绝对值化简方法辅导

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初中绝对值的化简方法口诀

初中绝对值的化简方法口诀

初中绝对值的化简方法口诀

绝对值化简口诀是同号得正,异号得负。接下来给大家分享绝对值化简口诀及绝对值化简的相关知识点,供参考。

绝对值化简口诀

绝对值化简口诀是同号得正,异号得负。绝对值化简步骤如下:

①根据数轴“从左到右数增大”的原则比较绝对值里面字母的大小关系;

②根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负;

③根据“一个正数的绝对值等于它本身”把绝对值里面的代数式直接去掉绝对值符号移出来,根据“一个负数的绝对值等于它的相反数”把绝对值里面的代数式去掉绝对值符号再变成它的相反数移出来;

④绝对值符号全都去掉后,再进行加减运算(有的可能需要先去括号再运算),得到最简结果。

绝对值化简的应用

正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值还是0。特殊的零的绝对值既是它的本身又是它的相反数,写作|0|=0。

任何有理数的绝对值都是非负数,也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。任何纯虚数的绝对值是就是虚部的绝对值。

当a≥0时,│a│=a;当a<0时,│a│=-a;存在│a-b│=│b-a│。

两个负数比较大小,绝对值大的反而小。一对相反数的绝对值相等。

绝对值化简方法辅导

绝对值化简方法辅导

下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进展讲解如何对绝对值进展化简

首先我们要知道绝对值化简公式:

例题1:化简代数式 |x-1|

可令x-1=0,得x=1 〔1叫零点值〕

根据x=1在数轴上的位置,发现x=1将数轴分为3个局部

1〕当x<1时,x-1<0,那么|x-1|=-(x-1)=-x+1

2〕当x=1时,x-1=0,那么|x-1|=0

3〕当x>1时,x-1>0,那么|x-1|=x-1

另解,在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的局部

1〕当x<1时,x-1<0,那么|x-1|=-(x-1)=-x+1

2〕当x≥1时,x-1≥0,那么|x-1|=x-1

例题2:化简代数式 |x+1|+|x-2|

解:可令x+1=0和x-2=0,得x=-1和x=2〔-1和2都是零点值〕

在数轴上找到-1和2的位置,发现-1和2将数轴分为5个局部

1〕当x<-1时,x+1<0,x-2<0,那么|x+1|+|x-2|=-〔x+1〕-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1

2〕当x=-1时,x+1=0,x-2=-3,那么|x+1|+|x-2|=0+3=3

3〕当-1<x<2时,x+1>0,x-2<0,那么|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3

4〕当x=2时,x+1=3,x-2=0,那么|x+1|+|x-2|=3+0=3

5〕当x>2时,x+1>0,x-2>0,那么|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1

绝对值的化简方法口诀什么是绝对值

绝对值的化简方法口诀什么是绝对值

绝对值的化简方法口诀什么是绝对值

绝对值化简口诀:绝对值化简口诀是同号得正,异号得负。绝对值化简步骤:根据数轴从左到右数不断增大的原则,比较绝对值里面字母的大小关系。根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负。任何有理数的绝对值都是非负数,也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。

绝对值的化简方法口诀

绝对值化简口诀:绝对值化简口诀是同号得正,异号得负。

1、绝对值化简步骤:根据数轴从左到右数不断增大的原则,比较绝对值里面字母的大小关系。根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负。

2、根据一个正数的绝对值等于它本身,把绝对值里面的代数式直接去掉绝对值符号移出来,根据一个负数的绝对值等于它的相反数,把绝对值里面的代数式去掉绝对值符号再变成它的相反数移出来。

3、绝对值符号全都去掉后,再进行加减运算,得到最简结果。正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值还是0。

4、任何有理数的绝对值都是非负数,也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。当a≥0时,│a│=a;当a<0时,│a│=-a;存在│a-b│=│b-a│。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。一对相反数的绝对值相等。

什么是绝对值

在数轴上,表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值用“||”来表示。在数轴上,表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值,叫做a-b的绝对值,记作|a-b|。

在数轴上,一个数到原点的距离叫做该数的绝对值.如:5指在数轴上表示数5的点与原点的距离,这个距离是5,所以5的绝对值是5。

初一数学:绝对值化简题型辅导(1)——从题设条件找思路

初一数学:绝对值化简题型辅导(1)——从题设条件找思路

初一数学:绝对值化简题型辅导(1)——从题设条件找思路

绝对值是初中代数部分的一个重要内容。也是很多同学进入初中阶段的学习以后遇到的第一个难点,有关绝对值的化简问题,也频繁出现在各地中考及各类竞赛的试卷中,成为同学们失分的陷阱、考试的压力与学习阻力所在。

纵观这类问题的处理方法,其实,无外乎就是根据绝对值的形式脱去绝对值符号,将式子转化为不含绝对值的代数式进行化简计算!

而其核心关键便是正确判断绝对值内部式子的正负!

注意:

在处理嵌套的多层绝对值符号的化简问题时,一般是从内向外逐层化简,每一次脱去绝对值都要先判断所脱去的绝对值内的部分的正负,在根据相关性质进行化简计算。

那么如果题目中并没有给我们提供有关取值范围的信息,我们又该如何处理这类问题呢?

【总结归纳】

根据题设条件判断绝对值符号内部的代数式是正是负或是零,再能根据绝对值意义去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路.如果题目中没有给出相关参数的取值范围,则需要进行分类讨论。

绝对值的化简方法口诀

绝对值的化简方法口诀

绝对值的化简方法口诀

绝对值是一种常用的数学概念,可以理解为一个数离0的距离。

在数学中,我们常用竖线(| |)来表示绝对值。在解题过程中,如

果我们能够简化绝对值表达式,就能更方便地进行计算。以下是一些

化简绝对值表达式的方法,可以帮助我们更好地理解和应用绝对值。

1. 定义法:绝对值的定义是一个数与0的距离,即 |x|= x,当

x ≥ 0时成立;当 x < 0时,|x| = -x。根据这个定义,我们可以直

接计算出绝对值的值。

2. 分段函数:绝对值也可以用分段函数的形式表示。例如,|x|

可以表示为以下分段函数:

当x ≥ 0时,|x| = x;

当 x < 0时,|x| = -x。

这种表示方法可以帮助我们更好地理解和分析绝对值的性质。

3. 取正负号:绝对值的一个重要性质是,它可以通过取正负号

来化简。具体而言,对于任意实数 x,有以下规律:

|x| = x,当x ≥ 0时;

|x| = -x,当 x < 0时。

通过这个规律,我们可以将绝对值化简为正负号的形式,更容易进

行进一步的计算。

4. 去掉绝对值符号:在一些特殊情况下,我们可以直接去掉绝

对值符号而不影响等式的成立。例如,|x| = |y|可以推出 x = y 或

x = -y,因为绝对值代表的是距离,只要两个数的距离相等,它们本

身也应该相等。

5. 加减性质:绝对值具有加减性质,即|a ± b| ≤ |a| ±

|b|。这个性质可以帮助我们化简绝对值表达式,将其转化为更简单的

形式。

6. 分解绝对值:有时候,我们可以通过将绝对值表达式分解成

绝对值化简十种方法

绝对值化简十种方法

绝对值化简十种方法

绝对值是数学中的一个重要概念,它表示一个数与0的距离,因此它的值总是非负的。在数学中,我们经常需要对绝对值进行化简,以便更好地理解和计算问题。下面将介绍十种常见的绝对值化简方法。

1. 绝对值的定义:|x| = x (x≥0) 或 |x| = -x (x<0)。根据这个定义,我们可以将绝对值化为一个简单的表达式。

2. 绝对值的性质:|x| = |-x|。这个性质告诉我们,绝对值的值与它的符号无关,只与它的绝对值大小有关。

3. 绝对值的加法:|x+y| ≤ |x| + |y|。这个不等式告诉我们,两个数的绝对值之和不会超过它们的和的绝对值。

4. 绝对值的减法:|x-y| ≥ |x| - |y|。这个不等式告诉我们,两个数的绝对值之差不会小于它们的差的绝对值。

5. 绝对值的乘法:|xy| = |x| |y|。这个公式告诉我们,两个数的绝对值之积等于它们的绝对值的积。

6. 绝对值的倒数:1/|x| ≤ 1/x。这个不等式告诉我们,一个数的倒数的绝对值不会超过它本身的绝对值的倒数。

7. 绝对值的平方:|x|² = x² (x≥0) 或 |x|² = (-x)² (x<0)。这个公式告诉我们,一个数的绝对值的平方等于它本身的平方。

8. 绝对值的立方:|x|³ = x³ (x≥0) 或 |x|³ = -x³ (x<0)。这个公式告诉我们,一个数的绝对值的立方等于它本身的立方或相反数的立方。

9. 绝对值的导数:d/dx |x| = x/|x|。这个公式告诉我们,一个数的绝对值的导数等于它本身除以它的绝对值。

化简绝对值的方法和技巧

化简绝对值的方法和技巧

绝对值是一种数学概念,表示一个数在数轴上的距离。在化简绝对值时,我们需要考虑如何去掉绝对值符号,同时保留数的大小。下面是一些化简绝对值的方法和技巧:

绝对值的定义:绝对值是一个数到原点的距离。正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。

利用数轴:在数轴上,一个数的绝对值对应的是从原点到该数的距离。因此,可以通过在数轴上标记一个数的点来找到它的绝对值。

去掉绝对值符号:要化简一个绝对值表达式,可以通过判断里面的数是正数还是负数,从而去掉绝对值符号。如果里面的数是正数,直接把绝对值符号去掉;如果里面的数是负数,需要把符号反一下(变成正号)。

利用绝对值的性质:绝对值有一些重要的性质,如|a|≥0,|a|=-|a|,||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|等。这些性质可以帮助我们在化简绝对值时进行推导和计算。

分情况讨论:对于一些复杂的绝对值表达式,需要分情况讨论里面的数是否为0,或者是否为某个特殊值等情况,从而得到化简后的结果。

利用运算律:在化简绝对值时,可以运用运算律(如交换律、结合律、分配律等)来简化计算过程。

总之,化简绝对值需要灵活运用绝对值的定义、性质和相关的运算律。通过不断地练习和总结经验,可以逐步提高化简绝对值的技巧和能力。

化简绝对值的方法

化简绝对值的方法

化简绝对值的方法

绝对值的化简方法口诀

“绝对值的化简方法口诀:同号得正,异号得负。绝对值符号里面为负,在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值,也就是当:│a│=a(a为正值即a〉=0时);

│a│=-a(a为负值即a《=0时)。”

绝对值的性质绝对值的化简方法口诀绝对值符号的去掉法则

绝对值的性质绝对值的化简方法口诀绝对值符号的去掉法则

绝对值化简步骤:

(1)先根据数轴“从左到右数增大”的原则比较绝对值里面字母的大小关系;

(2)再根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负;

(3)然后根据“一个整数的绝对值等于它本身”把绝对值里面的代数式直接去掉绝对值符号移出来,根据“一个负数的绝对值等于它的相反数”把绝对值里面的代数式去掉绝对值符号再变成它的相反数移出来;

(4)最后,绝对值符号全都去掉了之后,再进行加减运算(有的可能需要先去括号再运算),得到最简结果。

绝对值的有关性质:

①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性;

②绝对值等于0的数只有一个,就是0;

③绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数;

④互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值的化简:

绝对值意思是值一定为正值,按照“符号相同为正,符号相异为负”的原则来去绝对值符号。

①绝对值符号里面为负,在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值,也就是当:

│a│=a (a为正值,即a≥0 时);│a│=a (a为负值,即a≤0 时)

②整数就找到这两个数的相同因数;

③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大

10、100倍;

④分数的话就相除,得数是分数就是分子:分母,要是得数是整数,就这个数比1。

绝对值定义:

在数轴上,表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

绝对值用“||”来表示。

在数轴上,表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值,叫做ab 的绝对值,记作|ab|。

◎绝对值的知识扩展

1、定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。

绝对值的化简方法口诀绝对值化简步骤

绝对值的化简方法口诀绝对值化简步骤

绝对值的化简方法口诀绝对值化简步骤

绝对值的化简方法口诀:同号得正,异号得负。绝对值符号里面为负,在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值,也就是当:│a│=a(a为正值即a〉=0时);│a│=-a(a为负值即a 《=0时)。

绝对值的化简方法口诀

1、绝对值的化简方法口诀:同号得正,异号得负。

2、绝对值符号里面为负,在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值,也就是当:│a│=a(a为正值即a〉=0时);│a│=-a(a为负值即a《=0时)

绝对值化简步骤

(1)先根据数轴“从左到右数增大”的原则比较绝对值里面字母的大小关系;

(2)再根据绝对值里面字母的大小关系计算“和”或“差”为正还是为负;

(3)然后根据“一个整数的绝对值等于它本身”把绝对值里面的代数式直接去掉绝对值符号移出来,根据“一个负数的绝对值等于它的相反数”把绝对值里面的代数式去掉绝对值符号再变成它的相反数移出来;

(4)最后,绝对值符号全都去掉了之后,再进行加减运算(有的可能需要先去括号再运算),得到最简结果。

初一数学绝对值化简数轴

初一数学绝对值化简数轴

初一数学绝对值化简数轴

数轴上的绝对值表示的是一个数到原点的距离。对于一个实数a,其绝对值记作|a|,表示a与0之间的距离。

在数轴上,我们可以把绝对值的化简分为以下两种情况:

1. 当a≥0时,|a|=a。即绝对值取非负数本身。

例如,|3|=3,|5|=5。

2. 当a<0时,|a|=−a。即绝对值取非正数的相反数。

例如,|−2|=−(−2)=2,|−7|=−(−7)=7。

通过这两条规则,我们可以简化数轴上的绝对值问题。

方法技巧专题 整式与绝对值的化简-2022-2023学年七年级上册初一数学(华师版)

方法技巧专题 整式与绝对值的化简-2022-2023学年七年级上册初一数学(华师版)

方法技巧专题:整式与绝对值的化简

1. 引言

在数学学科中,整式和绝对值是非常基础且常见的概念。整式是由常数和变量相乘并加减所得的代数式,而绝对值是一个实数的非负值。在初中数学中,我们将学习如何化简整式和绝对值的表达式。本文将重点介绍整式与绝对值的化简方法和技巧,以帮助初一学生提升他们的数学运算能力。

2. 整式的化简方法

整式的化简是将一个复杂的整式表达式简化成为一个更简单的形式。下面将介绍几种常见的整式化简方法。

2.1. 合并同类项

合并同类项是整式化简的基本方法之一。在合并同类项时,需要将具有相同变量指数的项相加或相减,从而得到一个更简化的整式表达式。

例如,我们有以下整式表达式:

3x2+2x+4x2−5x+7

首先,我们可以将具有相同变量指数的项合并,得到:

(3x2+4x2)+(2x−5x)+7=7x2−3x+7

通过合并同类项,我们将原始的整式表达式简化为一个更简单的形式。

2.2. 用分配律展开

分配律是整式化简中另一个重要的技巧。当整式表达式中含有括号时,我们可以使用分配律将括号内的项与括号外的项相乘。这样可以将一个复杂的整式表达式展开成为一个简化的形式。

例如,我们有以下整式表达式:

2(x+3)+3(2x−4)

使用分配律展开,我们可以得到:

2x+6+6x−12

再将相同变量的项合并,得到最简整式形式:

8x−6

通过使用分配律展开,我们将原始的整式表达式简化为一个更简单的形式。

3. 绝对值的化简方法

绝对值是一个实数的非负值。在数学运算中,我们经常需要对绝对值进行运算和化简。下面将介绍几种常见的绝对值化简方法。

绝对值的化简方法口诀

绝对值的化简方法口诀

绝对值的化简方法口诀

绝对值是一个数距离零点的距离,它可以用来表示一个数的大小,无论这个数是正数、负数还是零。在数学中,我们经常会遇到需要对绝对值进行化简的情况,下面我将为大家介绍一些化简绝对值的方法,并总结成口诀,希望能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、绝对值的定义。

首先,我们需要明确绝对值的定义:对于任意实数a,其绝对值记作|a|,它有以下几条性质:

1. 当a≥0时,|a|=a;

2. 当a<0时,|a|=-a。

基于这个定义,我们可以得出绝对值的化简方法。

二、绝对值的化简方法口诀。

1. 当绝对值内部是一个非负数时,去掉绝对值符号;

2. 当绝对值内部是一个负数时,去掉负号,取相反数。

口诀解释:

首先,我们来看第一条。如果绝对值内部是一个非负数,根据绝对值的定义,绝对值就等于这个非负数本身。因此,我们可以直接去掉绝对值符号,得到化简后的结果。

举例说明:

|5|=5,|7|=7,|0|=0。

接下来,我们来看第二条。如果绝对值内部是一个负数,根据绝对值的定义,绝对值等于这个负数的相反数。所以,我们去掉负号,然后取这个数的相反数,得到化简后的结果。

举例说明:

|-3|=3,|-6|=6,|-8|=8。

三、绝对值的化简实例。

现在,让我们通过一些具体的实例来练习绝对值的化简。

例1,化简|3|。

根据口诀,3是一个非负数,所以|3|=3。

例2,化简|-5|。

根据口诀,-5是一个负数,所以|-5|=5。

例3,化简|2x-1|。

根据口诀,2x-1可能是非负数,也可能是负数,所以我们需要分情况讨论:

绝对值化简的解题技巧

绝对值化简的解题技巧

绝对值化简的解题技巧

绝对值化简技巧:a≥0时,│a│=a;a≤0时,│a│=-a。绝对值符号里面为负,在去掉绝对值时必须要加一个负号。

化简绝对值的技巧

1.判断绝对值符号里式子的正负

2.如果是正数则将绝对值符号改为括号,绝对值符号前的正负号不变

如果是负数则将绝对值符号改为括号,绝对值符号前的正负号改变

3.去括号

4.合并同类项

绝对值的化简方法

绝对值意思是值一定为正值,按照“符号相同为正,符号相异为负”的原则来去绝对值符号。绝对值符号里面为负,在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值,也就是当:

│a│=a(a为正值,即a≥0时)

│a│=-a(a为负值,即a≤0时)

简化方法没有什么特别的地方。

感谢您的阅读,祝您生活愉快。

绝对值的化简方法口诀

绝对值的化简方法口诀

绝对值的化简方法口诀

绝对值在数学中是一个非常重要的概念,它常常在代数、几何和数学分析等领域中被广泛应用。化简绝对值表达式是解决各种数学问题的基础,因此掌握绝对值的化简方法是十分必要的。下面我将为大家介绍一些化简绝对值表达式的口诀,希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、绝对值的定义。

首先,我们需要了解绝对值的定义。对于任意实数x,它的绝对值记作| x |,其定义如下:

当x≥0时,| x |=x;

当x<0时,| x |=−x。

这个定义告诉我们,绝对值是一个数到原点的距离,所以它永远是非负数。

二、绝对值的基本性质。

接下来,我们来看一些绝对值的基本性质,这些性质是化简绝对值表达式的基础。

1. | x | ≥0,即绝对值永远是非负数。

2. | x |=0 的充要条件是 x=0。

3. | x |·| y |=| xy |,即绝对值的乘积等于绝对值的积。

4. | x ± y |≤| x |+| y |,即绝对值的加减法不等式。

这些性质可以帮助我们在化简绝对值表达式时更加灵活地运用。

三、绝对值的化简方法口诀。

现在,让我们来总结一些化简绝对值表达式的口诀,希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。

1. 当绝对值内部是一个数时,直接去掉绝对值符号。

例如,| 5 |=5。

2. 当绝对值内部是一个变量时,根据变量的取值范围进行讨论。

若x≥0,则| x |=x;

若x<0,则| x |=−x。

3. 当绝对值内部是一个复合表达式时,根据表达式的取值范围进行讨论。

若表达式≥0,则去掉绝对值符号;

若表达式<0,则将表达式取相反数后去掉绝对值符号。

绝对值的化简方法口诀

绝对值的化简方法口诀

绝对值的化简方法口诀

绝对值是我们在数学学习中经常遇到的一个概念,它在代数运算中起着非常重

要的作用。在解决数学问题的过程中,我们经常需要对绝对值进行化简,因此掌握绝对值的化简方法是非常重要的。下面我将为大家总结一些绝对值化简的口诀,希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、绝对值的定义。

首先,我们来回顾一下绝对值的定义。对于任意实数a,它的绝对值记作|a|,

它的定义如下:

①当a≥0时,|a|=a;

②当a<0时,|a|=-a。

二、绝对值的化简口诀。

1. |a|+|b|≥|a+b|。

这个口诀告诉我们,两个绝对值的和,至少不小于这两个数的和的绝对值。例如,|3|+|(-2)|≥|3+(-2)|,即3+2≥|1|,3+2≥1。

2. |a|+|b|≤|a-b|。

这个口诀告诉我们,两个绝对值的和,至多不大于这两个数的差的绝对值。例如,|3|+|(-2)|≤|3-(-2)|,即3+2≤|5|,3+2≤5。

3. |a-b|≤|a|+|b|。

这个口诀告诉我们,两个数的差的绝对值,至多不大于这两个数的绝对值的和。例如,|3-(-2)|≤|3|+|(-2)|,即5≤3+2,5≤5。

4. |a|+|b|+|c|≥|a+b+c|。

这个口诀告诉我们,三个绝对值的和,至少不小于这三个数的和的绝对值。例如,|3|+|(-2)|+|4|≥|3+(-2)+4|,即3+2+4≥|5|,9≥5。

5. |a|+|b|+|c|≤|a+b|+|b+c|+|c+a|。

这个口诀告诉我们,三个绝对值的和,至多不大于这三个数的绝对值的和。例如,|3|+|(-2)|+|4|≤|3+(-2)|+|(-2)+4|+|4+3|,即3+2+4≤5+6+7,9≤18。

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下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进行讲解如何对绝对值进行化简

首先我们要知道绝对值化简公式:

例题1:化简代数式 |x-1|

可令x-1=0,得x=1 (1叫零点值)

根据x=1在数轴上的位置,发现x=1将数轴分为3个部分

1)当x<1时,x-1<0,则|x-1|=-(x-1)=-x+1

2)当x=1时,x-1=0,则|x-1|=0

3)当x>1时,x-1>0,则|x-1|=x-1

另解,在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分

1)当x<1时,x-1<0,则|x-1|=-(x-1)=-x+1

2)当x≥1时,x-1≥0,则|x-1|=x-1

例题2:化简代数式 |x+1|+|x-2|

解:可令x+1=0和x-2=0,得x=-1和x=2(-1和2都是零点值)

在数轴上找到-1和2的位置,发现-1和2将数轴分为5个部分

1)当x<-1时,x+1<0,x-2<0,则|x+1|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1

2)当x=-1时,x+1=0,x-2=-3,则|x+1|+|x-2|=0+3=3

3)当-10,x-2<0,则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3

4)当x=2时,x+1=3,x-2=0,则|x+1|+|x-2|=3+0=3

5)当x>2时,x+1>0,x-2>0,则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1

另解,将零点值归到零点值右侧部分

1)当x<-1时,x+1<0,x-2<0,则|x+1|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1

2)当-1≤x<2时,x+1≥0,x-2<0,则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3

3)当x≥2时,x+1>0,x-2≥0,则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1

例题3:化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13|

可令x+11=0,x-12=0,x+13=0 得x=-11,x=12,x=-13(-13,-11,12是本题零点值)

1)当x<-13时,x+11<0,x-12<0,x+13<0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2)当x=-13时,x+11=-2,x-12=-25,x+13=0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40

3)当-130,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14 4)当x=-11时,x+11=0,x-12=-23,x+13=2,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25

5)当-110,x-12<0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36

6)当x=12时,,x+11=23,x-12=0,x+13=25,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48

7)当x>12时,x+11>0,x-12>0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12

另解,将零点值归到零点值右侧部分

1)当x<-13时,x+11<0,x-12<0,x+13<0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2)当-13≤x<-11时,x+11<0,x-12<0,x+13≥0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14 3)当-11≤x<12时,x+11≥0,x-12<0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36 4)当x≥12时,x+11>0,x-12≥0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12

例题4:化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|

解:令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0

则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4

(1)当x<1时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10

(2)当1≤x<2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8

(3)当2≤x<3时,,x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4

(4)当3≤x<4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2

(5)当x≥4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10

总结化简此类绝对值时,先求零点值,之后根据零点值将数轴分成的部分进行分布讨论,若有多个零点值时,可以将零点值归到零点值右侧部分进行化简,这样比较省时间

同学们若不熟练可以针对以上3个例题反复化简熟练之后再换新的题进行练习

习题:化简下列代数式

|x-1|

|x-1|+|x-2|

|x-1|+|x-2|+|x-3|

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|

初一学生作业-绝对值中最值问题一

例题1: 1)当x取何值时,|x-1|有最小值,这个最小值是多少?

2)当x取何值时,|x-1|+3有最小值,这个最小值是多少?

3)当x取何值时,|x-1|-3有最小值,这个最小值是多少?

4)当x取何值时,-3+|x-1|有最小值,这个最小值是多少?

例题2:1)当x取何值时,-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?

2)当x取何值时,-|x-1|+3有最大值,这个最大值是多少?

3)当x取何值时,-|x-1|-3有最大值,这个最大值是多少?

4)当x取何值时,3-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?

若想很好的解决以上2个例题,我们需要知道如下知识点:、

1)非负数:0和正数,有最小值是0

2)非正数:0和负数,有最大值是0

3)任意有理数的绝对值都是非负数,即|a|≥0,则-|a|≤0

4)x是任意有理数,m是常数,则|x+m|≥0,有最小值是0 -|x+m|≤0有最大值是0

(可以理解为x是任意有理数,则x+a依然是任意有理数,如|x+3|≥0,-|x+3|≤0或者|x-1|≥0,-|x-1|≤0)

5)x是任意有理数,m和n是常数,

则|x+m|+n≥n,有最小值是n -|x+m|+n≤n,有最大值是n

(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左(n<0)平移了|n|个单位,为如|x-1|≥0,则|x-1|+3≥3,相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位,|x-1|≥0,有最小值是0,则|x-1|+3的最小值是3)

总结:根据3)、4)、5)可以发现,当绝对值前面是“+”时,代数式有最小值,有“—”号时,代数式有最大值

在没有学不等式的时候,很好的理解(4)和(5)有点困难,若实在理解不了,请同学们看下面的例题答案,分析感觉下,就可以总结出上面的结论了)

例题1: 1)当x取何值时,|x-1|有最小值,这个最小值是多少?

2)当x取何值时,|x-1|+3有最小值,这个最小值是多少?

3)当x取何值时,|x-1|-3有最小值,这个最小值是多少?

4)当x取何值时,-3+|x-1|有最小值,这个最小值是多少?

解: 1)当x-1=0时,即x=1时,|x-1|有最小值是0

2)当x-1=0时,即x=1时,|x-1|+3有最小值是3

3)当x-1=0时,即x=1时,|x-1|-3有最小值是-3

4)此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3可知和3)问一样

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