个美妙的过程．关键词：极限思想；产生；发展The Emergence and Development Of LimitUndergraduate:xxSupervisor: xxAbstract:This paper mainly discuss the generation of limit and its development．I will introduce you some related mathematicians and their theories during its different period．Limit thought is an important thought of modern mathematics, namely a mathematical thought used to solve and analysis problems．The emergence and development of the limit idea is of practical need to society, it also promotes the development of math as a new power, which becomes the foundation and starting point of the modern mathematical thoughts and methods．By learning the emergence and development of the limit idea, people will be more interested in some mathematical questions on limit thought．They can know things from finite to infinite, from invariant to variant also, they can understand curve from straight line, qualitative change from quantitative change and exactness from approximation with the help of the limit thought．I hope that everyone will find what a beautiful mathematical world it is and enjoy this wonderful process when you explore the origin and development of limit thought in mathematics．Key words:limit thought ; generation; development目录绪论 (1)1极限思想的产生 (1)2极限思想发展的分期 (2)2．1极限思想的萌芽阶段 (2)2．2极限思想的发展时期 (3)2．3极限思想的完善时期 (3)3极限思想与微积分 (4)3．1微积分的孕育 (5)3．1牛顿与微积分 (6)3．3莱布尼茨与微积分 (6)3．4微积分的进一步发展 (7)结束语 (8)参考文献 (9)致谢............................................. 错误！未定义书签。